拓展06 全等三角形動點問題（原卷版）

拓展06全等三角形動點問題1．如圖，△ABC的兩條高AD與BE交于點O，AD=BD，AC=6．

(1)求BO的長；(2)F是射線BC上一點，且CF=AO，動點P從點O出發(fā)，沿線段OB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，同時動點Q從點A出發(fā)，沿射線AC以每秒4個單位長度的速度運動，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒，當△AOP與△FCQ全等時，求t的值．2．Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是直線CB上的一個動點，連接AD，過點C作AD的垂線，垂足為點E，過點B作AC的平行線交直線CE于點F(1)如圖1，當點D為BC中點時，請直接寫出線段BF與AC的數(shù)量關(guān)系．(2)如圖2，當點D在線段CB上(不與C，B重合)，請?zhí)骄烤€段BF，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系(要求：寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說明理由)．(3)如圖3，當點D在線段CB延長線上，請?zhí)骄烤€段BF，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系(要求：畫出圖形，寫出發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并說明理由)．(4)當點D在線段BC延長線上，請直接寫出線段BF，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系．3．如圖，在△ABC中，D為AB的中點，AB=AC=10cm，BC=8cm，動點P從點B出發(fā)，沿BC方向以每秒3cm的速度向點C運動；同時動點Q從點C出發(fā)，沿CA方向以每秒3cm的速度向點(1)在運動過程中，當點C位于線段PQ的垂直平分線上時，求出t的值；(2)在運動過程中，是否存在某一時刻t，使△BPD和△CQP全等，若存在，求出t的值．若不存在，請說明理由．4．如圖，在△ABC中，BC=5，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，AD、BE相交于點O，BD=23CD

(1)線段CD的長度等于___________．(2)求證：△AOE≌△BCE．(3)動點P從點O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發(fā)沿射線BC以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達A點時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒，點F是直線AC上的一點且CF=BO．是否存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等？若存在，請求出符合條件的t值；若不存在，請說明理由．5．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是射線BA上一動點，連接CD，以CD為邊作∠DCE=45°，CE在CD右側(cè)，CE與過點A且垂直于AB的直線交于點E，連接DE．(1)當CD，CE都在AC的左側(cè)時，如圖①，線段BD，(2)當CD，CE在AC的兩側(cè)時，如圖②，線段(3)當CD，CE都在AC的右側(cè)時，如圖③，線段6．如圖1，在△ABC中，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°，點P、Q分別是△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從點A、點Q從點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．(1)求證：△ABQ≌(2)點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，請求出它的度數(shù)．(3)如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，直接寫出∠QMC的度數(shù)．7．在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一動點，ME⊥BC，E為垂足，∠AME的平分線交直線AB于點F(1)如圖1，點M為邊AC上一點，則BD、MF的位置關(guān)系是(2)如圖2，點M為邊CA延長線上一點，則BD、MF的位置關(guān)系是8．已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為直線BC上一動點，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．(1)如圖1，當點D在線段BC上時，過點E作EH⊥AC于H，連接DE，求證：EH=AC；(2)如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，連接BE交CA的延長線于點M．求證：BM=EM；當點D在射線CB上時，連接BE交直線AC于M，若2AC=5CM，則S△ADBS9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為線段CA上一動點，連接BE，作BF⊥BE且BF=BE(1)如圖1，過點F作FD⊥BC于點D，求證：FD=AC；(2)如圖2，連接AF交BC于點G，若BG=6，CG=2，求證：E為AC中點．10．如圖1，直線l⊥BC于點B，∠ACB=90°，點D為BC中點，一條光線從點A射向D，反射后與直線l交于點E(1)求證：BE=AC；(2)如圖2，連接AB交DE于點F，連接FC交AD于點H，AC=BC，求證：CF⊥AD；(3)如圖3，在（2）的條件下，點P是AB邊上的動點，連接PC，PD，S△ABD11．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC(1)如圖1，若BC＝4，則S△EBC＝(2)如圖2，點M在BE上，且CM⊥BE于M，過點A作AF⊥BE于F，D為AC中點，連接FD并延長，交CM于點H．求證：MF＝(3)如圖3，連接BM，EM，過點B作BM'⊥BM于點B，且滿足BM'＝BM，連接AM'，MM'，過點B作BG⊥CE于點12．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是直線AB上的一動點（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于(1)點D在邊AB上時，證明：DA=FA；(2)在（1）的條件下，證明：AB=FA+BD；(3)點D在AB的延長線或反向延長線上時，探索AB，F(xiàn)A，BD這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，請畫出圖形并直接寫出正確結(jié)論．13．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AB=2，點P是AC邊上的一動點（點P不與端點A、C重合），過點A作AE⊥BP于點D，交BC的延長線于點E(1)求證：△ACE≌(2)在點P移動的過程中，若AD=DC，試求CP的長；(3)試探索，在點P移動的過程中，∠ADC的大小是否保持不變？若保持不變，請求出∠ADC的大??；若有變化，請說明變化情況．14．如圖，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，點P在線段AB上以3cm/s的速度，由A向B運動，同時點Q在線段BD上由B

(1)如圖1，若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當運動時間t=1s，△ACP與△BPQ是否全等？說明理由，并直接判斷此時線段PC和線段PQ(2)如圖2，將“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA”，其他條件不變，若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能使△ACP與△BPQ全等．(3)在圖2的基礎(chǔ)上延長AC，BD交于點E，使C，D分別是AE，BE中點，如圖3，若點Q以（2）中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿△ABE三邊運動，求出經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次相遇．15．如圖①，C、F分別為線段AD上的兩個動點，BC⊥AD，垂足為C，EF⊥AD，垂足為F，且AB＝DE，AF＝CD，點G是AD與BE的交點．（1）求證：BG＝EG；（2）當C、F兩點移動到如圖②的位置時，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．16．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點D是線段AM上一動點．（1）如圖1，點C是BM延長線上一點，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點E是△ABM外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）17．如圖1，AD//BC，DE平分（1）求證：∠DEC+∠ECD=90°；（2）如圖2，BF平分∠ABD交CD的延長線于F點，若∠ABC=100°，求∠F的大?。唬?）如圖3，若H是BC上一動點，K是BA延長線上一點，KH交BD于M，交AD于O,KG平分∠BKH,交DE于N，交BC于G，當H在線段BC上運動時（不與B重合），求∠BAD+∠DMH∠DNG18．如圖，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，動點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t．（1）求證：AF＝AM；（2）當t取何值時，△DFE與△DMG全等；（3）求證：在運動過程中，不管t取何值，都有S△AED19．如圖，在△ABC中，D為AB的中點，AB=AC=10cm，BC=8cm．動點P從點B出發(fā)，沿BC方向以3cm/s的速度向點C運動；同時動點Q從點C出發(fā)，沿CA方向以3cm/s的速度向點A運動，運動時間是ts．（1）在運動過程中，當點C位于線段PQ的垂直平分線上時，求出t的值；（2）在運動過程中，當△BPD≌△CQP時，求出t的值；（3）是否存在某一時刻t，使△BPD≌△CPQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

20．在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A<∠ABC，D是AC邊上一點，且DA=DB，O是AB的中點，CE是△BCD的中線．（1）如圖a，連接OC，請寫出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）點M是射線EC上的一個動點，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得射線ON，使∠MON=∠ADB，ON與射線CA交于點N．如圖b，猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系．21．已知△ABC為等邊三角形，D為直線BC上一動點（點D不與點B、點C重合）以AD為邊作等邊三角形ADE，連接CE.

（1）如圖①，當點D在邊BC上時，且點A、點E在BC同側(cè)，其他條件不變，求證：BC=DC+CE；（2）如圖②，當點D在邊BC的延長線上時，且點A、點E在BC同側(cè)，其他條件不變，請直接寫出線段BC，DC，CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，不需證明；（3）如圖③，當點D在邊CB的延長線上時，且點A、點E分別在直線BC的異側(cè)，其他條件不變，請直接寫出線段BC，DC，CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，不需證明.22．已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D為射線BF上一動點．（1）如圖所示，若DA=DC，求證：∠ABC=∠ADC；（2）在D點運動的過程中，試比較BA+BC與DC+DA的大小，并說明你的理由．23．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，點D是AC上一動點，點E在BD的延長線上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于F．（1）如圖1，連CF，求證：∠ABE＝∠ACF；（2）如圖2，當∠ABC＝60°時，求證：AF+EF＝FB；（3）如圖3，當∠ABC＝45°時，若BD平分∠ABC，求證：BD＝2EF．24．如圖，在△ABC中，AB=AC，AH⊥BC，垂足為H，D為直線BC上一動點（不與點B、C重合），在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）求證：∠ABC=∠ACB；（2）當D在線段BC上時，①求證：△BAD≌△CAE；②當點D運動到何處時，AC⊥DE，并說明理由；（3）當CE∥AB時，若△ABD中最小角為20°，試探究∠ADB的度數(shù)．（直接寫出結(jié)果，無需寫出求解過程）25．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8cm，BD是斜邊上高動點P從點A出發(fā)沿AB邊由A向終點B以1cm/s的速度勻速移動，動點Q從點B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當點P停止運動，點Q也隨之停止.連接AQ，交射線BD于點E.設(shè)點P(1)在運動過程中，△BQE的面積始終是△APE的面積的2倍，為什么？(2)當點Q在線段BC上運動時，t為何值時，∠BPE和∠26．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是直線AB上的一動點（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F（1）點D在邊AB上時，試探究線段BD、AB和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）點D在AB的延長線或反向延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請寫出正確結(jié)論并證明．27．一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：如圖1，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，O為AC中點．（1）如圖1，若把三角板的直角頂點放置于點O，兩直角邊分別與AB、BC交于點M、N，求證：