2023年高二數(shù)學(xué)等差數(shù)列及前n項(xiàng)和題型歸納（解析）

等差數(shù)列及前n項(xiàng)和題型歸納題型一：等差數(shù)列及前n項(xiàng)和基本量運(yùn)算（五個(gè)量知三求其二）知識(shí)儲(chǔ)備：1.等差通項(xiàng)公式：，2.前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d；方向1：等差通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算例題1：等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2等于（1）由數(shù)列的性質(zhì)，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.變式一：在等差數(shù)列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，則2a9－a10＝________.答案：30∵a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8a9－a10＝2(a10－d)－a10＝a10－2d＝a8＝30.變式二：等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是()A．20B．22C．24D．－8答案：C，解析：因?yàn)閍1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.故選C.方向2：等差數(shù)列及前n項(xiàng)和基本量綜合運(yùn)算例題2：設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4a3，a7＝－2，則a9等于()A．－6B．－4C．－2D．2答案A【解析】S8＝eq\f(8a1＋a8,2)＝4(a3＋a6)．因?yàn)镾8＝4a3，所以a6a7＝－2，所以d＝a7－a6＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.故選A.變式一：設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3＝3，S6＝24，則a9＝________.答案15【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則S3＝3a1＋eq\f(3×2,2)d＝3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1，S6＝6a1＋eq\f(6×5,2)d＝6a1＋15d＝24，即2a1＋5deq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝1，,2a1＋5d＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,d＝2.))故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.變式二：記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1解析：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項(xiàng)公式為an=2n–9．變式三：中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記載的“日月歷法”曰：“陰陽(yáng)之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂千百五二十歲，…．生數(shù)皆終，萬(wàn)物復(fù)蘇，天以更元作紀(jì)歷”．某老年公寓住有19位老人，他們的年齡（都為正整數(shù)）依次相差一歲，并且他們的年齡之和恰好為一遂，則最年長(zhǎng)者的年齡為（）A．71 B．72 C．89 D．90答案C。解析：設(shè)這些老人的年齡形成數(shù)列，設(shè)最年長(zhǎng)者的年齡為，則由題可知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，則，解得.故選：C.變式四：米，最后三天共跑了米，則這15天小李同學(xué)總共跑的路程為（）A．米 B．米 C．米 D．米答案B。解析：根據(jù)題意：小李同學(xué)每天跑步距離為等差數(shù)列，設(shè)為，則，故，，故，則.故選：B.題型二：等差數(shù)列的判定與證明知識(shí)儲(chǔ)備：1，定義法：(n≥1，n∈N*)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)．①當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；2，等差中項(xiàng)法：3，通項(xiàng)公式法：(n≥1，n∈N*)方向1：定義(n≥1，n∈N*)的應(yīng)用例一：在數(shù)列中，，，則的值為__________.答案52。解析：由題意，數(shù)列滿足，即，又由，所以數(shù)列首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，所以．方向2：等差中項(xiàng)法：的應(yīng)用例二：在數(shù)列中，，，，求答案：14，解析：為等差數(shù)列，，方向3：通項(xiàng)公式法：(n≥1，n∈N*)的應(yīng)用例三：數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（1）求證：是等差數(shù)列，并求出其公差；（2）判斷、是否是數(shù)列中的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？解：（1），則，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為；（2）令，即，解得；令，即，解得.所以，是該數(shù)列的第項(xiàng)，不是該數(shù)列中的項(xiàng).變式一：已知數(shù)列是等差數(shù)列，且.若，則數(shù)列是（）.A．以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列B．以6為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列C．以3為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列D．以6為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列答案D。解析：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，設(shè)公差為，所以有，解得，所以，因此，而，所以數(shù)列是以6為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)，故本題選D.變式二：已知數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說(shuō)法正確的是（）A．（d為常數(shù)） B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．是與的等差中項(xiàng)答案：ABD.解析：是等差數(shù)列，所以，即，所以A正確；B.因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，那么，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；C.，不是常數(shù)，所以數(shù)列，所以是與的等差中項(xiàng)，故D正確.故選：ABD變式三：設(shè)數(shù)列滿足當(dāng)n＞1時(shí)，an＝，且a1＝.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)a1a2是否是數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，求出是第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)證明：根據(jù)題意a1＝及遞推關(guān)系anan＝.取倒數(shù)得＋4，即＝4(n＞1)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列．(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.又，解得na1a2是數(shù)列中的項(xiàng)，是第11項(xiàng)．變式四：已知數(shù)列，滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)數(shù)列是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)求an.解：(1)數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即是首項(xiàng)為eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差為d＝eq\f(1,2)的等差數(shù)列．(2)由上述可知eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，∴an＝eq\f(2,n).【拓展1】(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”換為“a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，記bn＝eq\f(1,an－2)”．(1)試證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解析：(1)證明：bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an,2an－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2an－2)＝eq\f(1,2).又b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．(2)由(1)知bn＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)n.∵bn＝eq\f(1,an－2)，∴an＝eq\f(1,bn)＋2＝eq\f(2,n)＋2.∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,n)＋2.【拓展2】．(變條件)將例題中的條件“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”換為“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”試判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列．解：當(dāng)n≥2時(shí)，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝eq\f(3,2)，但a2－a1＝1≠eq\f(3,2)，故數(shù)列不是等差數(shù)列．變式五：已知數(shù)列滿足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝eq\f(1,an－1).(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：(1)∵eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(an－an＋1,an＋1－1an－1)＝eq\f(1,3)，∴bn＋1－bn＝eq\f(1,3)，∴{bn}是等差數(shù)列．(2)由(1)及b1＝eq\f(1,a1－1)＝eq\f(1,2－1)＝1，知bn＝eq\f(1,3)n＋eq\f(2,3)，∴an－1＝eq\f(3,n＋2)，∴an＝eq\f(n＋5,n＋2)(n∈N*)．變式六：設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列？并求其前n項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意得，解得，所以；（2）由（1）得，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.題型三：等差數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用知識(shí)儲(chǔ)備：1.等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且（1）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.（2）設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，所以數(shù)列，是等差數(shù)列2.數(shù)列是等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.3.若是等差數(shù)列，，…也成等差數(shù)列.4.數(shù)列是等差數(shù)列,則S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)(A，B為常數(shù))且常數(shù)項(xiàng)為0．在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．①若p＋q為偶數(shù)，則當(dāng)n＝eq\f(p＋q,2)時(shí)，Sn最大；②若p＋q為奇數(shù)，則當(dāng)n＝eq\f(p＋q－1,2)或n＝eq\f(p＋q＋1,2)時(shí)，Sn最大．方向1.設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，所以數(shù)列，是等差數(shù)列.例1：設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，，，則等于（）A．0 B．37 C．100 D．答案:C,解：因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因?yàn)?，，，所以?shù)列的公差為0，首項(xiàng)為100，所以，所以，故選：C方向2：①當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有例2：等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2等于解析：由數(shù)列的性質(zhì)，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.變式1：已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，則S11＝。答案：33。解析：在等差數(shù)列{an}中，因?yàn)閍1＋a5＝2a3，a8＋a10＝2a9，所以2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝6a3＋6a9＝36，a3＋a9＝6＝a1＋a11，所以S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝eq\f(11×6,2)＝33.變式2．已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，且d>0.∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的兩個(gè)根．又公差d>0，∴a3<a4，∴a3＝9，a4＝13.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝9，,a1＋3d＝13，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝4，))∴an＝4n－3，n∈N＋.方向3：數(shù)列是等差數(shù)列，則為等差數(shù)列.例3：在等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，a1＝－9，eq\f(S9,9)－eq\f(S7,7)＝2，則S10＝________.答案：0，解析：設(shè)公差為d，則eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d，∵eq\f(S9,9)－eq\f(S7,7)＝2，∴eq\f(9－1,2)d－eq\f(7－1,2)d＝2，∴d＝2，∵a1＝－9，∴S10＝10×(－9)＋eq\f(10×9,2)×2＝0.變式一：已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2018，eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6，則S2020＝________.解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列．設(shè)其公差為d，則eq\f(S2019,2019)－eq\f(S2013,2013)＝6d＝6，∴deq\f(S2020,2020)＝eq\f(S1,1)＋2019d＝－2018＋2019＝1，∴S2020＝1×2020＝2020.變式二：已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S5＝7，S10＝21，則S15＝________.（3）在等差數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10成等差數(shù)列，即7，14，S15－21成等差數(shù)列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.變式三：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．12 B．18 C．21 D．27答案B。解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.變式四：在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，，則________.答案：144。解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，.變式五：設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意得，解得，所以；（2）由（1）得，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.方向4：若是等差數(shù)列，，…也成等差數(shù)列.例4．已知表示等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，那么等于()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,3)[答案：A。解析：是等差數(shù)列，成等差數(shù)列，又，，成公差為的等差數(shù)列，同理可得，變式一：已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為n.若，，則＝________.解析：在等差數(shù)列中，S5，S10－S5，S15－S10成等差數(shù)列，即7，14，S15－21成等差數(shù)列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.變式二：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．12 B．18 C．21 D．27答案B。解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，且，，所以成等差數(shù)列，所以，即，解得=18，故選：B.變式三：在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，，則________.答案：144。解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，.方向5：數(shù)列是等差數(shù)列,則S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝eq\f(nd,2)；若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))．例5.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且，則()A．2B．3C．4D．5答案：A。解析：依題意得eq\f(5,5a1a3)＝eq\f(1,5)，a1a3＝5，a2＝eq\f(10,a1a3)＝2.故選A.變式一：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,則等于()A．10 B．12 C．15 D．30答案：C。解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中,,所以.故選C.變式二：已知數(shù)列為等差數(shù)列且，則其前9項(xiàng)和=___________.答案：18。解析：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以.變式三：設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則=__________.答案：。解析由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得：.變式四：（多選題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則（）A． B．C． D．答案：AC，解析：，，，則．故選：AC.變式五：在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為.若，是方程的兩個(gè)根，那么的值為（）A．44 B． C．66 D．答案：D。解析：因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以，而，所以，則,故選：.變式六：等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，且eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n－1,2n＋3)，則eq\f(a10,b10)＝________.解析：在等差數(shù)列中，S19＝19a10，T19＝19b10，因此eq\f(a10,b10)＝eq\f(S19,T19)＝eq\f(3×19－1,2×19＋3)＝eq\f(56,41).變式七：設(shè)和都是等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為和，若，，則（）A． B． C． D．答案：A。解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以；因?yàn)?，所以．由等差?shù)列的前項(xiàng)和公式可得，，所以．故選：A變式八：等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為與，若，則（）A． B． C． D．答案：D。解析：和為等差數(shù)列，故a3+a變式九：已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為與，且，則________．答案：。解：由，設(shè)，，則，，.故答案為：題型四：等差數(shù)列的單調(diào)性及前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題知識(shí)儲(chǔ)備：1.等差數(shù)列的通向公式與函數(shù)的關(guān)系()可看做是關(guān)于的一次型函數(shù)，設(shè)．當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系.數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)(A，B為常數(shù))且常數(shù)項(xiàng)為0．在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．①若p＋q為偶數(shù)，則當(dāng)n＝eq\f(p＋q,2)時(shí)，Sn最大；②若p＋q為奇數(shù)，則當(dāng)n＝eq\f(p＋q－1,2)或n＝eq\f(p＋q＋1,2)時(shí)，Sn最大．方向1：等差數(shù)列的單調(diào)性.例1：等差數(shù)列中，，若從第項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，則公差的取值范圍是__________．答案：解析∵等差數(shù)列從第項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，即，∴，解得．變式一：（多選題）設(shè)d為正項(xiàng)等差數(shù)列的公差，若，，則（）A． B． C． D．答案：ABC。解析：由題知，只需，，A正確；，B正確；，C正確；，所以，D錯(cuò)誤.變式二：首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列滿足下列兩個(gè)條件：①；②滿足的的最小值是15.試求公差和首項(xiàng)的值.解析：，，由，即，∵滿足的的最小值是15，，，又.變式三：已知等差數(shù)列，首項(xiàng).從第10項(xiàng)起開始大于1，那么公差d的取值范圍是__________.答案：。解析：在等差數(shù)列中，因?yàn)閺牡?0項(xiàng)起開始大于1，所以有.方向2：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題例1：已知等差數(shù)列是無(wú)窮數(shù)列，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A．無(wú)最大值，有最小值 B．有最大值，無(wú)最小值C．有最大值，有最小值 D．無(wú)最大值，無(wú)最小值答案；A。解析：由數(shù)列為等差數(shù)列，且，得，故數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以有最小值，無(wú)最大值，故選：A.變式一：（多選題）已知遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A． B．最大 C． D．答案：ABD。解析：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榈炔顢?shù)列為遞減數(shù)列，故公差，所以，故AB正確.又，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.變式二：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，當(dāng)______時(shí)，最大.答案：6或7。解：因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，因?yàn)?，所以，所以，它的圖像是開口向下的拋物線，其對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取得最大值，故答案為：6或7變式三：.若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．答案：8。解析：根據(jù)題意知a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8a8＋a9＝a7＋a10<0，∴a9<0，∴當(dāng)n＝8時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．變式四：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若－1＜a3＜1,0＜a6＜3，則S9的取值范圍是__________。解析：方法一：S9＝9a1＋36d，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＜a1＋2d＜1,0＜a1＋5d＜3，))依據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)，得－3＜S9＜21。方法二：S9＝9a1＋36d＝x(a1＋2d)＋y(a1＋5d)，由待定系數(shù)法得x＝3，y＝6。因?yàn)椋?＜3a3＜3,0＜6a6＜18，兩式相加即得－3＜S9＜21。方法三：由題意可知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3，a6＋a7＋a8＋a9＝2a6＋2a9，而a3＋a9＝2a6，所以S9＝3a3＋6a6，又－1＜a3＜1,0＜a6＜3，故－3＜S9＜21。答案：(－3,21)變式五：在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為________．【答案】49【解析】設(shè){an}的公差為d.法一：由3a2＝11a6，得3(13＋d)＝11(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2n＋15≥0，,－2n＋1＋15≤0，))解得6.5≤nn∈N*，所以當(dāng)n＝7時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大，最大值為S7＝eq\f(713－2×7＋15,2)＝49.法二：由3a2＝11a6，得3(13＋d)＝11(13＋5d)，解得d＝－2，所以an＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.所以Sn＝eq\f(n13＋15－2n,2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，所以當(dāng)n＝7時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大，最大值為S7＝49.鞏固練習(xí)1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是()A.5B.6 C.7 答案：C。解析：(1)法一由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0.根據(jù)首項(xiàng)等于13可推知這個(gè)數(shù)列遞減，從而得到a7>0，a8<0，故n＝7時(shí)Sn最大.法二由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a(bǔ)1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，知當(dāng)n＝7時(shí)Sn最大.2．若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0，a2017＋a2018＞0，a2017·a2018＜0，則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是()A．2017 B．2018C．4034 D．4035答案；C解析：因?yàn)閍1＞0，a2017＋a2018＞0，a2017·a2018＜0，所以d＜0，a2017＞0，a2018＜0，所以S4034＝eq\f(4034a1＋a4034,2)＝eq\f(4034a2017＋a2018,2)＞0，S4035＝eq\