第02講 5.2導數的運算（原卷版）

課程標準學習目標①能根據定義求函數的導數。②能熟練應用給出的基本初等函數的導數公式求簡單函數的導數。③理解并熟練掌握函數的和、差、積、商的求導法則。④了解復合函數的概念，熟練掌握復合函數的求導法則。1.掌握基本初等函數的求導；2.熟練掌握導數的運算公式；3.能準確應用公式計算函數的導數；4.會求簡單的復合函數的導數；5.能解決與切線、切點、斜率、待定參數相關的問題..知識點01：基本初等函數的導數公式原函數導函數(為常數)知識點02：導數的四則運算法則1、兩個函數和的和（或差）的導數法則：.2、對于兩個函數和的乘積（或商）的導數，有如下法則：；.3、由函數的乘積的導數法則可以得出，也就是說，常數與函數的積的導數，等于常數與函數的導數的積，即【即學即練1】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習）求下列函數的導數．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）知識點03：復合函數的導數復合函數的導數和函數，的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積．【即學即練2】（2023上·山東濱州·高三校聯考階段練習）已知函數，則=.【答案】3【詳解】由題意知，，所以.故答案為：3.知識點04：切線問題1、在型求切線方程已知：函數的解析式.計算：函數在或者處的切線方程.步驟：第一步：計算切點的縱坐標（方法：把代入原函數中），切點.第二步：計算切線斜率.，切線斜率。根據直線的點斜式方程得到切線方程：.【即學即練3】（2023上·貴州黔西·高三貴州省興義市第八中學?？茧A段練習）曲線在處的切線方程為．【答案】【詳解】，則當時，，所以曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.2、過型求切線方程已知：函數的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設切點第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計算切線方程.根據直線的點斜式方程得到切線方程：.【即學即練4】（2023下·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）已知，則函數的圖像過點的切線方程為.【答案】或【詳解】設切點為，由可得，，由導數的幾何意義可得，切線的斜率，因為，所以切線方程為，將點代入，得，即，得，解得或，當時，切點坐標為，相應的切線方程為；當時，切點坐標為，相應的切線方程為，即，所以切線方程為或.故答案為：或題型01導數公式與運算法則的簡單應用【典例1】（2023上·河北邯鄲·高三校聯考階段練習）下列求導運算中正確的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·新疆阿克蘇·高二校考階段練習）求下列函數的導數.(1)(2).【變式1】（2023上·陜西漢中·高三校聯考階段練習）下列求導正確的是（

）A． B．C． D．題型02利用導數公式與運算法則求復合函數的導數【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習）寫出下列函數的中間變量，并利用復合函數的求導法則分別求出函數的導數：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【典例2】（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數的導數：(1)；(2)．【變式1】（2023·全國·高二隨堂練習）寫出下列函數的中間變量，并利用復合函數的求導法則分別求出函數的導數：(1)；(2)；(3)；(4)．題型03解析式中含的導數問題【典例1】（2022下·吉林長春·高二統(tǒng)考期中）若，則等于（

）A．2 B．0 C．2 D．4【典例2】（2022下·山東·高二校聯考階段練習）已知函數，是的導函數，則．【變式1】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考一模）已知函數，則（

）A． B． C．6 D．14【變式2】（2022下·河北滄州·高二滄縣中學?？茧A段練習）已知函數，則的值為．題型04求切線斜率【典例1】（2023下·北京海淀·高二首都師范大學附屬中學?？计谥校┤糁本€過原點，且與函數的圖像相切，則該直線的斜率為（

）A．1 B． C． D．【典例2】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考一模）函數（b＞0，a∈R）在點處的切線斜率的最小值是（

）A．2 B． C． D．1【變式1】（2022上·河南·高三河南省淮陽中學校聯考階段練習）已知，過作曲線的切線，切點在第一象限，則切線的斜率為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022下·安徽·高三巢湖市第一中學校聯考期中）已知，則曲線在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．題型05求切線方程（在型）【典例1】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）設，函數的導函數為，若是偶函數，則曲線在原點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）曲線在點處的切線方程是【變式1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽中學校聯考階段練習）已知函數，曲線在點處的切線方程是．【變式2】（2023上·四川成都·高三校考階段練習）已知函數，則的圖象在處的切線方程為題型06求切線方程（過型）【典例1】（2023下·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）寫出曲線過坐標原點的一條切線方程.【典例2】（2023下·河南南陽·高二校聯考期中）已知函數．(1)若曲線在其上一點Q處的切線與直線平行，求Q的坐標；(2)求曲線的過坐標原點O的切線的方程．【變式1】（2022上·山西·高三統(tǒng)考階段練習）過點與曲線相切的切線方程為．【變式2】（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習）已知函數．(1)用導數的定義，求函數在處的導數；(2)過點作的切線，求切線方程．題型07利用相切關系求最小距離【典例1】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學?？茧A段練習）已知點P在函數的圖象上，點Q在函數的圖象上，則的最小值為.【典例2】（2023下·湖北·高二校聯考階段練習）若點是曲線上任意一點，點是直線上任意一點，則的最小距離為.【變式1】（2023下·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）設點A在直線上，點B在函數的圖象上，則的最小值為.【變式2】（2023上·高二課時練習）在函數的圖象上求一點P，使P到直線的距離最短，并求這個最短的距離．A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023上·江蘇南京·高三校聯考階段練習）下列求導正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·陜西漢中·高三校聯考階段練習）下列求導正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023上·江蘇連云港·高三校考階段練習）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．4．（2023上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習）若曲線在點處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C．1 D．25．（2023上·河北保定·高三校聯考階段練習）函數的圖象在處切線的斜率為（

）A． B． C． D．6．（2023下·四川雅安·高二校考階段練習）已知函數，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．7．（2023上·廣東揭陽·高三校考階段練習）已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C．2 D．8．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）若曲線與直線相切，則實數（

）A． B．1 C．2 D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）（多選）下列導數的運算中正確的是（

）A． B．C．＝ D．10．（2023下·貴州黔東南·高二?？茧A段練習）已知函數，則過點且與曲線相切的直線方程可以為（

）A． B． C． D．三、填空題11．（2023上·廣東惠州·高三博師高中校考階段練習）已知函數，則.12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知曲線與曲線（）相交，且在交點處有相同的切線，則.四、解答題13．（2023下·新疆和田·高二?？计谥校┮阎瘮?，點在曲線上.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線過點的切線方程.14．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實驗中學?？茧A段練習）已知函數.(1)若曲線在點處的切線與軸，軸分別交于點，，求的面積（為坐標原點）；(2)求與曲線相切，并過點的直線方程.B能力提升1．（2023下·四川雅安·高二?？茧A