電工電子技術(shù)及應(yīng)用 課件 第二章 正弦交流電路

2.1正弦交流電的基本概念2.2正弦交流電的相量表示法2.3單一參數(shù)的正弦交流電路2.4串聯(lián)交流電路2.5交流電路的功率2.6電路的功率因數(shù)2.7電路中的諧振2.8三相交流電路2.1正弦交流電的基本概念交流電路，所謂交流，是指電壓和電流的大小、方向均隨時(shí)間作周期性的變化，圖２．１（ｂ）、圖２．１（ｃ）、圖２．１（ｄ）所示為幾種常見(jiàn)的交流信號(hào)。交流在人們的生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用。常用的交流電是正弦交流電，即電壓和電流的大小、方向按正弦規(guī)律變化，如圖２．１（ｂ）所示。正弦交流電是目前供電和用電的主要形式。

正弦交流電包括正弦電壓和正弦電流，以電流為例，其波形如圖２．１．１所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中：ｉ為電流的瞬時(shí)值，Ｉｍ為電流的最大值或幅值，ω為角頻率，Ψｉ為初相位或初相角。只要最大值、角頻率和初相位一定，則正弦交流電與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系也就確定了，所以將這三個(gè)量稱(chēng)為正弦交流電的三要素。分析正弦交流電時(shí)也應(yīng)從以下三個(gè)方面進(jìn)行。1.2.1交流電的周期、頻率和角頻率

正弦量交變一次所需要的時(shí)間稱(chēng)為周期Ｔ，單位為ｓ（秒）。每秒內(nèi)完成的周期數(shù)稱(chēng)為頻率ｆ，單位是Ｈｚ（赫茲）。所以Ｔ與ｆ是互為倒數(shù)的關(guān)系，即每秒內(nèi)完成的弧度數(shù)稱(chēng)為角頻率ω，單位為ｒａｄ／ｓ（弧度每秒）。一個(gè)周期內(nèi)經(jīng)歷的弧度是２π，所以角頻率與周期、頻率的關(guān)系為

在我國(guó)和大多數(shù)國(guó)家都采用５０Ｈｚ作為電力標(biāo)準(zhǔn)頻率，有些國(guó)家（如美國(guó)、日本等）采用６０Ｈｚ。這種頻率在工業(yè)上應(yīng)用廣泛，習(xí)慣上也稱(chēng)為工頻。除工頻外，某些領(lǐng)域還需要采用其他的頻率，如無(wú)線(xiàn)電通信的頻率為３０ｋＨｚ～３×１０４ＭＨｚ，有線(xiàn)通信的頻率為３００～５０００Ｈｚ等。２．１．２交流電的瞬時(shí)值、最大值和有效值正弦量在任一瞬間的值稱(chēng)為瞬時(shí)值，用小寫(xiě)字母表示，如ｉ、ｕ和ｅ分別表示瞬時(shí)電流、瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)電動(dòng)勢(shì)。最大的瞬時(shí)值稱(chēng)為最大值或幅值，用帶下標(biāo)ｍ的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如Ｉｍ、Ｕｍ和Ｅｍ分別表示電流、電壓和電動(dòng)勢(shì)的幅值。正弦電流、電壓和電動(dòng)勢(shì)的大小往往不是用它們的幅值來(lái)計(jì)量，而是用有效值來(lái)計(jì)量。有效值是根據(jù)電流的熱效應(yīng)規(guī)定的，定義為：如果一個(gè)交流電流ｉ和一個(gè)直流電流Ｉ在相等的時(shí)間內(nèi)通過(guò)同一個(gè)電阻而產(chǎn)生的熱量相等，那么這個(gè)交流電流ｉ的有效值在數(shù)值上就等于這個(gè)直流電流Ｉ。設(shè)有一電阻Ｒ，通以交變電流ｉ，在一周期Ｔ?xún)?nèi)產(chǎn)生的熱量為同是該電阻Ｒ，通以直流電流Ｉ，在時(shí)間Ｔ?xún)?nèi)產(chǎn)生的熱量為根據(jù)上述定義，熱效應(yīng)相等的條件為Ｑａｃ＝Ｑｄｃ，即由此可得出交流電流的有效值為即交流電流的有效值等于瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)的平均值的開(kāi)方，故有效值又稱(chēng)為均方根值。有效值的定義適用于任何周期性變化的量，但不能用于非周期量。假設(shè)這個(gè)交流電流為正弦量則因?yàn)樗允剑ǎ玻保罚┙o出的就是交流電流的有效值與最大值的關(guān)系。同理，正弦交流電壓和電動(dòng)勢(shì)的有效值與它們的最大值的關(guān)系為有效值都用大寫(xiě)字母表示（和表示直流的字母一樣）。式（２．１．７）和式（２．１．８）中的Ｉ、Ｕ和Ｅ分別表示交流電流、交流電壓和交流電動(dòng)勢(shì)的有效值。一般所講的正弦電壓或正弦電流的大小，如交流電壓３８０Ｖ或２２０Ｖ、電器設(shè)備的額定值等，都是指它的有效值。一般交流電表的刻度數(shù)值也是指它們的有效值。２．１．３交流電的相位、初相位和相位差交流電在不同的時(shí)刻ｔ具有不同的（ωｔ＋Ψ）值，交流電也就變化到不同的位置。所以（ωｔ＋Ψ）代表了交流電的變化進(jìn)程，因此稱(chēng)（ωｔ＋Ψ）為在不同的時(shí)刻ｔ的相位或相位角。ｔ＝０時(shí)的相位稱(chēng)為初相位或初相位角Ψ。顯然，初相位與所選時(shí)間的起點(diǎn)有關(guān)，正弦量所選的計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，正弦量的初相位就不同，其初始值也就不同。原則上，計(jì)時(shí)起點(diǎn)是可以任意選擇的，不過(guò)，在進(jìn)行交流電路的分析和計(jì)算時(shí)，同一個(gè)電路中所有的電流、電壓和電動(dòng)勢(shì)只能有一個(gè)共同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。因而只能任選其中某一個(gè)的初相位為零的瞬間作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。這個(gè)初相位被選為零的正弦量稱(chēng)為參考量，這時(shí)其他各量的初相位就不一定等于零了。任何兩個(gè)同頻率正弦量的相位角之差稱(chēng)為相位差，用φ表示。例如：它們的相位差為可見(jiàn)，相位差也等于初相位之差。相位差與時(shí)間無(wú)關(guān)。因?yàn)椋鹾停榈某跸辔徊煌?，所以它們的變化步調(diào)不一致，即不是同時(shí)到達(dá)正的幅值或零值。那么它們?cè)谙辔簧系年P(guān)系有常見(jiàn)的四種，如圖２．１．２所示。２．２正弦交流電的相量表示法相量表示法的基礎(chǔ)是復(fù)數(shù)，也就是用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量，這樣可以把復(fù)雜的三角運(yùn)算簡(jiǎn)化成簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)形式的代數(shù)運(yùn)算。２．２．１矢量的復(fù)數(shù)形式及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則１．復(fù)數(shù)的四種形式及相互轉(zhuǎn)換復(fù)平面中的任一矢量都可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，如圖２．２．１所示，該直角坐標(biāo)的橫軸為±１，稱(chēng)為實(shí)軸，縱軸為±ｊ，稱(chēng)為虛軸，ｊ＝－１，稱(chēng)為虛數(shù)單位，在數(shù)學(xué)中用ｉ表示虛數(shù)，而在電工學(xué)里，為了與電流瞬時(shí)值的符號(hào)相區(qū)別，改用ｊ來(lái)表示。設(shè)一矢量Ａ，在實(shí)軸上的投影長(zhǎng)度為ａ，稱(chēng)為復(fù)數(shù)的實(shí)部，在縱軸上的投影長(zhǎng)度為ｂ，稱(chēng)為復(fù)數(shù)的虛部，長(zhǎng)度ｃ稱(chēng)為復(fù)數(shù)的模，它與正實(shí)軸之間的夾角Ψ稱(chēng)為復(fù)數(shù)的輻角。它們之間的關(guān)系為所以式（２．２．２）稱(chēng)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。將式（２．２．１）代入式（２．２．２），得式（２．２．３）稱(chēng)為復(fù)數(shù)的三角形式。由數(shù)學(xué)中的歐拉公式：得出則ｊ既是一個(gè)虛數(shù)單位，同時(shí)又是一個(gè)９０°旋轉(zhuǎn)因子。任何相量與ｊ相乘意味著該相量按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了９０°，與（－ｊ）相乘意味著該相量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了９０°。根據(jù)式（２．２．５），可將式（２．２．３）寫(xiě)成或簡(jiǎn)寫(xiě)成式（２．２．６）為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。式（２．２．７）為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式。２．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為則或或小結(jié)：復(fù)數(shù)的這四種形式可以相互轉(zhuǎn)換。復(fù)數(shù)在進(jìn)行加減運(yùn)算時(shí)，應(yīng)采用代數(shù)形式或三角形式，實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減；在進(jìn)行乘除運(yùn)算時(shí)，應(yīng)采用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式，模與模相乘除，輻角與輻角相加減。２．２．２旋轉(zhuǎn)矢量和正弦量之間的關(guān)系設(shè)有一正弦電流ｉ＝Ｉｍｓｉｎ（ωｔ＋Ψｉ），其復(fù)平面中的旋轉(zhuǎn)矢量如圖２．２．２（ａ）所示，其波形圖如圖２．２．２（ｂ）所示。圖２．２．２（ａ）中，右邊是一旋轉(zhuǎn)有向線(xiàn)段Ａ，在復(fù)平面中，有向線(xiàn)段ＯＡ的長(zhǎng)度ｃ等于正弦量的幅值Ｉｍ，它的初始位置與實(shí)軸正方向的夾角等于正弦量的初相位Ψ，則矢量在虛軸上的投影為ｂ＝ｃｓｉｎΨ。當(dāng)這個(gè)矢量以ｃ為半徑，以正弦量的角頻率ω作為角速度在復(fù)平面內(nèi)作逆時(shí)針?lè)较虻膭蛩傩D(zhuǎn)時(shí)，任意時(shí)刻這個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸上的投影為ｂ＝ｃｓｉｎ（ωｔ＋Ψ）?？梢?jiàn)，這一旋轉(zhuǎn)有向線(xiàn)段具有正弦量的三個(gè)特征，與正弦量的表達(dá)式有著相同的形式，故可用來(lái)表示正弦量。正弦量在任意時(shí)刻的瞬時(shí)值就可以用這個(gè)旋轉(zhuǎn)有向線(xiàn)段任意瞬間在縱軸上的投影表示出來(lái)。例如：２．２．３相量及相量圖以上分析說(shuō)明，正弦量可以用旋轉(zhuǎn)有向線(xiàn)段來(lái)表示，而有向線(xiàn)段可用復(fù)數(shù)來(lái)表示，所以正弦量也可用復(fù)數(shù)來(lái)表示。用以表示正弦量的矢量或復(fù)數(shù)稱(chēng)為相量。復(fù)數(shù)的模即為正弦量的幅值或有效值，復(fù)數(shù)的輻角即為正弦量的初相位。模長(zhǎng)等于最大值的相量稱(chēng)為最大值相量，模長(zhǎng)等于有效值的相量稱(chēng)為有效值相量。那么，既然相量就是復(fù)數(shù)，因而相量也有四種形式。由于相量是用來(lái)表示正弦量的復(fù)數(shù)，為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，在相量的字母頂部打上“·”。例如表示正弦電壓ｕ＝Ｕｍｓｉｎ（ωｔ＋Ψｕ）的相量為或其中：稱(chēng)為電壓的最大值相量，稱(chēng)為電壓的有效值相量。最大值相量與有效值相量之間的關(guān)系為同頻率的若干相量畫(huà)在同一個(gè)復(fù)平面上構(gòu)成了相量圖。在相量圖上能清晰地看出各正弦量的大小和相位關(guān)系。最后還要注意以下幾點(diǎn)：（１）相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。例如相量是個(gè)復(fù)數(shù)，而正弦量是個(gè)時(shí)間函數(shù)。相量只是正弦量進(jìn)行運(yùn)算時(shí)的一種表示方法和主要工具。（２）只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。（３）只有同頻率的正弦量才能進(jìn)行相量運(yùn)算，才能畫(huà)在同一個(gè)相量圖上進(jìn)行比較。例２．２．２寫(xiě)出下列正弦量的有效值相量形式，要求用代數(shù)形式表示，并畫(huà)出相量圖。２．３單一參數(shù)的正弦交流電路２．３．１純電阻電路１．電壓和電流的關(guān)系圖２．３．１（ａ）所示為一個(gè)線(xiàn)性電阻元件的交流電路，電壓和電流的參考方向如圖中所示。兩者的關(guān)系由歐姆定律確定，即為了分析方便，選電流為參考量，也就是令電流的初相位為零，即則比較式（２．３．１）和式（２．３．２），不難看出ｉ和ｕ有如下關(guān)系：（１）ｕ和ｉ是同頻率的正弦量。（２）ｕ和ｉ相位相同。（３）ｕ和ｉ的最大值之間和有效值之間的關(guān)系為式中：Ｒ為電阻，單位為Ω。（４）ｕ和ｉ的最大值相量之間和有效值相量之間的關(guān)系分別為可見(jiàn)，在純電阻電路中，各種形式均符合歐姆定律。波形圖和相量圖分別如圖２．３．１（ｂ）、圖２．３．１（ｃ）所示。２．功率１）瞬時(shí)功率在任意瞬間，電壓瞬時(shí)值ｕ與電流瞬時(shí)值ｉ的乘積，稱(chēng)為瞬時(shí)功率，用小寫(xiě)字母ｐ表示。由上式可見(jiàn)，ｐ是由兩部分組成的，第一部分是常數(shù)ＵＩ，第二部分是幅值為ＵＩ，角頻率為２ω的正弦量，ｐ隨時(shí)間變化的波形如圖２．３．１（ｄ）所示。由圖２．３．１（ｄ）可以看出，ｐ≥０，這也正是因?yàn)榻涣麟娐分须娮柙模鹾停橥辔?，即同正同?fù)，所以ｐ總為正值。ｐ為正，表示外電路消耗能量。在這里表示電阻元件將電能轉(zhuǎn)換為熱能，說(shuō)明電阻是一個(gè)耗能元件。２）平均功率一個(gè)周期內(nèi)電路消耗電能的平均值，即瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，稱(chēng)為平均功率，也叫有功功率，用大寫(xiě)字母Ｐ表示。平均功率的波形圖如圖２．３．１（ｄ）所示。２．３．２純電感電路１．電壓和電流的關(guān)系圖２．３．３（ａ）是一個(gè)線(xiàn)性電感元件的交流電路，電壓和電流的參考方向如圖中所示。為了分析方便，選電流為參考量，即則比較式（２．３．７）和式（２．３．８），不難看出ｉ和ｕ有如下關(guān)系：（１）ｕ和ｉ是同頻率的正弦量。（２）ｕ在相位上超前ｉ９０°。（３）ｕ和ｉ的最大值之間和有效值之間的關(guān)系分別為式中，ＸＬ為感抗，ＸＬ＝ωＬ＝２πｆＬ，單位為Ω。電壓一定時(shí)，ＸＬ越大，則電流越小，所以ＸＬ是表示電感對(duì)電流阻礙作用大小的物理量。ＸＬ的大小與Ｌ和ｆ成正比，Ｌ越大，ｆ越高，ＸＬ就越大。在直流電路中，由于ｆ＝０，ＸＬ＝０，所以電感可視為短路，故電感有短直的作用。（４）ｕ和ｉ的最大值相量之間和有效值相量之間的關(guān)系分別為波形圖和相量圖分別如圖２．３．３（ｂ）、圖２．３．３（ｃ）所示。２．功率１）瞬時(shí)功率電感的瞬時(shí)功率為波形圖如圖２．３．３（ｄ）所示。由圖可知，瞬時(shí)功率ｐ有正有負(fù)，ｐ＞０時(shí)，ｉ在增加，這時(shí)電感中儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能在增加，電感將電能轉(zhuǎn)換成磁場(chǎng)能；ｐ＜０時(shí)，ｉ在減小，這時(shí)電感中儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)換成電能送回電源。電感的瞬時(shí)功率的這一特點(diǎn)說(shuō)明了以下兩點(diǎn)：（１）電感不消耗電能，它是一種儲(chǔ)能元件。（２）電感與電源之間有能量的互換。２）平均功率從平均功率（有功功率）為零這一特點(diǎn)也可以看出，電感是一儲(chǔ)能元件而不是耗能元件。３）無(wú)功功率剛才提到了電感和電源之間有能量的互換，這個(gè)互換功率的大小通常用瞬時(shí)功率的最大值來(lái)衡量。由于這部分功率并沒(méi)有被消耗掉，所以稱(chēng)為無(wú)功功率，用Ｑ表示，為與有功功率區(qū)別，Ｑ的單位用ｖａｒ（乏）表示。根據(jù)定義，電感的無(wú)功功率為２．３．３純電容電路１．電壓和電流的關(guān)系圖２．３．５（ａ）是一個(gè)線(xiàn)性電容元件的交流電路，電壓和電流的參考方向如圖中所示。為了分析方便，選電壓為參考量，即則比較式（２．３．１４）和式（２．３．１５），不難看出ｉ和ｕ有如下關(guān)系：（１）ｕ和ｉ是同頻率的正弦量。（２）ｕ在相位上滯后ｉ９０°。（３）ｕ和ｉ的最大值之間和有效值之間的關(guān)系分別為式中：ＸＣ為容抗，單位為Ω。電壓一定時(shí)，ＸＣ越大，則電流越小，所以ＸＣ是表示電容對(duì)電流阻礙作用大小的物理量。ＸＣ的大小與Ｃ和ｆ成反比，Ｃ越大，ｆ越高，ＸＣ就越小。在直流電路中，由于ｆ＝０，ＸＣ→∞，所以電容可視為開(kāi)路，所以電容有隔直的作用。（４）ｕ和ｉ的最大值相量之間和有效值相量之間的關(guān)系分別為波形圖和相量圖分別如圖２．３．５（ｂ）、圖２．３．５（ｃ）所示。２．功率１）瞬時(shí)功率電容的瞬時(shí)功率波形圖如圖２．３．５（ｄ）所示。由圖可知，瞬時(shí)功率ｐ有正有負(fù)，ｐ＞０時(shí)，ｕ在增加，這時(shí)電容在充電，電容將電能轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能；ｐ＜０時(shí)，ｕ在減小，這時(shí)電容在放電，電容中儲(chǔ)存的電場(chǎng)能又轉(zhuǎn)換成電能送回電源。電容的瞬時(shí)功率的這一特點(diǎn)說(shuō)明了以下兩點(diǎn)：（１）電容不消耗電能，它是一種儲(chǔ)能元件。（２）電容與電源之間有能量的互換。２）平均功率從平均功率（有功功率）為零這一特點(diǎn)也可以得出電容是一儲(chǔ)能元件而非耗能元件的結(jié)論。３）無(wú)功功率根據(jù)無(wú)功功率的定義，電容的無(wú)功功率為例２．３．３如圖２．３．５（ａ）所示，已知流過(guò)電容的電流ｉ＝５ｓｉｎ（１０６ｔ＋１５°）（Ａ），Ｃ＝０．２μＦ，求電容兩端的電壓ｕ，并畫(huà)相量圖。小結(jié)：（１）ＸＣ、ＸＬ與Ｒ一樣，有阻礙電流的作用。（２）單一參數(shù)的正弦交流電路適用歐姆定律，ＸＣ、ＸＬ等于相應(yīng)的電壓、電流有效值之比。（３）ＸＬ與ｆ成正比，ＸＣ與ｆ成反比，Ｒ與ｆ無(wú)關(guān)。（４）對(duì)直流電ｆ＝０，ＸＬ＝０，Ｌ可視為短路；ＸＣ＝０，Ｃ可視為開(kāi)路。（５）對(duì)交流電，ｆ愈高，ＸＬ愈大，ＸＣ愈小。三種電路的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表２．３．１所示。2.4串聯(lián)交流電路２．４．１ＲＬＣ串聯(lián)電路圖２．４．１（ａ）為電阻、電感和電容元件串聯(lián)的交流電路。圖２．４．１（ｂ）為該電路的相量模型，即圖中各參數(shù)都用相量的形式標(biāo)出。在分析交流電路的時(shí)候通常是在相量模型上進(jìn)行分析及計(jì)算的。１．電壓和電流的關(guān)系電路中各元件通過(guò)同一電流，電流與各個(gè)電壓的參考方向如圖２．４．１所示。根據(jù)基爾霍夫電壓定律可用相量形式列出電壓方程，即因?yàn)樗云渲校海貫殡娍梗瑔挝粸棣?，Ｘ＝ＸＬ－ＸＣ。在第２．３?jié)中分別討論了純電阻、純電感和純電容交流電路的電壓和電流的關(guān)系，那么可以在同一個(gè)相量圖上畫(huà)出各元件的電壓和總電壓之間的關(guān)系，因?yàn)槭谴?lián)電路，各元件上的電流一樣，因此選擇電流為參考相量比較方便，即假設(shè)電流的初相位為０，圖２．４．２所示為電壓相量圖，可見(jiàn)，構(gòu)成了一個(gè)直角三角形，稱(chēng)為“電壓三角形”，利用這個(gè)電壓三角形，可求得電壓的有效值，即由相量圖不難看出，總電壓是各部分電壓的相量和而不是代數(shù)和，因此交流電路中總電壓的有效值可能會(huì)小于電容或電感電壓的有效值，總電壓小于某部分電壓，這在直流電路中是不可能出現(xiàn)的。２．阻抗、阻抗模、阻抗角式（２．４．１）類(lèi)似于歐姆定律的形式，因此令式中：Ｚ為阻抗，單位為Ω?？梢?jiàn)阻抗的實(shí)部為“阻”，虛部為“抗”，阻抗也是一個(gè)復(fù)數(shù)。因此可用極坐標(biāo)的形式寫(xiě)成其中式（２．４．３）中，Ｚ稱(chēng)為阻抗模，單位為Ω，它也具有對(duì)電流起阻礙作用的性質(zhì)。式（２．４．４）中，φ稱(chēng)為阻抗角。很顯然，Ｚ、Ｒ和Ｘ是一直角三角形的三條邊，Ｒ是Ｚ的實(shí)部，Ｘ是Ｚ的虛部，這個(gè)三角形稱(chēng)為“阻抗三角形”，如圖２．４．３所示。又因?yàn)樗宰杩鼓：妥杩菇怯挚梢苑謩e寫(xiě)為式（２．４．５）和式（２．４．６）表明：阻抗既反映了電路中電壓和電流的大小關(guān)系，也反映了電壓和電流的相位關(guān)系。阻抗為電壓和電流的相量的比值，阻抗模為電壓和電流的有效值的比值，阻抗角為電壓和電流的相位差。３．電路的性質(zhì)從式（２．４．６）可看出，φ角的大小是由電路（負(fù)載）的參數(shù)決定的。即φ角的大小由Ｒ、Ｌ和Ｃ決定。隨著電路參數(shù)的不同，電壓ｕ與電流ｉ之間的相位差φ也不同，即阻抗角也不同。根據(jù)電壓電流的相位關(guān)系，可將電路分為以下三種情況：（１）如果０＜φ＜９０°，即ＸＬ＞ＸＣ，則在相位上電壓超前電流φ角，電路的性質(zhì)介于純電阻和純電感之間，這種電路稱(chēng)為電感性電路。（２）如果－９０°＜φ＜０，即ＸＬ＜ＸＣ，則在相位上電壓滯后電流φ角，電路的性質(zhì)介于純電阻與純電容之間，這種電路稱(chēng)為電容性電路。（３）如果φ＝０°，即ＸＬ＝ＸＣ，則電壓與電流同相位，這種電路稱(chēng)為電阻性電路。這種特殊現(xiàn)象稱(chēng)為諧振。２．４．２阻抗串聯(lián)電路圖２．４．５是兩個(gè)阻抗串聯(lián)的電路，根據(jù)圖中圖２．４．５兩個(gè)阻抗串聯(lián)的參考方向，可列出電壓方程為等效阻抗為２．４．３阻抗并聯(lián)電路圖２．４．６為兩個(gè)阻抗并聯(lián)的電路，根據(jù)圖中的參考方向，可列出電流方程為等效阻抗為2.5交流電路的功率在單一參數(shù)交流電路里，分別討論了電阻電路、電感電路和電容電路的瞬時(shí)功率、有功功率和無(wú)功功率的情況。那么當(dāng)電路中同時(shí)含有電阻元件和儲(chǔ)能元件時(shí)，電路的功率既包含電阻元件消耗的功率，又包含儲(chǔ)能元件與電源交換的功率。那么對(duì)于這種一般的交流電路來(lái)說(shuō)，它的有功功率和無(wú)功功率與電壓電流之間有什么關(guān)系呢？對(duì)于一般的交流電路，在此寫(xiě)出它的瞬時(shí)電壓和瞬時(shí)電流的一般通式，即設(shè)因?yàn)橄辔徊顬樗运矔r(shí)電流可寫(xiě)為則瞬時(shí)功率為有功功率為式（２．５．２）就是一般的交流電路中有功功率的通式，它是根據(jù)定義從公式推出來(lái)的。還可以從相量圖上推出這個(gè)式子，如圖２．５．１所示。在單一參數(shù)交流電路的分析中，當(dāng)電流與電壓同相時(shí)，電路為純電阻電路，只消耗有功功率，沒(méi)有無(wú)功功率，這時(shí)電路中的電流是用來(lái)傳遞有功功率的；當(dāng)電流與電壓的相位差９０°時(shí)，電路為純電感電路或純電容電路，只有無(wú)功功率，沒(méi)有有功功率，這時(shí)電路中的電流是用來(lái)傳遞無(wú)功功率的。在一般的交流電路中，電流與電壓的相位差φ既不為０°，也不為９０°，這時(shí)可將，將

分解成兩個(gè)分量，其中與同相的分量是用來(lái)傳遞有功功率的，稱(chēng)為電流的有功分量；與相位相差９０°的分量是用來(lái)傳遞無(wú)功功率的，稱(chēng)為電流的無(wú)功分量。它們與電流Ｉ之間的關(guān)系為因此可以得出有功功率和無(wú)功功率的一般通式為電壓與電流有效值的乘積定義為視在功率，用Ｓ表示，單位為Ｖ·Ａ（伏安），即在直流電路里，ＵＩ就等于負(fù)載消耗的功率。而在交流電路中，負(fù)載消耗的功率為ＵＩｃｏｓφ，所以ＵＩ一般不代表實(shí)際消耗的功率，除非ｃｏｓφ＝１。視在功率用來(lái)說(shuō)明一個(gè)電氣設(shè)備的容量。由式（２．５．２）～式（２．５．４）可以得出三種功率間的關(guān)系為Ｐ、Ｑ、Ｓ三者之間符合直角三角形的關(guān)系，如圖２．５．２所示，這個(gè)三角形稱(chēng)為功率三角形。不難看出，電壓三角形、阻抗三角形和功率三角形是三個(gè)相似三角形。在接有負(fù)載的電路中，不論電路的結(jié)構(gòu)如何，電路總功率與局部功率的關(guān)系如下：（１）總的有功功率等于各部分有功功率的算術(shù)和。因?yàn)橛泄β适菍?shí)際消耗的功率，所以電路中的有功功率總為正值，并且總的有功功率就等于電阻元件的有功功率的算術(shù)和，即（２）在同一電路中，電感的無(wú)功功率為正，電容的無(wú)功功率為負(fù)。因此，電路總的無(wú)功功率等于各部分的無(wú)功功率的代數(shù)和，即（３）視在功率是功率三角形的斜邊，所以一般情況下總的視在功率不等于各部分視在功率的代數(shù)和，即Ｓ≠∑Ｓｉ，只能用公式進(jìn)行計(jì)算。2.6電路的功率因數(shù)在交流電路中，有功功率與視在功率的比值稱(chēng)為電路的功率因數(shù)，用λ表示，即因而電壓與電流的相位差φ也就是阻抗角也被稱(chēng)為功率因數(shù)角。同樣它是由電路的參數(shù)決定的。在純電阻電路中，Ｐ＝Ｓ，Ｑ＝０，λ＝１，功率因數(shù)最高。在純電感和純電容電路中，Ｐ＝０，Ｑ＝Ｓ，λ＝０，功率因數(shù)最低。可見(jiàn)，只有在純電阻的情況下，電壓和電流才同相，功率因數(shù)為１，對(duì)其他負(fù)載來(lái)說(shuō)，功率因數(shù)都是介于０和１之間，只要功率因數(shù)不等于１，就說(shuō)明電路中發(fā)生了能量的互換，出現(xiàn)了無(wú)功功率Ｑ。因此功率因數(shù)是一項(xiàng)重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，它反映了用電質(zhì)量，從充分利用電器設(shè)備的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，應(yīng)盡量使λ提高。１．功率因數(shù)低帶來(lái)的影響１）發(fā)電設(shè)備的容量不能充分利用容量ＳＮ一定的供電設(shè)備能夠輸出的有功功率為若ｃｏｓφ太低了，Ｐ則太小，設(shè)備的利用率也就太低了。２）增加線(xiàn)路和供電設(shè)備的功率損耗負(fù)載從電源取用的電流為因?yàn)榫€(xiàn)路的功率損耗為

，與

成正比，所以在Ｐ和Ｕ一定的情況下，ｃｏｓφ越低，就越大，供電設(shè)備和輸電線(xiàn)路的功率損耗都會(huì)增多。２．功率因數(shù)低的原因目前的各種用電設(shè)備中，電感性負(fù)載居多。并且很多負(fù)載如日光燈、工頻爐等本身的功率因數(shù)也很低。電感性負(fù)載的功率因數(shù)之所以小于１，是因?yàn)樨?fù)載本身需要一定的無(wú)功功率，從技術(shù)經(jīng)濟(jì)觀(guān)點(diǎn)出發(fā)，要解決這個(gè)矛盾，實(shí)際上就是要解決如何減少電源與負(fù)載之間能量互換的問(wèn)題。３．提高功率因數(shù)的方法提高功率因數(shù)，常用的方法就是在電感性負(fù)載兩端并聯(lián)電容。以日光燈為例來(lái)說(shuō)明并聯(lián)電容前后整個(gè)電路的工作情況，電路圖和相量圖如圖２．６．１所示。１）并聯(lián)電容前（１）電路的總電流為（２）電路的功率因數(shù)就是負(fù)載的功率因數(shù)，即（３）有功功率為２）并聯(lián)電容后（１）電路的總電流為（２）電路中總的功率因數(shù)為ｃｏｓφ。（３）有功功率從相量圖上不難看出，φ＜φ１，所以ｃｏｓφ＞ｃｏｓφ１，功率因數(shù)得到了提高，只要Ｃ值選得恰當(dāng)，便可將電路的功率因數(shù)提高到希望的數(shù)值。從公式中可以看出，并聯(lián)電容后，負(fù)載的電流沒(méi)有變，負(fù)載本身的功率因數(shù)ｃｏｓφ１沒(méi)有變，因?yàn)樨?fù)載的參數(shù)都沒(méi)有變，提高功率因數(shù)不是提高負(fù)載的功率因數(shù)，而是提高了整個(gè)電路的功率因數(shù)，這樣對(duì)電網(wǎng)而言提高了利用率。因?yàn)橛泄β示褪秦?fù)載消耗的功率，即電阻消耗的功率，因?yàn)殡姼泻碗娙莸挠泄β识紴椋?，電阻上的電流不變，所以并?lián)電容前后的有功功率沒(méi)有變。要想將功率因數(shù)提高到希望的數(shù)值，應(yīng)該并聯(lián)多大的電容呢？如圖２．６．１（ｂ）所示，在相量圖上可以求出即又因?yàn)樗?.7電路中的諧振在含有電感、電容和電阻的電路中，如果等效電路中的感抗作用和容抗作用相互抵消，使整個(gè)電路呈電阻性，這種現(xiàn)象稱(chēng)為諧振。根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)有串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振兩種情況。２．７．１串聯(lián)諧振１．串聯(lián)諧振的條件圖２．７．１為ＲＬＣ串聯(lián)電路及諧振時(shí)的相量圖。電路的阻抗要使電路呈電阻性，阻抗的虛部應(yīng)為零，故得串聯(lián)諧振的條件為由此得諧振頻率為式中：稱(chēng)為電路的固有頻率，它取決于電路參數(shù)Ｌ和Ｃ，是電路的一種固有屬性。當(dāng)電源的頻率等于固有頻率時(shí)，ＲＬＣ串聯(lián)電路就產(chǎn)生諧振。若電源的頻率是固定的，那么調(diào)整Ｌ或Ｃ的數(shù)值，使電路固有頻率等于電源頻率，也會(huì)產(chǎn)生諧振。２．串聯(lián)諧振的特征（１）串聯(lián)諧振時(shí)電路的阻抗模最小，此時(shí)：所以，若電源電壓Ｕ為定值，諧振時(shí)電流最大。（２）電壓與電流同相，電路的ｃｏｓφ＝１。（３）

即電路電感和電容元件的電壓大于總電壓，可從圖２．７．１（ｂ）中看出。如果電壓過(guò)高，可能會(huì)擊穿線(xiàn)圈和電容器的絕緣。因此，在電力工程中一般應(yīng)避免發(fā)生串聯(lián)諧振。但在無(wú)線(xiàn)電工程中則常利用串聯(lián)諧振以獲得較高電壓，電容或電感元件上的電壓常高于電源電壓幾十倍或幾百倍。串聯(lián)諧振時(shí)，電感電壓與電容電壓大小相等，相位相反，互相抵消，因此串聯(lián)諧振也稱(chēng)為電壓諧振。２．７．２并聯(lián)諧振１．并聯(lián)諧振的條件圖２．７．２是線(xiàn)圈ＲＬ與電容器Ｃ的并聯(lián)電路及相量圖。當(dāng)電路諧振時(shí)

與

相同，故從相量圖可得諧振條件為由于將以上各式代入式（２．７．２），得用代入上式，整理后得諧振頻率：如果線(xiàn)圈的電阻較小，上式可近似認(rèn)為將式（２．７．４）與式（２．７．１）比較，可見(jiàn)在這種情況下，并聯(lián)諧振的條件與串聯(lián)諧振相同。２．并聯(lián)諧振的特征（１）從相量圖可知，若換言之，電路在諧振時(shí)呈現(xiàn)出最大的等效阻抗，這與串聯(lián)諧振時(shí)的情況相反。（２）電壓與總電流相同，電路的ｃｏｓφ＝１。（３）若Ｒ較小，線(xiàn)圈和電容器中的電流會(huì)比總電流大，即支路電流大于總電流，這從相量圖可以看出。因?yàn)槿艨烧J(rèn)為因故得

并聯(lián)諧振時(shí)電感電流與電容電流大小相等，相位相反，互相抵消，因此并聯(lián)諧振又稱(chēng)為電流諧振。

并聯(lián)諧振在電工和電子技術(shù)中也有廣泛的用途。利用并聯(lián)電容器來(lái)提高電感性電路的功率因數(shù)時(shí)，若將功率因數(shù)提高到１，電路就處于并聯(lián)諧振狀態(tài)。2.8三相交流電路目前世界上電力系統(tǒng)采用的供電方式絕大多數(shù)是三相制的，也就是采用三相電源供電。本節(jié)主要講述三相電源、三相負(fù)載的連接方式，電壓、電流和功率的計(jì)算，以及中性線(xiàn)的作用。２．８．１三相電源１．三相電源的組成和產(chǎn)生當(dāng)前各類(lèi)發(fā)電廠(chǎng)都是利用三相同步發(fā)電機(jī)供電的，圖２．８．１（ａ）是一臺(tái)具有兩個(gè)磁極的三相同步發(fā)電機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖。發(fā)電機(jī)的靜止部分稱(chēng)為定子，定子鐵芯由硅鋼片疊成，內(nèi)壁有槽，槽內(nèi)嵌放著形狀、尺寸和匝數(shù)都相同、軸線(xiàn)互差１２０°的三個(gè)獨(dú)立線(xiàn)圈，稱(chēng)為三相繞組。每相繞組的首端用Ｌ１、Ｌ２、Ｌ３或Ａ、Ｂ、Ｃ表示，末端用Ｌ′１、Ｌ′２、Ｌ′３或Ｘ、Ｙ、Ｚ表示。圖２．８．１（ｂ）是繞組的結(jié)構(gòu)示意圖。發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分稱(chēng)為轉(zhuǎn)子，它的磁極由直流電流Ｉｆ通過(guò)勵(lì)磁繞組而形成，產(chǎn)生沿空氣隙按正弦規(guī)律分布的磁場(chǎng)。當(dāng)原動(dòng)機(jī)（水輪機(jī)或汽輪機(jī)等）帶動(dòng)轉(zhuǎn)子沿順時(shí)針?lè)较蚝闼傩D(zhuǎn)時(shí)，定子三相繞組切割轉(zhuǎn)子磁極的磁感線(xiàn)，分別產(chǎn)生了ｅ１、ｅ２、ｅ３三個(gè)正弦感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，取其參考方向如圖２．８．１（ｃ）所示。由于三個(gè)繞組的結(jié)構(gòu)完全相同，又是以同一速度切割同一轉(zhuǎn)子磁極的磁感線(xiàn)，只是繞組的軸線(xiàn)互差１２０°，所以ｅ１、ｅ２、ｅ３是三個(gè)頻率相同、幅值相等、相位互差１２０°的電動(dòng)勢(shì)，稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)三相電動(dòng)勢(shì)。產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)三相電動(dòng)勢(shì)的電源稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)三相電源，簡(jiǎn)稱(chēng)三相電源。１）三相電源的表示形式如果選擇ｅ１為參考量，則對(duì)稱(chēng)三相電動(dòng)勢(shì)可表示為式中：Ｅｍ為電動(dòng)勢(shì)的最大值。ｅ１、ｅ２、ｅ３的波形如圖２．８．２（ａ）所示，若用有效值相量表示，則為式中：Ｅ為電動(dòng)勢(shì)的有效值。相量圖如圖２．８．２（ｂ）所示。２）三相電源的連接方式三相發(fā)電機(jī)或三相變壓器的三個(gè)獨(dú)立繞組都可各自接上負(fù)載成為三個(gè)獨(dú)立的單相電路，這種接法在電源與負(fù)載之間需要６根連接導(dǎo)線(xiàn)，體現(xiàn)不出三相供電的優(yōu)越性。在三相制的電力系統(tǒng)中，電源的三個(gè)繞組不是獨(dú)立向負(fù)載供電，而是按一定方式連接起來(lái)，形成一個(gè)整體。連接的方式有星形連接（Ｙ形連接）和三角形連接（△形連接）兩種。較為常見(jiàn)的星形連接的三相四線(xiàn)制供電系統(tǒng)的接法如圖２．８．３（ａ）所示。（１）三相電源的星形連接。星形連接時(shí)，三個(gè)繞組的末端Ｌ′１、Ｌ′２、Ｌ′３接在一起，成為一個(gè)公共點(diǎn)，稱(chēng)為中性點(diǎn)，用字母Ｎ表示。從中性點(diǎn)引出的導(dǎo)線(xiàn)稱(chēng)為中性線(xiàn)，低壓系統(tǒng)的中性點(diǎn)通常接地，故中性線(xiàn)又稱(chēng)為零線(xiàn)或地線(xiàn)。三相繞組的三個(gè)首端Ｌ１、Ｌ２、Ｌ３引出的導(dǎo)線(xiàn)稱(chēng)為相線(xiàn)或端線(xiàn)。相線(xiàn)對(duì)地有電位差，能使驗(yàn)電筆發(fā)光，故常稱(chēng)為火線(xiàn)。三根相線(xiàn)和一根中性線(xiàn)都引出的供電方式稱(chēng)為三相四線(xiàn)制供電，不引出中性線(xiàn)的方式稱(chēng)為三相三線(xiàn)制供電。采用三相四線(xiàn)制供電方式可以向用戶(hù)提供兩種電壓：相線(xiàn)與中性線(xiàn)之間的電壓稱(chēng)為電源的相電壓，用

表示。相線(xiàn)與相線(xiàn)之間的電壓稱(chēng)為電源的線(xiàn)電壓，用表示。在圖２．８．３（ａ）所示的參考方向下，根據(jù)ＫＶＬ，線(xiàn)電壓與相電壓之間的關(guān)系為由于三相電動(dòng)勢(shì)對(duì)稱(chēng)，三相繞組的內(nèi)阻抗一般都很小，因而三個(gè)相電壓也可以認(rèn)為是對(duì)稱(chēng)的，其有效值用

表示，即以為參考相量，根據(jù)式（２．８．３）畫(huà)出電壓相量圖，如圖2.8.3（ｂ）所示。顯然三個(gè)線(xiàn)電壓也是對(duì)稱(chēng)的，其有效值用表示，即在相量圖上用幾何方法可以求得線(xiàn)電壓和相電壓的關(guān)系為三相電源工作時(shí)，每相繞組中的電流稱(chēng)為電源的相電流，用表示。由端點(diǎn)輸送出去的電流稱(chēng)為電源的線(xiàn)電流，用表示。相電流和線(xiàn)電流的大小和相位均與負(fù)載有關(guān)。星形連接時(shí)，線(xiàn)電流就是相電流，即如果線(xiàn)電流對(duì)稱(chēng)，則相電流也一定對(duì)稱(chēng)，它們的有效值分別用表示，即可見(jiàn)，在電流對(duì)稱(chēng)的情況下，星形連接的對(duì)稱(chēng)三相電源中，線(xiàn)電流的有效值等于相電流的有效值，即在相位上，線(xiàn)電流與相電流的相位相同。（２）三相電源的三角形連接。將三相電源中每相繞組的首端依次與另一相繞組的末端連接在一起，形成一個(gè)閉合