曲線與方程 省賽獲獎

第十二章《圓錐曲線與方程》

第一課時【曲線與方程】一、復(fù)習(xí)目標：1、理解曲線與方程概念；2．對于軌跡問題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等.

法門高中姚連省制作二、重難點：求軌跡方程的步驟及求軌跡方程的幾種常用的方法和應(yīng)用

三、教學(xué)方法：講練結(jié)合，探析歸納。四、教學(xué)過程（一）、基礎(chǔ)知識歸納，方法定位（學(xué)生完成復(fù)資P117頁填空題，教師引導(dǎo)，準對問題講解）1、方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系是——。2、軌跡方程的隱含條件：要注意有的軌跡問題，包含一定的隱含條件，如曲線上的點的坐標的取值范圍.由曲線和方程概念可知，在求曲線方程時一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線的一部分，應(yīng)對方程注明x的取值范圍，或同時注明x，y的范圍.

2.“軌跡”與“軌跡方程”區(qū)別與聯(lián)系：求軌跡時首先要求出軌跡方程，然后再說明方程的軌跡圖形，最后補漏和去掉增多的點，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證他的完整性.

3.求軌跡方程的幾種常用的方法：

（1）定義法：當動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線），可以直接根據(jù)定義寫出動點的軌跡方程.

（2）直譯法：當動點滿足的幾何條件本身就是一些等量的關(guān)系，或這些幾何條件易于代數(shù)法（即將幾何條件表達成等量關(guān)系），可以把這種等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標變量x，y間的等量關(guān)系，通過化簡整理便得到軌跡方程.

(3)相關(guān)點法：當動點P(x，y)依賴于一直曲線上的另一動點Q（x1，y1）而運動，且可根據(jù)相互間關(guān)系式求出x1=f（x，y），y1=g（x，y），可以把這種點Q的坐標表達式代入已知曲線方程，化簡后即得軌跡方程，這里的“代入”也可以看成是消去參數(shù)x1,y1.。

4.直譯法求軌跡方程的步驟：（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，設(shè)曲線上任意一點M的坐標為（x，y）；（2）寫出適合條件P的點M的集合；（3）用坐標表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化簡方程f(x,y)=0為最簡形式，然后要回頭看化簡方程的同解性、軌跡的完備性和純粹性等.簡稱“四步一回頭”.但要注意“挖”與“補”。

（二）、例題探析

例1

已知直角坐標系中，點Q(2，0)，圓C的方程為x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ>0)，求動點M的軌跡。

。(1)當λ=1時，方程為x=，表示一條直線.(2)當λ≠1時，方程化為表示一個圓.例2

如圖，某建筑工地要挖一個橫截面為半圓的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP運到P處，其中AP=100m，BP=150m，∠APB=600，問怎能樣運才能最省工？

解：半圓上的點可分為三類：一是沿AP到P較近，二是沿BP到P較近，三是沿AP或BP一樣近。其中第三類的點位于前兩類的分界線上，設(shè)M為分界線上的任一點，則有

即。故M在以A，B為焦點的雙曲線的右支上。建立如圖直角坐標系，得邊界的方程為,

故運土?xí)r為了省工，在雙曲線弧左側(cè)的土沿AP運到P處，右側(cè)的土沿BP運到P處，在曲線上面的土兩邊都可運。

。例3

如圖，從雙曲線x2－y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線，垂足為N，求線段QN的中點P的軌跡方程。

解：設(shè)動點P的坐標為(x,y),點Q的坐標為(x1,y1),則N(2x－x1,2y－y1)代入x+y=2,

得2x－x1+2y－y1=2①

又PQ垂直于直線x+y=2，故

即x－y+y1－x1=0②

由①②解方程組得

代入雙曲線方程即可得P點的軌跡方程是

2x2－2y2－2x+2y－1=0例4

經(jīng)過拋物線y2=2p(x+2p)(p>0)的頂點A作互相垂直的兩直線分別交拋物線于B,C兩點，求線段BC的中點M軌跡方程。

解：A(－2p,0),設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2p)(k≠0).與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得B點的坐標為

由于AC與AB垂直，則AC的方程為

與拋物線方程聯(lián)立方程組可解得C點的坐標為，又M為BC中點，設(shè)M(x,y),則

.消去k得y2=px,即點M的軌跡是拋物線。

例5.

已知P是拋物線C：上一點，直線

l過點P且與拋物線C交于另一點Q。若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程。

.解：設(shè)依題意知x1≠0,y1>0,y2>0,由得y’=x,∴過點P的切線的斜率k1=x1,直線l的斜率∴直線l的方程為方法一、(利用韋達定理、中點坐標公式)

聯(lián)立方程組，消去y得

∵

M為PQ的中點，∴消去x1,得PQ中點為M的軌跡方程為

方法二（點差法）由.得則將上式代入并整理，得PQ中點為M的軌跡方程為

（三）、課堂練習(xí)：1.一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2－6x－91=0內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線.

。xyO2、已知曲線C：y=x2與直線l：x－y+2=0交于A,B兩點，點P在曲線C上，且在A，B之間，若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程。

。。（四）、小結(jié)：求軌跡的一般方法：1．直接法；2．定義法：運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程。3.代入法：代入法也稱相關(guān)點法。4.參數(shù)法：求軌跡方程有時很難直接找到動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系，則可借助中間變量（參數(shù)），使x,y