與60°有關(guān)的試題(含解答)

與60°有關(guān)的試題28-1．等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，在△ABC內(nèi)部作等邊△DEF,連接AF求證：AF=EF證明：連AD則∠EAD=30°,又∠FED=FDE=60°,故F為△AED外心，結(jié)論成立。至于為何是外心，我們可以作FG⊥ED，交AD于H，連EH，則可知AFHE四點(diǎn)共圓，∠FAH=∠FEH=∠FDH，即AF=DF,即F為△AED外心。28-2等邊三角形ABC，等邊三角形DEF，三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)在三角形ABC的三邊上點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，OG∥AB交DF于點(diǎn)G，求證：AE=2DG證明：取DF中點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于Q，取CD中點(diǎn)R連PR。則易得△PQR為等邊三角形，故PQ=PR=RQ=1/2FC=1/2BD=1/2AE,可知CQ=CR+QR=1/2（CD+BD）=1/2BC,即Q為BC中點(diǎn)（與O重合），故也有PQ與OG重合，可得2OG=AE。28-3如圖：等邊三角形ABC和等邊三角形DEF，△DEF的三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的三邊上，點(diǎn)G為DE的中點(diǎn)，直線BG交AC于點(diǎn)H，求證：BG=GH證明：在AC上取P使CP=BE,連結(jié)DP,EP。易得四邊形BEPC為平行四邊形，故BGP共線，即P與H重合，也顯然有BG=GH。28-4等邊三角形ABC,等邊三角形DEF,點(diǎn)D,E,F分別在BC,AB,AC上，AG⊥DE于H交AC于點(diǎn)G，求證：AG+CF=2BE證明：如圖，作EJ∥BC，連DJ，作FK⊥DE，JL⊥DE，易知四邊形BEJD為平行四邊形，故EH=DL，又因?yàn)椤鱀EF為等邊三角形，故EK=DK，即HK=LK，故KF為梯形GHDJ的中位線，即FJ=FG，故CF+AG=AG+FJ+CJ=CJ+GF+AG=CJ+AF=2BE。解：∵∠AFD+∠CFE=60°（因?yàn)椤螮FD=60°正三角形）又∵∠CEF+∠CFE=60°∴∠CEF=∠AFD同理∠BDE=∠AFD又∵∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°DF=EF=ED∴△ADF≌△BDE≌△CEF∴CF=BE，BD=CE=AF過E作EK平行于AB交AC于K連接DK

∴△DCI為正三角形．∴CE=EK=CK∴EK=BD又∵BD∥EK四邊形BEKD為?BEKD連接BK與ED交I點(diǎn)，所以I點(diǎn)為?BEKD對(duì)角線交點(diǎn)，∴DI=IE∴FI為等連三角形的中線∴FI⊥DE又∵BG⊥DE∴FI∥BG又∵I為?BEKD對(duì)角線的中點(diǎn)．∴BI=IK

在△KBG中IF為其中位線，∴GF=FK∵AG=AF-GFCF=FK+CK=FK+GF∴AG+CF=CK+AF又∵CK=AF=BD∴2BD=AG+CF（圖形的對(duì)應(yīng)字母有差異，所以認(rèn)真看）28-5等邊三角形ABC，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，∠BEC=120°，連接AE，DE，求證：AE=2DE證明：倍長ED至F，連BF，CF，在BF上取G，使BE=BG，那么易得△BEG為等邊三角形，易知△AEB≌△cGB，又∠GEC=∠FCE=60°，GF∥EC，故四邊形EGFC為等腰梯形，即EF=CG=AE，就是AE=2DE。28-6.等邊三角形ABC,點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在直線CE上，連接BD，且∠DBC=2∠ACE,∠AFE=60°，BD于CE交點(diǎn)G求證：CG=AF+EF28-7.如圖：等邊三角形ABC，點(diǎn)D在射線CA上，點(diǎn)E在BC上，連接DB，DE，且DB=DE，點(diǎn)F在DE上，點(diǎn)G為AE的中點(diǎn)，直線CG交DE于點(diǎn)F求證：BD=2CG28-8已知：△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在△ABC外，連接CD，AD，BD，且∠BCD=30°，∠ADB=60°（1）如圖1：若∠ABC=60°，求證：AD=AC；（2）如圖2：若∠ABC>60°，作DH⊥BC交BC于H，作∠BAE=∠DBH交直線BC于點(diǎn)E，若BH=BC=6，求線段CE的長.28-9.三角形ABC，點(diǎn)D,F在AB上，點(diǎn)E在直線AC上，且∠CDB=∠CDE，∠ADE=2∠ACF，（1）如圖1：當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，求證：∠AEF=∠CEF（2）如圖2：當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上時(shí)，點(diǎn)F在AB上時(shí)，若三角形ABC為等邊三角形時(shí)，作BM⊥AF于M，交CD于點(diǎn)N，AH⊥CF交直線CF于點(diǎn)H，請(qǐng)你探究MH與BN的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論．28-10..