新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講講練學(xué)案 數(shù)列的周期性（含解析）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第第頁(yè)參考答案1．B【解析】【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)的周期為3，且，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合因?yàn)?，即可求?【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)且滿足，可得，則，即，所以為周期為3的函數(shù)，又因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，，可得，解得，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.2．C【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，探討數(shù)列的周期性即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，則，，于是得數(shù)列是周期數(shù)列，其周期是3，由得：，所以.故選：C3．D【解析】【分析】利用數(shù)列滿足的遞推關(guān)系及，依次取代入計(jì)算，能得到數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，得項(xiàng)的所有可能值，判斷選項(xiàng)即得結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足，，依次取代入計(jì)算得，，，，，因此繼續(xù)下去會(huì)循環(huán)，數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所有可能取值為：.故選：D.4．B【解析】推導(dǎo)出數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，由可得出，代值計(jì)算即可得解.【詳解】在數(shù)列中，，，則，，，以此類推可知，對(duì)任意的，，即數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)遞推公式證明數(shù)列是周期數(shù)列的步驟：（1）先根據(jù)已知條件寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，直至出現(xiàn)數(shù)列中的循環(huán)項(xiàng)，判斷循環(huán)的項(xiàng)包含的項(xiàng)數(shù)；（2）證明，則可說(shuō)明數(shù)列是周期為的周期數(shù)列.5．A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的周期性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是以周期為的數(shù)列，即.故選：A6．A【解析】利用遞推公式計(jì)算出數(shù)列的前幾項(xiàng)，找出數(shù)列的周期，然后利用周期性求出的值.【詳解】由，且則，，所以，即數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列所以故選：A7．D【解析】首先通過(guò)列舉數(shù)列的項(xiàng)，得到數(shù)列是周期數(shù)列，利用周期判斷選項(xiàng).【詳解】，，，，……所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，前三項(xiàng)和，，，所以，，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推公式，列舉數(shù)列中的項(xiàng)，判斷數(shù)列是周期數(shù)列.8．A【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得出數(shù)列的周期，然后可求答案.【詳解】因?yàn)?，，（且），所以，，，，，，所以的周期，所?故選：A.9．C【解析】【分析】先由數(shù)列滿足，，計(jì)算出前5項(xiàng)，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，同理可得，…所以數(shù)列每四項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)，即，且，而，所以該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是.故選：C.10．C【解析】【分析】由題意得數(shù)列是周期為3的數(shù)列，即可得解.【詳解】由，代入可得，同理可得.由，得，從而有，即，從而有，所以數(shù)列的周期為3，所以.故選：C.11．A【解析】【分析】由遞推式可得是周期為3的數(shù)列且、，可得，進(jìn)而求.【詳解】由題設(shè)，，，…，∴是周期為3的數(shù)列，又，且，∴.故選：A.12．C【解析】先由題設(shè)求得數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后得到數(shù)列的周期，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，（且），所以，，，，，，，所以?shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以，故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，解題方法如下：（1）根據(jù)題中所給的前兩項(xiàng)以及遞推公式，逐項(xiàng)寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)；（2）根據(jù)規(guī)律判斷出數(shù)列的周期；（3）根據(jù)所求的數(shù)列的周期，求得，進(jìn)而求得結(jié)果.13．B【解析】根據(jù)題意寫(xiě)出數(shù)列的前若干項(xiàng)，觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，可得，再計(jì)算，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，可得，進(jìn)而得到所求和．【詳解】“兔子數(shù)列”的各項(xiàng)為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，此數(shù)列被2除后的余數(shù)依次為：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，即，，，，，，，數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，，由題意知，由于，所以，所以．則．故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：確定數(shù)列數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，利用周期性求出數(shù)列的和，擺動(dòng)數(shù)列可以利用分組求和，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14．C【解析】【分析】利用關(guān)系及等差數(shù)列的定義求的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，根據(jù)正弦函數(shù)的周期性并討論，求得，即可求.【詳解】由題設(shè)，則，所以，又為正項(xiàng)數(shù)列，則，由，可得，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，故，當(dāng)且，；當(dāng)且，；當(dāng)且，；當(dāng)且，；則，由.故選：C15．A【解析】【分析】找出數(shù)列的規(guī)律，是周期為4的數(shù)列，然后求和即可.【詳解】由題意，，，，，，，，∴是周期為4的循環(huán)數(shù)列，在一個(gè)周期內(nèi)的積為：

，，前2022項(xiàng)之積為505個(gè)周期之積

，即；故選：A.16．B【解析】【分析】直接由遞推關(guān)系式得出數(shù)列的周期，再利用周期性即可求解.【詳解】由題意得：，則數(shù)列的周期為3，則.故選：B.17．C【解析】【分析】先分別求出的前9項(xiàng)，觀察這9項(xiàng)知是周期為6的周期函數(shù)，由此能求出前100項(xiàng)之和．【詳解】，，，，，，，，是周期為6的周期函數(shù)，，﹒故選：C﹒18．B【解析】【分析】由題意得，根據(jù)，列舉數(shù)列的項(xiàng)，得到數(shù)列從第2項(xiàng)起，3項(xiàng)一個(gè)循環(huán)求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋詳?shù)列的項(xiàng)依次為2，1，1，0，1，1，0，…，所以從第2項(xiàng)起，3項(xiàng)一個(gè)循環(huán)，所以的前100項(xiàng)的和為，故選：B．19．D【解析】【分析】根據(jù)已知條件先分析出為周期數(shù)列，然后根據(jù)周期性以及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以是周期為的周期?shù)列，所以，因?yàn)椋?，，，所以，，所以，，所以原式，故選：D.20．D【解析】【分析】依次代入可得是以為周期的周期數(shù)列，由可推導(dǎo)得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，，.故選：D.21．B【解析】【分析】由遞推公式可得，數(shù)列為周期數(shù)列且周期為3，從而可得答案?！驹斀狻恳?yàn)椋?，，，，故?shù)列為周期數(shù)列且周期為3，故.故選：B.22．B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列定義求出數(shù)列的前幾項(xiàng)后得出數(shù)列是周期數(shù)列，從而求值．【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列具有周期性，周期為4，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性，此類問(wèn)題的解法是由定義求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后歸納出周期性．23．A【解析】【分析】根據(jù)給定遞推關(guān)系，探討數(shù)列的周期性，再討論計(jì)算作答.【詳解】數(shù)列中，，，則有，因此，，，因數(shù)列的前n項(xiàng)積的最大值為3，則當(dāng)，的前n項(xiàng)積，當(dāng)，的前n項(xiàng)積，當(dāng)，的前n項(xiàng)積，解得，當(dāng)，的前n項(xiàng)積，當(dāng)，的前n項(xiàng)積，當(dāng)，的前n項(xiàng)積，解得，顯然，綜上得或，所以的取值范圍為.故選：A24．D【解析】【分析】由函數(shù)的圖象求出其解析式，再求出數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】觀察圖象知：函數(shù)周期為T(mén)，，，又，而，則，所以，，數(shù)列是周期數(shù)列，周期為6，其前6項(xiàng)依次為，則，，則.故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：周期為的周期性數(shù)列前n項(xiàng)和，先求從首項(xiàng)開(kāi)始的長(zhǎng)為一個(gè)周期的前幾項(xiàng)和，再把n化為，則有.25．B【解析】【分析】根據(jù)遞推式求出，可得數(shù)列是周期數(shù)列，根據(jù)周期可得答案.【詳解】解：由已知，，，則，，，所以數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，.故選：B.26．B【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可判斷數(shù)列為周期數(shù)列，從而可求.【詳解】因?yàn)樵跀?shù)列中，，所以，故是周期數(shù)列且周期為3，故.故選：B.27．D【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，則，，，…，所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，則.故選：D.28．D【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可得數(shù)列是以為周期的數(shù)列，由，從而可得，即可求解.【詳解】由，，所以，，，所以數(shù)列是以為周期的數(shù)列，，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.29．AD【解析】【分析】由已知條件計(jì)算可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，從而可求得答案【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，所以?shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，所以，所以n可以是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，……故選：AD30．ACD【解析】【分析】根據(jù)裴波那契數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合周期性逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，，，，，，，…，所以是?為周期的周期數(shù)列，所以，所以A正確；因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)椋訡正確；因?yàn)樗?，所以D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)裴波那契數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.31．BC【解析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，分別求得，得出數(shù)列是周期為6的數(shù)列，且，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，，，所以，同理可得，可得，所以數(shù)列是周期為6的數(shù)列，且，所以有最大值，最大值為，有最大值，最大值為，又由，，所以選項(xiàng)BC正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于難以化簡(jiǎn)的數(shù)列的遞推關(guān)系式，可求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，尋找數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律，如：周期性，單調(diào)性等，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.32．ACD【解析】【分析】首先由遞推公式列出數(shù)列的前幾項(xiàng)即可找到數(shù)列的周期性，再一一判斷即可；【詳解】解：因?yàn)榍?，所以，，，，，，，所以，即是以為周期的?shù)列，且，因?yàn)?，所以，故A正確；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，，，，，，所以?duì)任意，，故C正確；因?yàn)?，，，因?yàn)?，所以，故D正確；故選：ACD33．3025【解析】【分析】根據(jù)題意得，，進(jìn)而根據(jù)數(shù)列的周期性求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，即?shù)列為周期數(shù)列，周期為，因?yàn)?，所以，所以故答案為?4．3【解析】【分析】利用數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此該?shù)列的周期為，因此，故答案為：35．1010【解析】【分析】由已知遞推公式求得，，，，則有，所以計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)樗?，由此可得，，，所以，周期?，所以.故答案為：1010【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式和數(shù)列的周期性，考查求數(shù)列前項(xiàng)的和的問(wèn)題，考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.36．【解析】【分析】由題目條件知，數(shù)列的周期為3，代入即可求出.【詳解】由，，可得，．∴可得．所以數(shù)列的周期為3.．故答案為：.37．2【解析】【分析】根據(jù)遞推公式求出數(shù)列前幾項(xiàng)，可以求出數(shù)列的周期，利用周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因此，，所以該?shù)列的周期為3，，故答案為：238．【解析】推導(dǎo)出數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，且有，再由遞推公式求得，由此可求得數(shù)列前項(xiàng)的積.【詳解】，則，所以，，，則，所以，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，且，所以，的前項(xiàng)的積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在利用數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)出數(shù)列的周期性，一般涉及到數(shù)列項(xiàng)數(shù)較大的問(wèn)題時(shí)，常利用數(shù)列的周期性來(lái)求解.39．（1）；；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，利用代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)遞推公式可以求出數(shù)列的周期，利用數(shù)列的周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，所以；由知：，所以，故數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，即，，，，所以．40．(1)；；(2).【解析】【分析】（1）驗(yàn)證可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，；（2）由（1）可求得，利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果.(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列；，；(2)由（1）得：，，，，兩式作差得：.41．(1)(2)①數(shù)列不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)，理由見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）代入求值即可；（2）①用反證法證明；②結(jié)合①中結(jié)論得到中既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)，且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，最多連續(xù)三項(xiàng)都是正數(shù)，又得到的周期為9，且，這9項(xiàng)中，為負(fù)數(shù)，這兩項(xiàng)中一個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)，其余全是正數(shù)，對(duì)前5項(xiàng)的正負(fù)分情況得到負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)，求出最后結(jié)果.(1)因?yàn)槭荙數(shù)列，且，所以，，所以，解得：，所以，；(2)①數(shù)列不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)，理由如下：假設(shè)“Q數(shù)列”的項(xiàng)全是正數(shù)，即，所以，，這與假設(shè)矛盾，故“Q數(shù)列”的項(xiàng)不可能全是正數(shù)；假設(shè)“Q數(shù)列”的項(xiàng)全是負(fù)數(shù)，則，而，與假設(shè)矛盾，故數(shù)列不可能全是正數(shù)，也不可能全是負(fù)數(shù)，②由①可知，中既有正數(shù)，又有負(fù)數(shù)，且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，最多連續(xù)三項(xiàng)都是正數(shù)，因此存在最小的正整數(shù)k滿足，，設(shè)，，則，，，，，，，，，……，故，所以的周期為9，所以，這9項(xiàng)中，為負(fù)數(shù)，這兩項(xiàng)中一個(gè)為正，一個(gè)為負(fù)，其余全是正數(shù)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，m=3×224=672；當(dāng)時(shí)，這（k-1）項(xiàng)至多一個(gè)為負(fù)，而且負(fù)數(shù)項(xiàng)只能是，記這項(xiàng)中負(fù)數(shù)項(xiàng)個(gè)數(shù)為t，當(dāng)時(shí)，若，則，故為負(fù)數(shù)，此時(shí)t=671，m=671+1=672；若，則，故是負(fù)數(shù)，此時(shí)t=672，m=672；當(dāng)時(shí)，必須為負(fù)數(shù)，，綜上：m的取值集合為.【點(diǎn)睛】定義新數(shù)列，要結(jié)合題目信息，運(yùn)用所學(xué)的不等式，周期等知識(shí)進(jìn)行求解，分類討論是處理定義新數(shù)列最常用的方法.42．(1)或(2)，，，，(3)M的最小值為2【解析】【分析】（1）由題意，求出解析式，結(jié)合題意，列出方程，求解即可得答案.（2）若可求得的值，同理可求得，，的值，總結(jié)規(guī)律，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可得答案.（3）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，分析討論，推理求值，舉反例論證，即可得答案.(1)因?yàn)?，所以，則原方程為，整理得，所以，即或，所以或，則原方程的解為或(2)若，則，所以，所以，若，則，所以，所以，若，則，所以，所以，若，則，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以(3)由題意得，若、、總能作為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則，所以，且，，，所以，則，當(dāng)時(shí)，取，有，即成立，所以此時(shí)、、可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但，，所以，此時(shí)、、不能作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，，有，則，所以、、作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，，所以、、也總能作為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，綜上：M的最小值為2.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握反函數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算、等差數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，更要掌握分析理解，推理論證，分類討論等方法，考查學(xué)生靈活應(yīng)變的能力，屬中檔題.43．（1）7；（2）；（3）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）由數(shù)列距離的定義即可求得數(shù)列1，3，5，6和數(shù)列2，3，10，7的距離；（2）由數(shù)列的遞推公式，即可求得