實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)第三版答案_第1頁(yè)
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泛函分析習(xí)題解答1、設(shè)為一度量空間，令，問(wèn)的閉包是否等于。解答：在一般度量空間中不成立，例如：取的度量子空間，則中的開(kāi)球的的閉包是，而2、設(shè)是區(qū)間上無(wú)限次可微函數(shù)全體，定義，證明：按構(gòu)成度量空間。證明：（1）顯然且有，特別當(dāng)時(shí)有有。（2）由函數(shù)在上單調(diào)增加，從而對(duì)有即三角不等式成立。3、設(shè)是度量空間中的閉集，證明必有一列開(kāi)集包含，而且。證明：設(shè)為度量空間中的閉集，作集：，為開(kāi)集，從而只要證；可實(shí)上，由于任意正整數(shù)，有，故：。另一方面，對(duì)任意的，有，令有。所以（因?yàn)殚]集）。這就是說(shuō)，綜上所證有：。4、設(shè)為度量空間上的距離，證明也是上的距離。證明：首先由為度量空間上的距離且，因此顯然有且的充要條件是，而的充要條件是，因此的充要條件是。其次由函數(shù)在上單調(diào)增加有即三角不等式成立。所以也是上的距離。5、證明點(diǎn)列按題2中距離收斂于的充要條件為的各階導(dǎo)數(shù)在上一致收斂于的各階導(dǎo)數(shù)。證明：由題2距離的定義：則有：若上述距離收斂于，則。所以對(duì)任何非負(fù)整數(shù)有：。由此對(duì)任何非負(fù)實(shí)數(shù)有。從而對(duì)任何非負(fù)整數(shù)，的各階導(dǎo)數(shù)在上一致收斂于的各階導(dǎo)數(shù)。反之：若對(duì)每個(gè)，的各階導(dǎo)數(shù)在上一致收斂于的各階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)

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