專題22 任意角和弧度制及三角函數(shù)概念（4知識(shí)點(diǎn)5題型）原卷版

任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念?？碱}型三角函數(shù)的定義弧度制象限角與終邊相同的角任意角的概念題型一：任意角有關(guān)概念的理解題型二：終邊相同的角題型三：角所在象限的確定任意角和弧度制及三角函數(shù)的概念常考題型三角函數(shù)的定義弧度制象限角與終邊相同的角任意角的概念題型一：任意角有關(guān)概念的理解題型二：終邊相同的角題型三：角所在象限的確定題型四：扇形的弧長及面積公式題型五：三角函數(shù)的定義及應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一：任意角的概念（1）角的定義及分類①角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．②角的分類名稱定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角知識(shí)點(diǎn)二：象限角與終邊相同的角（1）象限角與終邊相同的角象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和（2）象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}（3）軸線角的集合表示角α終邊的位置角α的集合表示在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}知識(shí)點(diǎn)三：弧度制（1）弧度制的概念①弧度制定義：以弧度為單位來度量角的單位制；②1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad③規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長，r為半徑．（2）角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)（3）扇形的弧長及面積公式①弧長公式在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對(duì)的圓心角大小為α，則|α|＝eq\f(l,r)，變形可得l＝|α|r，此公式稱為弧長公式，其中α的單位是弧度．②扇形面積公式由圓心角為1rad的扇形面積為eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧長為l的扇形的圓心角大小為eq\f(l,r)rad，故其面積為S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，將l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式稱為扇形面積公式．知識(shí)點(diǎn)四：三角函數(shù)的定義（1）任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么①點(diǎn)P的縱坐標(biāo)叫角α的正弦函數(shù)，記作sinα＝y(tǒng)；②點(diǎn)P的橫坐標(biāo)叫角α的余弦函數(shù)，記作cosα＝x；③點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比叫角α的正切函數(shù)，記作tanα＝eq\f(y,x).它們都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)．將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常將它們記為：正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R；余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R；正切函數(shù)y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．（3）設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊任意一點(diǎn)P(x，y)，那么設(shè)r=，則sinα＝；cosα＝；tanα＝eq\f(y,x).題型一：任意角有關(guān)概念的理解解題思路：利用角的概念及象限角和終邊相同角理解辨析例1．（多選題）下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．第四象限角不一定是負(fù)角D．鈍角比第三象限角小例2．下列各命題正確的是（

）A．第一象限角都是銳角B．三角形的內(nèi)角必是第一，二象限角C．不相等的角終邊必不相同D．相等的角終邊相同例3．（多選題）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊與始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C．小于90°的角是銳角D．若，則是第三象限角變式訓(xùn)練4．（多選題）下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．終邊落在第一象限的角為銳角B．銳角是第一象限的角C．第二象限的角為鈍角D．小于的角一定為銳角5．下列說法中正確的是（

）A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角題型二：終邊相同的角解題思路：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和例1．的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例2．下列各角中，與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．例3．將化為的形式是．變式訓(xùn)練4．下列各角中，與角終邊重合的是（

）A． B． C． D．5．與角終邊相同的角的集合是．6．已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D題型三：角所在象限的確定解題思路：（1）已知α所在象限，確定nα或eq\f(α,n)所在象限①用不等式表示α的范圍，再確定nα或eq\f(α,n)的范圍，再判斷角所在象限；①數(shù)形結(jié)合法，等分象限，確定角所在象限.（2）先變式α的范圍，在根據(jù)不等式性質(zhì)求相應(yīng)角的范圍。例1．已知是銳角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角例2．已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限例3．（多選題）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負(fù)半軸上變式訓(xùn)練4．（多選題）角的終邊在第三象限，則的終邊可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．y軸非負(fù)半軸 D．第三或四象限5．（多選題）已知是銳角，則（

）A．是第三象限角 B．是小于的正角C．是第一或第二象限角 D．是銳角6．設(shè)是第二象限角，則的終邊在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限7．若，，則所在象限是（

）A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限題型四：扇形的弧長及面積公式解題思路：(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝eq\f(1,2)lr，此時(shí)α為弧度．扇形面積公式12lr=12αr2，扇形中弦長公式2rsinα2，扇形弧長公式l=αr.在角度制下，弧長l＝eq\f(nπr,180)，扇形面積S＝eq\f(nπr2,360)，此時(shí)n(2)在解決弧長、面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形．2.當(dāng)扇形周長一定時(shí)，其面積有最大值，最大值的求法是把面積S轉(zhuǎn)化為r的函數(shù)，函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化為方程的思想是解決數(shù)學(xué)問題的常用思想．例1．已知扇形的圓心角是，半徑為，則扇形的面積為（

）A． B． C． D．例2．扇形的圓心角為弧度，周長為，則它的面積為（

）A．5 B．6 C．8 D．9例3．若扇形周長為10，當(dāng)其面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓的半徑r為（

）A． B．C． D．例4．扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．變式訓(xùn)練5．母線長為、底面半徑為的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為．6．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分．若弧田所在扇形的圓心角為，扇形的面積為，則此弧田的面積為．7．杭州第屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)，于年月日至月日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的會(huì)徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號(hào)及象征亞奧理事會(huì)的太陽圖形六個(gè)元素組成（如圖），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊(yùn).已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內(nèi)環(huán)和外環(huán)均為圓周的一部分，若內(nèi)環(huán)弧長是所在圓周長的，內(nèi)環(huán)所在圓的半徑為，徑長（內(nèi)環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差）為，則該扇面的面積為.8．如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形，其中，則扇面（曲邊四邊形）的面積是.題型五：三角函數(shù)的定義及應(yīng)用解題思路：（1）已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解．（2）已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題．若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角α的三角函數(shù)值．（3）三角函數(shù)定義應(yīng)用問題已知角α的終邊在直線上的問題時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：①先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．②注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況處理，取射線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(a,b)．例1．已知：角的終邊過點(diǎn)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例2．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則（）A． B． C． D．例3．已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角變式訓(xùn)練4．設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．5．“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．若角的終邊過點(diǎn)，則的值是（

）A． B．2 C． D．7．已知角α的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．一、單選題1．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，是第幾象限角（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角2．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，下列與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．4．已知角終邊上有一點(diǎn)，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角5．已知扇形的周長為8cm，面積是，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A． B．1 C．2 D．36．已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積（，且弦是矢的倍，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田的弧長是（

）A． B． C． D．8．已知集合，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法，不正確的是（

）A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．鈍角比第三象限角小D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角10．已知{第一象限角}，{銳角}，{小于的角}，那么A、B、C關(guān)系是（）A．