專題5.1 任意角與弧度制【原卷版】

專題5.1任意角與弧度制專題5.1任意角與弧度制知識點(diǎn)一角的概念的推廣知識點(diǎn)一角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．提醒：終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同．知識點(diǎn)知識點(diǎn)二弧度制的定義和公式1.定義：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.2.公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))eq\s\up12(°)弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r20°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π4.提醒：有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(2)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．知識點(diǎn)知識點(diǎn)三重要結(jié)論1.軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}2.象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}考點(diǎn)01周期現(xiàn)象【典例1】（2021下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示的彈簧振子在之間做簡諧運(yùn)動，振子向右運(yùn)動時(shí)，先后以相同的速度通過兩點(diǎn)，經(jīng)歷的時(shí)間為，過N點(diǎn)后，再經(jīng)過第一次反向通過N點(diǎn)，振子在這內(nèi)共通過了的路程，則振子的振動周期．【典例2】（2020·高一課時(shí)練習(xí)）今天是星期三，那么天后的那一天是星期幾?天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?考點(diǎn)02任意角的概念【典例3】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，射線繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，并在此基礎(chǔ)上順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120到達(dá)位置，則．【典例4】（2023上·福建南平·高一武夷山一中?？计谥校┌逊轴槗芸?5分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度為.【規(guī)律方法】注意角的形成過程中，射線的旋轉(zhuǎn)方向，分清角的正負(fù).．考點(diǎn)03終邊相同的角【典例5】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，下列與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【典例6】（2023·全國·九年級隨堂練習(xí)）與角終邊相同的角的集合是．考點(diǎn)04確定終邊相同的角【典例7】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若角的終邊與角的終邊相同，則在內(nèi)與角的終邊相同的角是.【典例8】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式的元素寫出來：(1)；(2)；(3)；(4)．【規(guī)律方法】利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角．考點(diǎn)05判斷角所在象限【典例9】（2023上·甘肅天水·高一秦安縣第一中學(xué)?？计谀┤羰堑诙笙藿?，則是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【典例10】（2023上·四川南充·高二儀隴中學(xué)?？迹┮阎墙K邊上有一點(diǎn)，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【方法技巧】象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．考點(diǎn)06終邊在直線上的角【典例11】終邊在直線上的角的集合是.【典例12】（2023·全國·高一課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．【規(guī)律方法】求解終邊在某條直線上的角的集合的思路1．若所求角β的終邊在某條射線上，則集合的形式為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2．若所求角β的終邊在某條直線上，則集合的形式為{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．考點(diǎn)07角的范圍及其分布圖【典例13】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）寫出終邊落在的圖象所夾區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）的角的集合.【典例14】（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．(1)

(2)

【方法技巧】(1)先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的－360°到360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}；(3)起始、終止邊界對應(yīng)角α、β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合．考點(diǎn)08確定已知角終邊所在象限【典例15】（2023上·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)?？计谥校┑慕K邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【典例16】【多選題】（2023下·湖南株洲·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（

）A．① B．② C．③ D．④考點(diǎn)09由已知角所在象限確定其它角的范圍【典例17】（2022下·高一單元測試）若為第二象限角，則的終邊所在的象限是（

）A．第二象限 B．第一、二象限C．第一、三象限 D．第二、四象限【典例18】（2023·全國·高三對口高考）①若角與角的終邊相同，則與的數(shù)量關(guān)系為；②若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則與的數(shù)量關(guān)系為；③若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則與的數(shù)量關(guān)系為；④若角與角的終邊在一條直線上，則與的數(shù)量關(guān)系為；⑤如果是第一象限的角，那么是第象限的角.考點(diǎn)10確定角的倍、分角所在象限【典例19】【多選題】（2022下·江西新余·高一新余市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若是第二象限角，則（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的終邊在y軸負(fù)半軸上【典例20】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．考點(diǎn)11用弧度表示角【典例21】（2023·全國·高一課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內(nèi)（不包括邊界）的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實(shí)線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）【典例22】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）把下列各角化成的形式，并指出它們是哪個(gè)象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．考點(diǎn)12兩種制度的互化【典例23】（2023下·新疆阿克蘇·高一?？计谥校⑾铝懈鹘嵌然苫《?，弧度化成角度.；；；.【典例24】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）rad；°．考點(diǎn)13扇形弧長、面積、圓心角的計(jì)算【典例25】（2023上·安徽·高三固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）扇子是引風(fēng)用品，夏令必備之物.我國傳統(tǒng)扇文化源遠(yuǎn)流長，是中華文化的一個(gè)組成部分.歷史上最早的扇子是一種禮儀工具，后來慢慢演變?yōu)榧{涼、娛樂、觀賞的生活用品和工藝品.扇子的種類較多，受大眾喜愛的有團(tuán)扇和折扇.如圖1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊紙或綾絹?zhàn)錾让娑瞥傻?完全打開后的折扇為扇形（如圖2），若圖2中，，分別在，上，，的長為，則該折扇的扇面的面積為（

）

圖1

圖2A． B． C． D．【典例26】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)造性的提出了“割圓術(shù)”，劉徽認(rèn)為圓的內(nèi)接正邊形隨著邊數(shù)的無限增大，圓的內(nèi)接正邊形的周長就無限接近圓的周長，并由此求得圓周率的近似值．如圖當(dāng)時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長為，故，即．運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（

）A．時(shí)， B．時(shí)，C．時(shí)， D．時(shí)，考點(diǎn)14扇形計(jì)算中的最值問題【典例27】（2022上·廣東深圳·高一?？计谀┤羯刃沃荛L為10，當(dāng)其面積最大時(shí)，其內(nèi)切圓的半徑r為（

）A． B．C． D．【典例28】（2023下·河北張家口·高一統(tǒng)考期中）如圖，已知扇形的周長為，當(dāng)該扇形的面積取最大值時(shí)，弦長（

）A． B． C． D．【總結(jié)提升】應(yīng)用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決；(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．1.（2015·山東·統(tǒng)考高考真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（

）A． B．C． D．2.（2022·全國·高考真題（理））沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．3.（2020·山東海南·高考真題）某中學(xué)開展勞動實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．一、單選題1.（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀┫铝信c的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)校考期中）扇形的圓心角為弧度，周長為，則它的面積為（

）A．5 B．6 C．8 D．93．（2014·全國·高三專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2022上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期末）我國古代某數(shù)學(xué)著作中記載：“今有宛田，下周四步，徑四步，問為田幾何？”譯成現(xiàn)代漢語其意思為：有一塊扇形的田，弧長4步，其所在圓的直徑是4步，則這塊田的面積是（

）A．8平方步 B．6平方步 C．4平方步 D．16平方步5．（2023下·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）已知一個(gè)扇形的周長為20，則當(dāng)該扇形的面積最大時(shí)，其圓心角的弧度為（

）A．1 B．2 C．4 D．56．（2023下·遼寧沈陽·高一沈陽二十中校考階段練習(xí)）已知扇形的周長為20，則該扇形的面積S的最大值為（

）A．10 B．15 C．20 D．25二、多選題7．（2022上·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．終邊落在軸的非負(fù)半軸的角的集合為B．終邊在軸的非負(fù)半軸上的角的集合是C．第三象限角的集合為D．在范圍內(nèi)所有與角終邊相同的角為和三、填空題8．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)