4.4 數(shù)學(xué)歸納法（導(dǎo)學(xué)案） 高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性）

4.4數(shù)學(xué)歸納法導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題.重點難點教學(xué)重點：了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和原理，如何類比多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題，掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，；能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；。教學(xué)難點：（1）通過游戲模型和生活實例，了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想；（2）學(xué)握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟及每個步驟的作用課前預(yù)習(xí)自主梳理知識點數(shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)以當(dāng)“n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的證明形式記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題．我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)

P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．結(jié)論：P(n)為真．3.數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當(dāng)n＝n0時結(jié)論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關(guān)系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．只要將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，從而完成證明．自主檢測1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”．應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時n0＝1.()用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時，要分兩個步驟，缺一不可．()推證n＝k＋1時可以不用n＝k時的假設(shè).()【答案】（1）×（2）√（3）×2.用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步驗證（

）A．n=1 B．n=2C．n=3 D．n=4【答案】C【分析】由數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，第一步需要驗證取第一個值時命題是否成立.【詳解】由題知，即n的最小值為3，∴第一步驗證n=3時，不等式是否成立.故選：C3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)π”時，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，結(jié)合題意即可求解.【詳解】邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n0＝3.故選：C4.利用數(shù)學(xué)歸納法證明…且）時，第二步由到時不等式左端的變化是（）A．增加了這一項B．增加了和兩項C．增加了和兩項，同時減少了這一項D．以上都不對【答案】C【詳解】當(dāng)時，左端，那么當(dāng)時左端，故第二步由到時不等式左端的變化是增加了和兩項，同時減少了這一項，故選C.5.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，）的過程中，由到時，左邊增加了（）A．1項 B．k項 C．項 D．項【答案】D【分析】分別分析當(dāng)與時等號左邊的項，再分析增加項即可【詳解】由題意知當(dāng)時，左邊為，當(dāng)時，左邊為，增加的部分為，共項．故選：D新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題在數(shù)列的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)用歸納的方法得出了一些結(jié)論，例如等差數(shù)列的通項公式等，但并沒有給出嚴格的數(shù)學(xué)證明．那么，對于這類與正整數(shù)有關(guān)的命題，我們怎樣證明它對每一個正整數(shù)都成立呢?本節(jié)我們就來介紹一種重要的證明方法數(shù)學(xué)歸納法．探究已知數(shù)列滿足，，計算，，，猜想通項公式，并證明你的猜想．分析：計算可得，再結(jié)合，由此猜想：，如何證明這個猜想呢？計算可得，，，再結(jié)合，由此猜想：．如何證明這個猜想呢?環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念我們自然會想到從開始一個個往下驗證．一般來說，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時可以逐個驗證，但當(dāng)n較大時，驗證起來會很麻煩．特別是證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時，逐一驗證是不可能的．因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時命題都成立．問題1多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點是什么？（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.我們先從多米諾骨牌游戲說起．碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下．這樣，只要推倒第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下．思考在這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么?可以看出，使所有骨牌都能倒下的條件有兩個：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下．問題2你認為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語言來描述它？遞推作用：當(dāng)?shù)趉塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下.【設(shè)計意圖】問題情境引發(fā)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)欲望，挖掘多米諾骨牌全部倒下的原理，通過類比、遷移“骨牌原理”獲得證明數(shù)學(xué)命題的方法.思考你認為條件（2）的作用是什么?如何用數(shù)學(xué)語言描述它?可以看出，條件（2）實際上是給出了一個遞推關(guān)系：第塊骨牌倒下第塊骨牌倒下．這樣，只要第1塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒下，事實上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下．假設(shè)有無限多塊多米諾骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的動作將永遠進行下去．思考你認為前面的猜想“數(shù)列的通項公式是”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌解決這個問題嗎？顯然，如果能得到一個類似于“第塊骨牌倒下第塊骨牌倒下”的遞推關(guān)系，那么猜想的正確性也就得到證明了．為此，我們先回顧一下猜想的獲得過程：由，利用遞推關(guān)系，推出；由，利用遞推關(guān)系，推出；由，利用遞推關(guān)系，推出．……思考歸納上述過程的共性，你能得出推理的一般結(jié)構(gòu)嗎?我們發(fā)現(xiàn)，上述過程蘊含著一個與多米諾骨牌游戲的條件（2）類似的遞推結(jié)構(gòu)：以成立為條件，推出也成立．它相當(dāng)于命題：當(dāng)時猜想成立，則時猜想也成立．這里k是任意的，所有能使猜想成立的正整數(shù)都可以作為k，并且這樣的k也是存在的，因為數(shù)“1”就是一個例子．只要能夠證明這個命題，我們就可以在的條件下，由這個命題得到，對任意正整數(shù)n，成立．事實上，如果時猜想成立，即，那么，即當(dāng)時，猜想也成立．這樣，對于猜想“”，由成立，就有成立；由成立，就有成立；……．所以，對于任意正整數(shù)，猜想都成立，即數(shù)列的通項公式是．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念一般地，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)時，命題成立；（2）（歸納推理）以“當(dāng)時，命題成立”為條件推出“當(dāng)時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法(mathematicalinduction)．思考數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟之間有什么關(guān)系？記是一個關(guān)于正整數(shù)的命題，我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明形式改寫如下：條件：（1）為真；（2）若為真，則也為真．結(jié)論：為真．在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗證（或證明）了當(dāng)時結(jié)論成立，即命題為真；第二步是證明一種遞推關(guān)系，實際上是要證明一個新的命題：若為真，則也為真．完成了這兩步，就有為真，為真……為真，真……從而完成證明．環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果是一個公差為的等差數(shù)列，那么①對任何都成立．分析：因為等差數(shù)列的通項公式涉及全體正整數(shù)，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明的第一步應(yīng)證明時命題成立．第二步要明確證明的目標，即要證明一個新命題：如果時①式是正確的，那么時①式也是正確的．證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，①式成立．（2）假設(shè)當(dāng)時，①式成立，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義，有于是．即當(dāng)時，①式也成立．由（1）（2）可知，①式對任何都成立．在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)，并把“證明的目標”牢記在心．練習(xí)（第47頁）1．下列各題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，有沒有錯誤？如果有錯誤，錯在哪里？（1）求證：當(dāng)時，．證明：假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即．則當(dāng)時，左邊右邊．所以當(dāng)，等式也成立．由此得出，對任何，等式都成立．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的前項和和公式是．證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立．②假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即．則當(dāng)時，，．上面兩式相加并除以2，可得即當(dāng)時，等式也成立．由①②可知，等差數(shù)列的前項和公式是．1．【解析】這兩題的證明都是錯誤的．第（1）題的錯誤在于缺少第一步的驗證，因此歸納假設(shè)時命題成立沒有基礎(chǔ)．事實上，當(dāng)時，左邊，右邊，所以左邊右邊．第（2）題的錯誤是第二步推理利用了“倒序相加法”，而沒有證明命題“若為真，則也為真，所以該證法不是用數(shù)學(xué)歸納法的證明．注：第二步正確的證明方法如下：假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，則當(dāng)時，．這表明，當(dāng)時，等式也成立．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項為，公比為的等比數(shù)列的通項公式是，前項和公式是．2．【解析】（1）證明通項公式是，①當(dāng)時，，顯然滿足；②假設(shè)時，成立，則當(dāng)時，成立，由①②可知，對于任意，都有成立．證明：前項和公式，③當(dāng)時，成立；④假設(shè)時，成立，則當(dāng)時，成立，由③④可知，對于任意，都有成立．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例2用數(shù)學(xué)歸納法證明：．①分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第二步要證明的是一個以“當(dāng)時，①式成立”為條件，得出“當(dāng)時，①式也成立”的命題，證明時必須用上上述條件．證明：（1）當(dāng)時，①式的左邊，右邊，所以①式成立．（2）假設(shè)當(dāng)時，①式成立，即，在上式兩邊同時加上，有即當(dāng)時①式也成立．由（1）（2）可知，①式對任何都成立．例3已知數(shù)列滿足，，試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．分析：先將數(shù)列的遞推關(guān)系化為，通過計算的值，歸納共性并作出猜想，在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．解：由可得由可得同理可得．歸納上述結(jié)果，猜想①下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．（1）當(dāng)時，①式左邊，右邊，猜想成立．（2）假設(shè)當(dāng)時，①式成立，即，那么．即當(dāng)時，猜想也成立．由（1）（2）可知，猜想對任何都成立．例4設(shè)為正實數(shù)，為大于1的正整數(shù)，若數(shù)列的前項和為，試比較與的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．分析：該問題中涉及兩個字母x和n，x是正實數(shù)，n是大于1的正整數(shù)．一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較Sn與n的大小關(guān)系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出Sn，再通過n取特殊值比較Sn與n的大小關(guān)系后作出猜想，兩種做法都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明得到的猜想．解法1：由已知可得．當(dāng)時，，由可得；當(dāng)時，，由，可得；由此，我們猜想，當(dāng)，且時，．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．（1）當(dāng)時，由上述過程知，不等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)，不等式成立，即由，可得，所以于是．所以，當(dāng)時，不等式也成立．由（1）（2）可知，不等式對任何大于1的正整數(shù)都成立．解法2：顯然，所給數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，于是．當(dāng)時，，由可得當(dāng)時，，由可得由此，我們猜想，當(dāng)，且時，都有．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個猜想．（1）當(dāng)時，由上述過程知，不等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)且，不等式成立，即由，知．所以．所以，當(dāng)時，不等式也成立．由（1）（2）可知，不等式對任何大于1的正整數(shù)都成立．環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升問題：請同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1．知識清單：(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念．(2)數(shù)學(xué)歸納法的步驟．2．方法歸納：歸納—猜想—證明．3．常見誤區(qū)：(1)對題意理解不到位導(dǎo)致n0的取值出錯；(2)推證當(dāng)n＝k＋1時忽略n＝k時的假設(shè)．(1)數(shù)學(xué)知識：數(shù)學(xué)歸納法——將無限遞推轉(zhuǎn)化為有限步驗證，實現(xiàn)由量變到質(zhì)變的飛躍；(2)數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)歸納法——兩個步驟一個結(jié)論；(3)數(shù)學(xué)思想：歸納思想、遞推思想、類比思想。注意：1.用數(shù)學(xué)歸納法進行證明時，要分兩個步驟，兩個步驟缺一不可.2.(1)(歸納奠基)是遞推的基礎(chǔ).→找準n0(2)(歸納遞推)是遞推的依據(jù)→n＝k時命題成立．作為必用的條件運用，而n＝k+1時情況則需要利用假設(shè)及已知的定義、公式、定理等加以證明.環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置完成教材：第51頁練習(xí)第1,2,3,4題第51頁習(xí)題4.1第1,2題備用練習(xí)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時，不等式左邊增加了（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當(dāng)時，寫出左端，并當(dāng)時，寫出左端，兩者比較，可得答案.【詳解】當(dāng)時，左端，那么當(dāng)時

左端，故由到時不等式左端的變化是增加了，兩項，同時減少了這一項，即，故選：．2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，當(dāng)時，左式為，當(dāng)時，左式為，則應(yīng)該是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意表示出和，然后代入計算即可.【詳解】由題意，，，所以.故選：B.3.已知，則等于（

）A． B．C． D．