8.1二分法與求方程近似解

【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．方程、函數(shù)、圖象之間的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)．考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的解．考點(diǎn)三：二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，可用二分法來(lái)求方程的近似解．考點(diǎn)四：用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟1．確定零點(diǎn)x0的初始區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)<0.2．求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c.3．計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：(1)若f(c)＝0(此時(shí)x0＝c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；(2)若f(a)·f(c)<0(此時(shí)x0∈(a，c))，則令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此時(shí)x0∈(c，b))，則令a＝c.4．判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟(2)～(4)．以上步驟可簡(jiǎn)化為：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看；同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來(lái)判斷．【題型歸納】題型一：函數(shù)零點(diǎn)存在定理1．（2022上·甘肅·高一統(tǒng)考期中）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C2．（2023上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)單調(diào)遞減，再由零點(diǎn)存在定理即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，.故選：B3．（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·高一校考期中）若是函數(shù)的零點(diǎn)，則屬于區(qū)間（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意是函數(shù)的解，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的增減性進(jìn)行解答即可.【詳解】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，即.又為上的減函數(shù)，由零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)且零點(diǎn).故選：B．當(dāng)時(shí)，只需滿足，解得：.故選：C題型二：函數(shù)的零點(diǎn)區(qū)間求參數(shù)問題4．（2023上·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮求出的取值范圍，再考慮特殊情況和，分別求出零點(diǎn)對(duì)比是否在有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，最后綜合得到答案即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，解得；②當(dāng)時(shí)解得，此時(shí)函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)為和均不在區(qū)間內(nèi)，矛盾；③當(dāng)時(shí)解得，此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)為不在區(qū)間內(nèi)，矛盾，綜上可知，故選：D5．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可得，解出實(shí)數(shù)的取值范圍為.【詳解】由零點(diǎn)存在定理可知，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D6．（2022上·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分段判斷函數(shù)的零點(diǎn)，以及零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求正數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得成立，因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，顯然a小于等于0，不合要求，題型三：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問題7．（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析給定分段函數(shù)的性質(zhì)，變形方程并結(jié)合圖形求出的范圍即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)取值集合是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)取值集合是，方程，化為，解得或，如圖，觀察圖象知，的解，即函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，顯然方程只有一個(gè)解，要原方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)且僅當(dāng)有3個(gè)不同的實(shí)根，因此直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D8．（2023上·四川成都·高一四川省成都列五中學(xué)校考期中）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出的圖象如圖，結(jié)合圖象可得出答案.【詳解】關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，畫出的圖象如圖，由圖象可得：.故選：A.題型四：求函數(shù)零點(diǎn)或者方程根的個(gè)數(shù)問題9．（2023上·安徽淮北·高一淮北市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出的圖象，令，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解的范圍.【詳解】由題知，函數(shù)，作出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想可知：當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn).故選：B.10．（2023上·北京·高一北京四中?？计谥校┮阎瘮?shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出的圖像，數(shù)形結(jié)合討論的取值范圍.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以時(shí)，在上有最小值為，且，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以時(shí)，在上有最大值為，所以函數(shù)圖像如圖所示：所以關(guān)于的方程有兩個(gè)解的的范圍為.故選：.11．（2023上·北京海淀·高一首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】轉(zhuǎn)化為與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】函數(shù)的圖象如下圖，方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可看作的圖象與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，可得.故選：A.12．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設(shè)，設(shè)，根據(jù)已知作出函數(shù)的圖象，結(jié)合零點(diǎn)存在定理以及函數(shù)的增長(zhǎng)速度的快慢，即可得出答案.【詳解】設(shè)，設(shè)，則.又，所以1是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)?，，所以?又，，所以，.根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，可知，，使得，即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)椋?，所以?又，，所以，.根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，可知，，使得，即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).結(jié)合函數(shù)圖象以及的增長(zhǎng)速度可知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn).綜上所述，函數(shù)的零點(diǎn)為1，，，共3個(gè)零點(diǎn).故選：C.題型五：比較零點(diǎn)大小問題13．（2023上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知，，的零點(diǎn)分別是，，，則，，的大小順序是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象分別與函數(shù)、、的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合法求解．【詳解】解：函數(shù)，，的零點(diǎn)，即為函數(shù)分別與函數(shù)、、的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：由圖可得.故選：B14．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）已知，，滿足，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合即可得到，，的大小關(guān)系.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出的圖像過(guò)點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)，則與圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次增大，又與圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，則.故選：C15．（2022上·貴州黔東南·高二凱里一中校考階段練習(xí)）設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用零點(diǎn)存在定理計(jì)算出、的取值范圍，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，即可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因?yàn)椋闪泓c(diǎn)存在定理可知；構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，且，，因?yàn)?，由零點(diǎn)存在定理可知.因?yàn)?，則，因此，.故選：B.題型六：零點(diǎn)之和問題16．（2023上·山東泰安·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，方程有三個(gè)解，則（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】變換得到，設(shè)，確定函數(shù)為奇函數(shù)，得到，，計(jì)算得到答案.【詳解】，，即，即，設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，，不妨取，則，，.故選：B.17．（2023上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根據(jù)，求得或，再根據(jù)和，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，即可求解.【詳解】令，由得或，所以或，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故選：D.18．（2022上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若方程有四個(gè)不同的解且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意作函數(shù)與的圖象，從而可得，，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意作函數(shù)與的圖象，∵方程有四個(gè)不同的解且，∴關(guān)于對(duì)稱，即，當(dāng)?shù)没?，則，由題知，，故，所以，故，因?yàn)椋O(shè)，則由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在單調(diào)遞增，所以，的取值范圍是故選：B.題型七：用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值19．（2023上·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）新課程互助學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)二分法后，利用二分法研究方程在上的近似解時(shí)，經(jīng)過(guò)兩次二分后，可確定近似解所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，先求出的符號(hào)，根據(jù)二分法結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得出答案.【詳解】令，可知，.又，則，所以，根據(jù)二分法結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為.又，所以，根據(jù)二分法結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知，近似解所在的區(qū)間為.故選：B.20．（2023上·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過(guò)程中，計(jì)算得，則下列必有方程的根的區(qū)間為（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】利用零點(diǎn)存在性定理及二分法的相關(guān)知識(shí)即可判斷.【詳解】顯然函數(shù)在上是連續(xù)不斷的曲線，由于，所以，由零點(diǎn)存在性定理可得：的零點(diǎn)所在區(qū)間為，所以方程在區(qū)間內(nèi)一定有根.故選：C.21．（2023上·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：那么方程的一個(gè)近似根(精確度為)可以是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由零點(diǎn)存在性定理結(jié)合二分法的定義即可得出答案.【詳解】由表格可得，函數(shù)的零點(diǎn)在之間．結(jié)合選項(xiàng)可知，方程的一個(gè)近似根(精確度為0.05)可以是1.42.故選：C.題型八：函數(shù)與方程的綜合問題22．（2023上·北京西城·高一北師大二附中?？计谥校┮阎瘮?shù)為二次函數(shù)，的圖象過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為，函數(shù)在R上最小值為.(1)求的解析式；(2)當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最小值（用m表示）；(3)若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）設(shè)出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸以及函數(shù)最值，求出函數(shù)的解析式即可；（2）通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值即可；（3）根據(jù)一元二次方程根的分布，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，由對(duì)稱軸為，函數(shù)在R上最小值為可得得，將代入得：，故；（2）的對(duì)稱軸為，時(shí)，在,遞減，，時(shí)，在,遞減，在,遞增，故，時(shí)，在,遞增，故；綜上，；（3）在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，即，解得或當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，解得，此時(shí)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，由于，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，解得或（舍去），滿足條件，綜上可得，綜上：的取值范圍是．23．（2023上·北京西城·高一北京育才學(xué)校?？计谥校┖瘮?shù)，其中.(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；(2)若函數(shù)有兩個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，，（i）求的取值范圍；（ii）求的最小值以及取到最小值時(shí)的值.【答案】(1)；(2)（i），（ii）時(shí)的最小值為4.【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求在已知區(qū)間上的最值，即可得值域；（2）（i）由二次函數(shù)根的分布列不等式組求參數(shù)范圍；（ii）應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系得，結(jié)合基本不等式求最小值，進(jìn)而確定的值，結(jié)合即可得的值.【詳解】（1）由題設(shè)，故最小值為，又開口向上且對(duì)稱軸為，則上最大值，綜上，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（2）由函數(shù)有兩個(gè)正數(shù)零點(diǎn)，，（i）所以，則.（ii），則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為4，此時(shí).24．（2023上·四川成都·高一石室中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)（，且）過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在函數(shù)，的圖象上．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若定義在上的函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）把定點(diǎn)A代入函數(shù)的解析式求出的值即可；（2）問題等價(jià)于在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）函數(shù)（，且）過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，即，解得，函數(shù)的解析式為.（2）函數(shù)定義在上，在上恒成立，可得，令，得，設(shè)，函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在上恰有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)圖像拋物線開口向上，對(duì)稱軸，若，無(wú)解，不成立；若，解得，滿足題意；若，無(wú)解，不成立；若，解得，滿足題意.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【雙基達(dá)標(biāo)】單選題25．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高一?？茧A段練習(xí)）小胡同學(xué)用二分法求函數(shù)在內(nèi)近似解的過(guò)程中，由計(jì)算可得，，，則小胡同學(xué)在下次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二分法的計(jì)算方法即可判斷.【詳解】因?yàn)?，，，則根應(yīng)該落在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)二分法的計(jì)算方法，下次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值為區(qū)間中點(diǎn)函數(shù)值，即.故選：D.26．（2023上·北京西城·高一北師大二附中?？计谥校┮阎瘮?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用常變量分離法，結(jié)合數(shù)形給思想進(jìn)行判斷即可.【詳解】令，顯然有且且，于是有，設(shè)，它的圖象如下圖所示：因此要想函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，只需，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題一般的方法就是讓函數(shù)值為零，然后進(jìn)行常變量分離，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解.27．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式組，求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，所以，則，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選：C.28．（2023上·重慶·高一重慶八中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由零點(diǎn)存在定理，代入計(jì)算，即可判斷.【詳解】函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，又，，所以，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B.29．（2023上·山東青島·高一青島二中?？计谥校┮阎?，．(1)關(guān)于x的方程有兩個(gè)正根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解不等式．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）方程有兩個(gè)正根，，解得答案.（2）考慮，，三種情況，根據(jù)對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系得到不等式的解.【詳解】（1）方程有兩個(gè)正根，設(shè)為，，則，解得.（2）①當(dāng)時(shí)，不等式可化為，故；當(dāng)時(shí)，設(shè)方程的兩根為、，則，，，②若，則，，故或，③若，（i）當(dāng)，即時(shí)，，故，（ii）當(dāng)，即時(shí)，不等式無(wú)解．綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式解集為或．30．（2023上·廣東佛山·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若，作出的函數(shù)圖象并求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)討論關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)．【答案】(1)圖象見解析；單調(diào)遞減區(qū)間為(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式可作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，由此可作出圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，是方程的一個(gè)解；由得：，令，則方程解的個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與有四個(gè)不同交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與無(wú)交點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有五個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有唯一解.【高分突破】一、單選題31．（2023上·云南昆明·高一昆明八中?？计谥校┮阎簦瑒t的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，分類討論的范圍，再結(jié)合基本不等式即可得到的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，若，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，由，可得，即，不成立；當(dāng)時(shí)，由，可得，即，不成立；當(dāng)時(shí)，由，可得，則，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且，所以等號(hào)取不到，則.故選：A32．（2023上·北京西城·高一北京鐵路二中?？计谥校┰O(shè)，用二分法求方程在內(nèi)近似解的過(guò)程中得，則下列必有方程的根的區(qū)間為（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷．【詳解】由題可知函數(shù)為增函數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理知在區(qū)間上必有根．故選：C．33．（2023上·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）已知，若滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出函數(shù)圖像，，設(shè)，得到，利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，設(shè)，則，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，故選：C.34．（2023上·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）下列方程中不能用二分法求近似解的為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用二分法的定義一一判定即可.【詳解】根據(jù)二分法的要求，在上，有才能用二分法，對(duì)于A，顯然在定義域上單調(diào)遞增，且，可以使用二分法，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在定義域上連續(xù)，有，可以使用二分法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在定義域上連續(xù)，且有，可以使用二分法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，且只有一個(gè)零點(diǎn)，故不可以使用二分法，故D正確.故選：D35．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則的所有零點(diǎn)之和為（）A． B． C． D．0【答案】A【分析】先由為奇函數(shù)，推出關(guān)于對(duì)稱，則，進(jìn)而求出的解析式，則的解析式可求，解出根即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以，則，因?yàn)?，則或，解得或，所以.故選：A36．（2023上·福建南平·高一武夷山一中校考期中）已知的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，則方程的所有的根之和為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，得到的圖象關(guān)于對(duì)稱，且，再根據(jù)的圖象也關(guān)于對(duì)稱，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且是奇函?shù)，所以，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，且，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以方程的所有的根之和即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和，和的圖象，如圖所示：由圖象知：和的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，另外四個(gè)，兩兩分別關(guān)于對(duì)稱，所以5個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，故選：C二、多選題37．（2023上·湖北十堰·高一鄖西縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．1 B． C． D．【答案】ACD【分析】令，原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象如圖，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】令，則原方程化為,由方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，易知方程在時(shí)有2個(gè)不同的解，則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即所求a的取值范圍是[1,).故選：ACD.38．（2023上·重慶·高一四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列選項(xiàng)中成立的是（）A． B．C．與的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．【答案】ABD【分析】由函數(shù)與互為反函數(shù)，根據(jù)與垂直與反函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對(duì)稱性可得.【詳解】由，得，，即可得，即有，，而不在的圖象上，故的圖象與的圖象不關(guān)于對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱，又因與垂直，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)，，的圖象，如圖所示，則，，由反函數(shù)性質(zhì)知關(guān)于對(duì)稱，則，，故選：ABD39．（2023上·貴州·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，對(duì)應(yīng)值表如下：在下列區(qū)間中，一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，，，且函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，所以，一定包含零點(diǎn)的區(qū)間是、、.故選：BCD.40．（2023上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．D．在上有675個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】根據(jù)解析式可直接求得的值，判斷A；根據(jù)時(shí)的性質(zhì)，利用變量代換，推出此時(shí)函數(shù)的周期，結(jié)合解析式，即可求值，判斷B，C；利用函數(shù)周期以及，推出，即可推出，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，即，則，即得，則，即時(shí)，6為的周期；，B正確；對(duì)于C，由B的分析可知，，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，,，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；由于，則，故，則，由于，故在上有675個(gè)零點(diǎn)，D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)時(shí)的性質(zhì)，利用變量代換，推出此時(shí)函數(shù)的周期，從而判斷D選項(xiàng)時(shí)，結(jié)合周期和，推出，即可求出在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).三、填空題41．（2023上·江西撫州·高一統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根且，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象有交點(diǎn)問題求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象是頂點(diǎn)為，開口向下的拋物線，直線與其有兩個(gè)交點(diǎn)，且滿足條件，得到．故答案為：.42．（2023上·重慶·高一重慶八中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，然后分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，即可得到結(jié)果.【詳解】，設(shè)，，令在上單調(diào)遞減，故.故答案為：43．（2023上·重慶·高一重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，用二分法求零點(diǎn)的近似值（精確度為時(shí)，至少需要進(jìn)行次函數(shù)值的計(jì)算.【答案】4【分析】根據(jù)二分法求零點(diǎn)的方法，計(jì)算一次，區(qū)間精度變?yōu)樯弦淮蔚?，根?jù)精度要求即可求解.【詳解】設(shè)對(duì)區(qū)間二等分次，初始區(qū)間長(zhǎng)度為1，第1次計(jì)算后區(qū)間長(zhǎng)度為；第2次計(jì)算后區(qū)間長(zhǎng)度為；第3次計(jì)算后區(qū)間長(zhǎng)度為；第4次計(jì)算后區(qū)間長(zhǎng)度為；故至少計(jì)算4次.故答案為：4.44．（2023上·重慶·高一重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】【分析】設(shè)，得到，轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由方程等價(jià)于，設(shè)，可得，即方程等價(jià)于在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.45．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．若方程有4個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】為二次函數(shù)，當(dāng)，方程兩解，問題等價(jià)于方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)根，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)列不等式求解.【詳解】考慮方程，由的圖象得：當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)或時(shí)，方程一解；當(dāng)，方程兩解．故方程有4個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)根，則，解得：，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．四、解答題46．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)?？计谥校┮阎獮榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，且滿足．(1)求，；(2)若，且方程有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）結(jié)合函數(shù)奇偶性將代入條件中可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為、共有三個(gè)解求的取值范圍，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，所以，，由①，得即②，①②可得，①②可得；（2）由（1），方程，可得或，即或，當(dāng)時(shí)，由下圖可得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以要使方程有三個(gè)解，只需有一解即可，即與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)即可，由圖象可得或，解得或.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為，有三個(gè)解求的取值范圍，結(jié)合圖象求答案.47．（2023上·江蘇蘇州·高一江蘇省蘇州第十中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且．(1)判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)令函數(shù)，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見解析(2)【分析】（1）由是奇函數(shù)，可知，，進(jìn)而列出關(guān)系式，求出，即可得到函數(shù)的解析式，然后利用定義法，可判斷并證明函數(shù)在