一次函數(shù)、一次方程、一次不等式

例1．（06衡陽(yáng)）市政公司為綠化一段沿江風(fēng)光帶，計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種樹苗共500株，甲種樹苗每株50元，乙種樹苗每株80元．有關(guān)統(tǒng)計(jì)表明：甲、乙兩種樹苗的成活率分別為90％和95％．(1)若購(gòu)買樹苗共用了28000元，求甲、乙兩種樹苗各多少株?(2)若購(gòu)買樹苗的錢不超過(guò)34000元，應(yīng)如何選購(gòu)樹苗?(3)若希望這批樹苗的成活率不低于92％，且購(gòu)買樹苗的費(fèi)用最低，應(yīng)如何選購(gòu)樹苗?評(píng)析：本題以市政公司為綠化一段沿江風(fēng)光帶為背景的方案設(shè)計(jì)問(wèn)題．第（1）小題利用“購(gòu)買樹苗共用了28000元”為等量關(guān)系列一元一次方程，求得（1）的解；第（2）小題利用“不超過(guò)”轉(zhuǎn)化為不等號(hào)，列一次不等式求解；一次函數(shù)在自變量取值是全體實(shí)數(shù)時(shí)，沒(méi)有最大值、最小值，但當(dāng)自變量取值范圍受到限制時(shí)，運(yùn)用一次函數(shù)的增減性在端點(diǎn)處取得最大或最小值，第（3）小題要確定購(gòu)買樹苗的費(fèi)用最低的方案，建立費(fèi)用y元關(guān)于某種樹苗株數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式，確定x的取值范圍，利用一次函數(shù)的增減性得到費(fèi)用最低時(shí)，選購(gòu)樹苗的方案．解：(1)設(shè)購(gòu)甲種樹苗x株，則乙種樹苗為(500－x)株．依題意得S0x+80(500—x)=28000解之得：x=400∴500-x=500-400=100所以，購(gòu)買甲種樹苗400株，乙種樹苗100株(2)由題意得50x+80(500-x)≤34000解之得x≥200所以，購(gòu)買甲種樹苗不小于200株(3)由題意可得90%x+95％(500—x)≥92％·500∴x≤300設(shè)購(gòu)買兩種樹苗的費(fèi)用之和為y元，則y=50x+80(500-x)=40000-30x函數(shù)y=40000－3x的值隨x的增大而減小x=300時(shí)y最小值=40000-30╳300=31000所以，費(fèi)用最低的購(gòu)買方案為：甲種樹300株，乙種樹200株．例2．（06長(zhǎng)沙）我市某鄉(xiāng)兩村盛產(chǎn)柑桔，村有柑桔200噸，村有柑桔300噸．現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到兩個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù)，已知倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸；從村運(yùn)往兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從村運(yùn)往兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元．設(shè)從村運(yùn)往倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為噸，兩村運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為元和元．（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚⑶蟪雠c之間的函數(shù)關(guān)系式；解：收收地運(yùn)地總計(jì)噸200噸300噸總計(jì)240噸260噸500噸（2）試討論兩村中，哪個(gè)村的運(yùn)費(fèi)較少；（3）考慮到村的經(jīng)濟(jì)承受能力，村的柑桔運(yùn)費(fèi)不得超過(guò)4830元．在這種情況下，請(qǐng)問(wèn)怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村運(yùn)費(fèi)之和最小？求出這個(gè)最小值．分析：本題是以柑桔從產(chǎn)地到倉(cāng)庫(kù)為背景的調(diào)運(yùn)問(wèn)題，涉及的數(shù)據(jù)多，調(diào)運(yùn)情況復(fù)雜，題目中的第（1）小題設(shè)置了一個(gè)表格，為下面解題鋪設(shè)好了臺(tái)階，降低了試題的難度，只要讀懂題意，不難完成（1）的解答．將第（1）小題的之間建立方程或不等式即可完成第（2）小題的解答．第（3）小題將總運(yùn)費(fèi)表示為調(diào)運(yùn)數(shù)量的一次函數(shù)，利用自變量取值的限制，得出調(diào)運(yùn)的方案和最低的調(diào)運(yùn)費(fèi)用．收地收地運(yùn)地總計(jì)噸噸200噸噸噸300噸總計(jì)240噸260噸500噸，．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，即兩村運(yùn)費(fèi)相等；當(dāng)時(shí)，即村運(yùn)費(fèi)較少；當(dāng)時(shí)，即村費(fèi)用較少．（3）由得設(shè)兩村運(yùn)費(fèi)之和為，．即：．又時(shí)，隨增大而減小，當(dāng)時(shí)，有最小值，（元）．答：當(dāng)村調(diào)往倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為50噸，調(diào)往倉(cāng)庫(kù)為150噸，村調(diào)往倉(cāng)庫(kù)為190噸，調(diào)往倉(cāng)庫(kù)110噸的時(shí)候，兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小，最小費(fèi)用為9580元．例3.（06錦州）小剛家裝修，準(zhǔn)備安裝照明燈.他和爸爸到市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，了解到某種優(yōu)質(zhì)品牌的一盞40瓦白熾燈的售價(jià)為1.5元，一盞8瓦節(jié)能燈的售價(jià)為22.38元，這兩種功率的燈發(fā)光效果相當(dāng).假定電價(jià)為0.45元/度，設(shè)照明時(shí)間為x(小時(shí))，使用一盞白熾燈和一盞節(jié)能燈的費(fèi)用分別為y1(元)和y2(元)[耗電量(度)=功率(千瓦)×用電時(shí)間(小時(shí))，費(fèi)用=電費(fèi)+燈的售價(jià)].(1)分別求出y1、y2與照明時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)你認(rèn)為選擇哪種照明燈合算？(3)若一盞白熾燈的使用壽命為2000小時(shí)，一盞節(jié)能燈的使用壽命為6000小時(shí)，如果不考慮其他因素，以6000小時(shí)計(jì)算，使用哪種照明燈省錢？省多少錢？解題：本題以家庭裝修為背景，從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析、確定白熾燈和節(jié)能燈費(fèi)用情況、選擇哪種照明燈更合算、節(jié)省了多少錢等等問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與生活的密切關(guān)系和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值．解：(1)根據(jù)題意，得，即；，即.(2)由y1=y2，得0.018x+1.5=0.0036x+22.38，解得x=1450；由y1＞y2，得0.018x+1.5＞0.0036x+22.38，解得x＞1450；由y1＜y2，得0.018x+1.5＜0.0036x+22.38，解得x＜1450.∴當(dāng)照明時(shí)間為1450小時(shí)時(shí)，選擇兩種燈的費(fèi)用相同；當(dāng)照明時(shí)間超過(guò)1450小時(shí)時(shí)，選擇節(jié)能燈合算；當(dāng)照明時(shí)間少于1450小時(shí)時(shí)，選擇白熾燈合算.(3)由(2)知當(dāng)x＞1450小時(shí)時(shí)，使用節(jié)能燈省錢.當(dāng)x=2000時(shí)，y1=0.018