江蘇省鎮(zhèn)江地區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江地區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，又所以，故選：C.2.已知復(fù)數(shù)的模為2，則實數(shù)（）A. B. C.或2 D.或4【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)，因為復(fù)數(shù)的模為，可得，解得.故選：D.3.使成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解不等式，可得，因為，，，因此，使成立的一個充分不必要條件是.故選：C.4.已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為正實數(shù)、滿足，則，可得，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，此時，，故的最小值為.故選：B.5.若向量，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，，所以在上的投影向量為.

故選：C6.在中，若，則的面積為（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】由題意可得：，即，整理得，解得或（舍去），所以的面積為.故選：D.7.已知圓錐為底面圓心，為圓錐的母線，且，若的面積等于，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，可知等腰底邊上的高為，由的面積可得，解得，即圓錐的底面半徑為2，所以該圓錐的體積.故選：B.8.設(shè)函數(shù)和函數(shù)的圖象的公共點的橫坐標從小到大依次為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，則或，解得或，所以因為兩函數(shù)圖象的公共點的橫坐標從小到大依次為，所以，所以即..故選：A.二、多項選擇題9.下列選項中正確的是（）A.已知向量，若∥，則B.已知向量，若的夾角為鈍角，則C.已知非零向量，若，則與同向共線D.若，則和的面積之比為【答案】ACD【解析】對于選項A：若∥，則，可得，故A正確；對于選項B：若的夾角為鈍角，則，解得且，故B錯誤；對于選項C：若，且為非零向量，向量加法的三角形法則可知同向，即與同向共線，故C正確；對于選項D：若，即，可得（分別為的中點），即，可知點在線段上，且，則，即，所以和的面積之比為，故D正確；故選：ACD.10.已知函數(shù)（其中），，且在上的圖象與直線恰有個交點，則的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】因為，所以，，則，所以，或，解得或，當時，，由，可得，則令，則，如下圖所示：因為在上的圖象與直線恰有個交點，即關(guān)于的方程在時有兩個不同的實根，所以，，解得，由，可得，此時，；由，可得或，當時，；當時，.故選：BC.11.若函數(shù)有兩個不相等的極值點，則實數(shù)的取值可以是（）A. B.2 C.1 D.0【答案】BC【解析】由得，由于有兩個不相同的極值點，則有兩個不相等的實數(shù)根，則有兩個不相等的實數(shù)根，記，則，故當單調(diào)遞減，當，單調(diào)遞增，所以取極大值，又當時，恒成立，故，故選：BC.12.在棱長為6的正方體中，，是中點，則下列選項正確的是（）A.平面截正方體所得截面為梯形B.直線與所成的角的余弦值是C.從點出發(fā)沿正方體的表面到達點的最短路徑長為D.點到平面的距離為【答案】ABD【解析】A選項，如圖1，取的中點，連接，因為是中點，故，且，所以四邊形為平行四邊形，則，在上取點，使得，因為，所以，故，故四邊形即為平面截正方體所得截面，又與平面不平行，故與不平行，故四邊形為梯形，故平面截正方體所得截面為梯形，A正確；選項B，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，故，則，故直線與所成的角的余弦值是，B正確；C選項，將平面與平面沿著折疊到同一平面內(nèi)，連接，如圖，則，由勾股定理得，由于，故從點出發(fā)沿正方體的表面到達點的最短路徑長不為，C錯誤；D選項，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，則點到平面的距離為，D正確.故選：ABD.三、填空題13.已知平面向量，，，則和夾角的余弦值為_______________．【答案】【解析】因為平面向量，，，則，解得，所以，，則，所以，故答案為：.14.函數(shù)的最小值為______.【答案】1【解析】由題設(shè)知：定義域為，∴當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.15.在三棱錐中，是邊長為的正三角形，是以為斜邊的直角三角形，平面平面，則三棱錐的外接球的表面積為_______________．【答案】【解析】如圖，取中點，連接，為的重心，連接，因為是以為斜邊的直角三角形，則，又平面平面，平面平面，則平面，平面，則，則，又是邊長為的正三角形，，則，，則，為外接球的球心，半徑為2，則表面積為.故答案為：.16.已知函數(shù)，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為_______________．【答案】【解析】設(shè)，可知的定義域為，則，所以為奇函數(shù)，因為，可知在上單調(diào)遞增，對于不等式，即，可得，則，可得，注意到，可得，原題意等價于對任意的恒成立，令，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，取到最小值，可得，所以實數(shù)的最大值為.故答案為：.四、解答題17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題：在中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足_______________．（1）求角的值；（2）若的面積為，點在邊上，且，求的最小值．解：（1）若選①：因為，則，解得，且，所以；若選②：因為，由正弦定理可得：，且，則，可得，整理得，且，所以；若選③：因為，由正弦定理可得，且，則，可得，即，可得，且，則可知，所以.（2）因為的面積為，則，由題意可得：，則，當且僅當，即時，等號成立，即，所以的最小值.18.已知函數(shù)（其中）為奇函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）若不等式對于恒成立，求實數(shù)的最小值．解：（1）因為為奇函數(shù)，且的定義域為，可知，解得，則，且，即，可得為奇函數(shù)，所以.（2）由（1）可知：，因在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，則，令，則，對于不等式，即，則，原題意等價于對于恒成立，且，當且僅當，即時，等號成立，則，解得，所以實數(shù)的最小值.19.如圖，在四棱臺中，底面是中點．底面為直角梯形，且．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因為底面，底面，則，由題意可知：，且平面，所以平面，且平面，可得，不妨設(shè)，由題意可得：，可知：，即，且，平面，所以直線平面.（2）解：如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，可得，設(shè)二面角為，則，所以二面角的正弦值.20.已知，記．（1）求函數(shù)的最小正周期和對稱中心；（2）若，求．解：（1）因為，所以的最小正周期，令，解得，所以的對稱中心為.（2）因為，可得，又因為，則，且，，可知，則，則，，可得，所以.21.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，為正三角形，平面平面，為線段的中點，是線段（不含端點）上的一個動點．（1）記平面交于點，求證：平面；（2）是否存在點，使得二面角的正弦值為，若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．（1）證明：因為四邊形為菱形，則，因為平面，平面，所以，平面，因為平面，平面平面，則，因為平面，平面，因此，平面.（2）解：連接、、，因為為等邊三角形，為的中點，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為四邊形是邊長為的菱形，則，又因為，則為等邊三角形，則，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，設(shè)，其中，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，，所以，，由題意可得，整理可得，即，因為，解得，故當點為線段上靠近點的三等分點時，二面角的正弦值為.22.已知函數(shù)（其中）．（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，不等