新教材2024版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算A級(jí)——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是 ()A.a＝b B.a＋b為實(shí)數(shù)0C.a與b方向相同 D.|a|＝3【答案】D【解析】因?yàn)閍＝－b且|b|＝3，所以|a|＝|－b|＝3.故選D.2.(2023年大同檢測(cè))在空間四邊形ABCD中，下列表達(dá)式結(jié)果與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的是 ()A.eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)) B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))C.eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)) D.eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))【答案】B【解析】對(duì)于A，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))；對(duì)于B，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))；對(duì)于C，eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))；對(duì)于D，eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)).故選B.3.若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，其中m＋n＝1，則 ()A.P∈直線ABB.P?直線ABC.點(diǎn)P可能在直線AB上D.以上都不對(duì)【答案】A【解析】因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－n)eq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝n(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝neq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))共線.因?yàn)閑q\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB.故選A.4.已知非零向量e1，e2不共線，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，那么四點(diǎn)A，B，C，D ()A.一定共圓B.恰是空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C.一定共面D.一定不共面【答案】C【解析】因?yàn)榉橇阆蛄縠1，e2不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e2＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，所以5eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝5e1＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝eq\o(AC,\s\up6(→)).所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，由平面向量基本定理可知四點(diǎn)A，B，C，D共面.故選C.5.以下命題：①兩個(gè)共線向量是指在同一直線上的兩個(gè)向量；②共線的兩個(gè)向量互相平行；③共面的三個(gè)向量是指在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量；④共面的三個(gè)向量是指平行于同一平面的三個(gè)向量.其中正確命題的序號(hào)是 ()A.①③ B.②④ C.③④ D.②③【答案】B【解析】對(duì)于①，由共線向量的定義知兩個(gè)共線向量是指方向相同或相反的向量，不一定在同一直線上，故①錯(cuò)誤；同理③錯(cuò)誤；對(duì)于②④，由共線向量、共面向量的定義易知正確.故選B.6.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，下列關(guān)于eq\o(AC1,\s\up6(→))的表達(dá)式：①eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))；②eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；④eq\f(1,2)(eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(CD1,\s\up6(→)))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→)).正確的個(gè)數(shù)是 ()A.1 B.3 C.2 D.4【答案】C【解析】在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，可知eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))，又因?yàn)閑q\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\o(A1D1,\s\up6(→))，故①正確；對(duì)于②，eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，故②錯(cuò)誤；同理③錯(cuò)誤；對(duì)于④，易得eq\f(1,2)(eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(CD1,\s\up6(→)))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC1,\s\up6(→))，故④正確，故共有2個(gè)正確.故選C.7.(多選)在下列條件中，使點(diǎn)M與A，B，C不一定共面的是 ()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閑q\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，所以點(diǎn)M與A，B，C必共面.其他選項(xiàng)均得不到點(diǎn)M與A，B，C一定共面.8.對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，且有eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OA,\s\up6(→))－3eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，若D，A，B，C四點(diǎn)共面，則t＝________.【答案】3【解析】已知空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，則A，B，C，D四點(diǎn)共面等價(jià)于t－3＋1＝1，所以t＝3.9.已知四面體ABCD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝________.【答案】eq\o(AG,\s\up6(→))【解析】如圖，∵G是CD的中點(diǎn)，∴eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BG,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).10.如圖，在四面體ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)分別為邊CD和AD的中點(diǎn)，試化簡(jiǎn)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果.解：∵G是△BCD的重心，BE是CD邊上的中線，∴eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→)).∵eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FE,\s\up6(→))，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))－eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))(如圖所示).B級(jí)——能力提升練11.如圖，在平行六面體ABCDA′B′C′D′中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，則下列與向量eq\o(A′C,\s\up6(→))相等的表達(dá)式是()A.－a＋b＋c B.－a－b＋cC.a－b－c D.a＋b－c【答案】D【解析】在平行六面體ABCDA′B′C′D′中，eq\o(A′C,\s\up6(→))＝eq\o(A′A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－c＋a＋b＝a＋b－c，所以eq\o(A′C,\s\up6(→))＝a＋b－c.故選D.12.(多選)如圖，四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，則 ()A.eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→)) B.eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))C.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(HG,\s\up6(→)) D.四邊形EFGH是梯形【答案】ABD【解析】∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴EH是△ABD的中位線，則eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，∵eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，故A正確；eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up6(→))，故B正確；顯然直線EF和直線HG相交，故C不正確，D正確.故選ABD.13.給出命題：①若a與b共線，則a與b所在的直線平行；②若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則這三個(gè)向量共面；③若A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外一點(diǎn)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，則點(diǎn)M一定在平面ABC上，且在△ABC的內(nèi)部.其中為真命題的是________.【答案】③【解析】①中a與b所在的直線也有可能重合，故①是假命題；②如三棱錐一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱看作三個(gè)向量，則它們不共面；③如圖，A，B，C，M四點(diǎn)共面，因?yàn)閑q\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，等式兩邊同時(shí)加上eq\o(MO,\s\up6(→))，則eq\f(1,3)(eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))＝－(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))，設(shè)E為BC中點(diǎn)，則eq\o(MA,\s\up6(→))＝－2eq\o(ME,\s\up6(→))，即AM＝2ME，所以M是△ABC的重心，所以點(diǎn)M在平面ABC上，且在△ABC的內(nèi)部，故③是真命題.14.已知三棱錐OABC，D是BC中點(diǎn)，P是AD中點(diǎn)，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，則x＋y＋z＝________，x＝________.【答案】1eq\f(1,2)【解析】如圖，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)))))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,4)，所以x＋y＋z＝1，x＝eq\f(1,2).15.已知正方形ABCD，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y的值：(1)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→