新教材2024版高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離夾角問題第1課時空間中的距離問題課件新人教A版選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第1課時空間中的距離問題學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.理解點線距、點面距、線線距、線面距、面面距的概念和向量表示直觀想象、數(shù)學(xué)抽象2.體會空間向量解決幾何問題的方法，能夠用向量法求空間中的距離問題直觀想象、數(shù)學(xué)運算|自學(xué)導(dǎo)引|

空間中距離與向量的關(guān)系【預(yù)習(xí)自測】1．思考辨析(對的畫“√”，錯的畫“×”)(1)點A是直線l外一點，若AB是直線l的垂線段，則AB的長度就是點A到直線l的距離．

(

)(2)直線l∥平面α，則直線l到平面α的距離就是直線l上的點到平面α的距離．

(

)(3)若平面α∥β，則兩平面α，β間的距離可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某條直線到平面β的距離，也可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某點到平面β的距離． (

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√【答案】D3．設(shè)A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，則點D到平面ABC的距離為________.點到直線的距離與兩條平行直線之間的距離有什么關(guān)系？【答案】提示：在兩條平行直線中的一條上取一定點，該點到另一條直線的距離即為兩條平行直線的距離．微思考|課堂互動|題型1點到直線的距離、兩條平行直線之間的距離

在長方體OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求點O1到直線AC的距離．解：方法一，連接AO1，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E，F(xiàn)分別為A1B1，A1A的中點．求直線EF與C1D之間的距離．解：以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，∴A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，A(0，0，0)，C1(2，2，2)，D(0，2，0).題型2點到平面的距離

如圖，正方形ABCD的邊長為4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求點A到平面GEF的距離．用向量法求點面距的方法與步驟如圖．2．如圖，在棱長為1的立方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱A1D1的中點，H為平面AA1D1D內(nèi)的點．(1)若C1H⊥平面BDE，確定點H的位置；(2)求點C1到平面BDE的距離．解：以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由棱長為1可得D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1).題型3直線和平面、平面和平面的距離角度1直線和平面的距離已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，M，N分別為A1B1，AD，CC1的中點，判斷直線AC與平面EMN的關(guān)系．如果平行，求出AC與平面EMN之間的距離；如果不平行，說明理由．角度2平面和平面的距離

如圖，已知棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1，則平面AB1C與平面A1C1D之間的距離為________.直線與平面距離的求法(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求相應(yīng)點的坐標(biāo)．(2)求出直線的方向向量，平面的法向量．(3)先證明直線與平面平行、然后把所求距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離．(4)求出點到平面的距離即為所求距離．3．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，求平面AMN與平面EFBD間的距離．錦囊妙計等價轉(zhuǎn)化思想在求空間的距離問題中的應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想是解決立體幾何的重要思想方法，也是高考中重點考查的數(shù)學(xué)方法，空間中點、線、面的位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，平面幾何與立體幾何之間的相互轉(zhuǎn)化等都是解答立體幾何問題時常用的方法．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是線段AD，PB的中點，PA＝AB＝2．(1)求證：EF∥平面PCD；(2)求點E到平面PCD的距離．命題意圖：本題考查了線面平行的判定、三棱錐的等體積法、點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查了空間想象能力、數(shù)學(xué)運算能力、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．知識依托：(1)線線平行判定定理和線面平行判定定理．(2)棱錐的體積公式．解：(1)證明：如圖，取PC中點G，連接DG，F(xiàn)G，如圖．∵四邊形ABCD為正方形，∴DE∥BC．∵G，F(xiàn)分別為PC，PB的中點，∴FG∥BC．∴DE∥FG．求點到平面的距離的常用方法(1)直接法：過點P作平面α的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面α的距離．(2)轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線l平行于平面α，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點到平面α的距離來求．|素養(yǎng)達(dá)成|1．空間距離的定義(1)圖形與圖形的距離：一個圖形內(nèi)的任一點與另一圖形內(nèi)的任一點的距離中的最小值叫做圖形與圖形的距離．(2)點到平面的距離：一點到它在一個平面內(nèi)正射影的距離，叫做點到這個平面的距離．(3)直線與其平行平面的距離：一條直線上的任一點到與它平行的平面的距離，叫做直線與平面的距離．(4)兩個平行平面的距離：和兩個平行平面同時垂直的直線，叫做兩個平面的公垂線．夾在平行平面間的部分，叫做兩個平面的公垂線段．兩平行平面的公垂線段的長度，叫做兩平行平面的距離．(3)特殊性：求距離還常采用等積變換法或歸結(jié)為解直角三角形．利用向量法實際取點時，要選取方便，容易計算的．1．(題型2)已知△ABC的頂點A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，則AC邊