隨機變量及其與事件的聯(lián)系與離散型隨機變量的分布列 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

2.1隨機變量及離散型隨機變量的分布列1.了解隨機變量、離散型隨機變量的概念，達到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的要求；2.掌握求離散型隨機變量的分布列及其應(yīng)用，達到數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的要求；環(huán)節(jié)一隨機變量的概念1、隨機變量的概念隨機試驗的概念一般地，一個試驗如果滿足下列條件：①試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；②試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個；③每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果;這種試驗就是一個隨機試驗，為了方便起見，也簡稱試驗.1、隨機變量的概念思考1：你能舉出一些隨機試驗嗎？（1）擲骰子；（2）丟硬幣；（3）抽檢產(chǎn)品｛1,2,3,4,5,6｝｛正，反｝｛正品，次品｝思考2：我能把所有的試驗用數(shù)字進行表示嗎？｛正，反｝將“正面朝上”定為0，“反面朝上”定為1X=0X=0表示丟的硬幣是正面朝上

隨機變量的取值：隨機變量的取值由隨機試驗的結(jié)果決定.1、隨機變量的概念1、隨機變量的概念思考3：賦予每個隨機變量一個數(shù)字進行表示后，它跟函數(shù)有什么關(guān)系呢？例1

將一枚均勻的骰子擲兩次，不能作為隨機變量的是（D）A.兩次擲出的點數(shù)之和B.兩次擲出的最大點數(shù)C.第一次與第二次擲出的點數(shù)之差D.兩次擲出的點數(shù)解析：將一枚均勻的骰子擲兩次，兩次擲出的點數(shù)之和是一個變量，且隨試驗結(jié)果的變化而變化，是一個隨機變量.同理，兩次擲出的最大點數(shù)、第一次與第二次擲出的點數(shù)之差也都是隨機變量，而兩次擲出的點數(shù)不能用一個實數(shù)表示，不能作為隨機變量.故選D.D1、隨機變量的概念例2

6件產(chǎn)品中有2件次品與4件正品，從中任取2件，則下列可作為隨機變量的是（B）A.取出產(chǎn)品的件數(shù)B.取出正品的件數(shù)C.取到正品的概率D.取到次品的概率解答：由題意知，此試驗所有可能結(jié)果為2件正品、1件正品和1件次品、2件次品，因此取出正品的件數(shù)可作為隨機變量.故選B.B1、隨機變量的概念例3

對一批產(chǎn)品逐個進行檢測，若第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為ξ，則{ξ＝k}表示（D）A.第k－1次檢測到正品，而第k次檢測到次品B.第k次檢測到正品，而第k＋1次檢測到次品C.前k－1次檢測到正品，而第k次檢測到次品D.前k次檢測到正品，而第k＋1次檢測到次品解析：由題意，得第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為k，因此前k次檢測到的都是正品，第k＋1次檢測到的是次品，故選D.D1、隨機變量的概念(1).袋中裝有2個白球和5個黑球,從中任取3個球,其中所含白球的個數(shù)X.例4

寫出下列隨機變量可能取的值,并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結(jié)果．

X＝0,1,2Y＝3,4,51、隨機變量的概念(2).袋中裝有5個同樣大小的球,編號1,2,3,4,5.現(xiàn)從中隨機取出3個球,被取出的球的最大號碼數(shù)Y.例5

已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品.試驗E：從這10件產(chǎn)品中任取3件,觀察不合格品的件數(shù).（1）寫出該隨機現(xiàn)象可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）試用隨機變量X來描述上述結(jié)果.1、隨機變量的概念解

(1)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是:“沒有不合格品”“恰有1件不合格品"“恰有2件不合格品”.(2)令隨機變量X表示取出的3件產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù)，則X所有可能的取值為0，1，2，對應(yīng)著任取3件產(chǎn)品所有可能的結(jié)果.即{X=0}表示“沒有不合格品”；{X=l}表示“恰有1件不合格品”；{X=2}表示“恰有2件不合格品”.例6連續(xù)拋擲一枚均勻的硬幣2次，用X表示這2次拋擲中出現(xiàn)正面的次數(shù)，則X是一個隨機變量.分別說明下列集合所代表的隨機事件：(1){X=0}； (2){X=l}；

(3){X≤1}； (4){X>0}.1、隨機變量的概念解(1){X=0}表示“2次都是出現(xiàn)反面”.(2){X=1}表示“恰有1次出現(xiàn)正面”.(3){X<1}表示“至多1次出現(xiàn)正面(4){X>0}表示“至少1次岀現(xiàn)正面”.環(huán)節(jié)二離散型隨機變量2、離散型隨機變量的概念例1：你能寫出下列X所有可能的取值嗎？（1）拋擲一枚骰子；（2）從3個黑球2個紅球中摸兩次，摸到紅球的個數(shù).（3）某人每天登入微信的次數(shù)。

思考1：上述的例子中的隨機變量有什么特點？能一一列舉出來離散型隨機變量：取值能夠一一列舉出來的隨機變量稱為離散型隨機變量.

2、離散型隨機變量的概念思考2：除了能一一列舉出來的隨機變量，有沒有不能一一列舉出來的隨機變量呢？

連續(xù)型隨機變量：連續(xù)型隨機變量的取值范圍包含一個區(qū)間.[0,+∞)思考3：連續(xù)性隨機變量能變成離散型隨機變量嗎？將某品牌節(jié)能燈壽命不超過1000定義為0，將超過1000定義為1判斷離散型隨機變量的方法1.明確隨機試驗的所有可能結(jié)果.2.將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化.3.確定試驗結(jié)果所對應(yīng)的實數(shù)是否可以一一列出，如能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是.思考：你能歸納出求離散型隨機變量分布列的方法嗎？2、離散型隨機變量的概念例2下列變量中，哪些是隨機變量，哪些是離散型隨機變量？（1）某機場一年中每天運送乘客的數(shù)量；可能為0，1，2，3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量.（2）某單位辦公室一天中接到電話的次數(shù)；可能為0，1，2，3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量.（3）明年5月1日到10月1日期間所查酒駕的人數(shù)；可能為0，1，2，3，…，是隨機變化的，因此是隨機變量，也是離散型隨機變量.2、離散型隨機變量的概念（4）一瓶果汁的容量為500±2mL.由于果汁的容量在498mL～502mL之間波動，是隨機變量，不是離散型隨機變量.（1）一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數(shù)；解析（1）從10個球中取3個球，所得的結(jié)果有以下幾種：3個白球；2個白球和1個黑球；1個白球和2個黑球；3個黑球.其結(jié)果可以一一列出，符合離散型隨機變量的定義.（2）某林場的樹木最高達30m，則此林場中樹木的高度；解析（2）林場樹木的高度是一個隨機變量，它可以?。?，30]內(nèi)的一切值，無法一一列舉，不是離散型隨機變量.（3）某加工廠加工的某種銅管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差.解析（3）實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是離散型隨機變量.例2下列變量中，哪些是隨機變量，哪些是離散型隨機變量？2、離散型隨機變量的概念環(huán)節(jié)三離散型隨機變量的分布列2、離散型隨機變量的概念

{1,2,3,4,5,6}（3）X=1表示“擲出的點數(shù)為1”的事件，（4）你能求出X所有可能值的概率嗎？

X123456P2、離散型隨機變量的概念xix1x2…xn…P(X=xi)p1p2…pn…離散型隨機變量分布列：若離散型隨機變量X的取值為x1，x2…，xn,…，隨機變量X取xi的概率為Pi，記作P(X=xi)=Pi(i=1,2…n…)①也可以列成表，如表表或①式稱為離散型隨機變量X的分布列,簡稱為X的分布列。(1)pi>0(i=1,2,…,n,…)(2)p1+p2+…+pn+…=1如果隨機變量X的分布列為表或①式，我們稱隨機變量X服從這一分布列,記作隨機變量X的分布列完全描述了隨機現(xiàn)象的規(guī)律:了解了隨機變量X的分布列，就了解了這個隨機變量的所有可能取值及取各個值的概率2、離散型隨機變量的概念xix1x2…xn…P(X=xi)p1p2…pn…求離散型隨機變量的分布列方法1.確定隨機變量的取值.2.求出每一個取值所對應(yīng)的概率.3.用所有概率之和是否為1來檢驗.思考：你能歸納出求離散型隨機變量分布列的方法嗎？2、離散型隨機變量的概念例2（多選）下列表格中，不是某個隨機變量的分布列的是（BCD）A.X012P0.70.150.15B.X－2024P0.50.20.30.1C.X123P－

BCDD.X123Plg2lg2lg53、離散型隨機變量的分布列例3某玩家射擊飛鏢一次命中環(huán)數(shù)X的分布列為X5678910P0.030.070.100.240.310.25則P（X＞8）等于（C）A.0.20B.0.34C.0.56D.0.80解析：根據(jù)X的分布列知，所求概率為0.25＋0.31＝0.56.C3、離散型隨機變量的分布列例4由于電腦故障，使得隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，以□代替，其表如下：X123456P0.200.100.□50.100.1□0.20根據(jù)該表可知X取奇數(shù)值時的概率是

0.6

?.解析：由離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可求得P（X＝3）＝0.25，P（X＝5）＝0.15，故X取奇數(shù)值時的概率為P（X＝1）＋P（X＝3）＋P（X＝5）＝0.20＋0.25＋0.15＝0.6.0.63、離散型隨機變量的分布列例5若隨機變量X的分布列為則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，2]

B．[1，2]

C．(1，2]

D．(1，2)X-2-10123P0.10.20.20.30.10.1解析

由隨機變量X的分布列知：P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，則當(dāng)P(X＜a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1，2]．C3、離散型隨機變量的分布列

（1）求常數(shù)a的值；

由題意知，所給分布列為X

1Pa2a3a4a5a

3、離散型隨機變量的分布列例7連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次，用X表示擲出的點數(shù)之和，試求X的分布列.2、離散型隨機變量的概念2、離散型隨機變量的概念

例7連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次，用X表示擲出的點數(shù)之和，試求X的分布列.例8一袋中裝有6個完全相同的黑球，編號分別為1,2,3,4,5,6,現(xiàn)從中隨機取出3個球，用X表示取出球的最大編號，求X的分布列.

2、離散型隨機變量的概念

2、離散型隨機變量的概念例10：袋中有4個黑球，3個紅球的，除顏色外其它均一樣，從中依次不放回取球3次，求紅球數(shù)Y的概率分布列.解答：隨機變量Y可取0，1，2，3，所以紅球數(shù)Y的概率分布列為：2、離散型隨機變量的概念環(huán)節(jié)四隨機變量的聯(lián)系問題1：為了調(diào)動員工的積極性，某廠某月實行超額度獎勵制度，具體措施是：每超額完成1件產(chǎn)品，獎勵100元.假設(shè)這個月中，該廠的每名員工都完成了定額，而且超額完成的產(chǎn)品數(shù)都不超過50.從該員工中隨機抽出一名，記抽出的員工該月超額完成的產(chǎn)品數(shù)為X，獲得的超額獎勵為Y元，則X與Y均為隨機變量.當(dāng)X=3時，Y的值是多少？總結(jié)X與Y之間的關(guān)系.4、隨機變量之間的關(guān)系

容易看出，當(dāng)X與Y都是離散型隨機變量而且Y=aX+b時，X與Y的分布列分別如下表所示，它們的第二行的概率值是一樣的.

4、隨機變量之間的關(guān)系例1設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）2X＋1的分布列；解析由分布列的性質(zhì)知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.（2）｜X－1｜的分布列.首先列表為X012342X＋113579｜X－1｜101234、隨機變量之間的關(guān)系（1）2X＋1的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3（2）｜X－1｜的分布列｜X－1｜0123P0.10.30.30.34、隨機變量之間的關(guān)系例2：某快餐店的小時工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1h再獲取30元.從該快餐店中任意抽取一名小時工，設(shè)其月工作時間為Xh，獲取的稅前月工資為Y元.（1）當(dāng)X=100時，求Y的值；（2）寫出X與Y之間的關(guān)系式；（3）若，求的值.4、隨機變量之間的關(guān)系

D4、隨機變量之間的關(guān)系環(huán)節(jié)五兩點分布例1籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.7,求他罰球一次得分的分布列.解用隨機變量X表示每次罰球所得的分值.根據(jù)題意,X的可能取值為1,0,且取這兩個值的概率分別為0.7,0.3,因此所求的分布列如表：X10P0.70.35、兩點分布若在某個試驗中，每次試驗只有兩個相互對立的結(jié)果,可以分別稱為“成功〃和“失敗，每次“成功”的概率均為p，每次“失敗”的概率均為1-p，則稱這樣的試驗為伯努利試驗.如果隨機變量X的分布列如表：X10Ppq其中0<p<1，q=l-p，那么稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的兩點分布（又稱0-1分布或伯努利分布）.