電子技術(shù)9-5.1-5.3三要素相量基礎(chǔ)

5.1正弦信的基本概念5.2正弦信號(hào)的相量表示5.3基本元件的伏安特性和基爾霍夫相量形式5.4

相量模型5.5

相量法分析5.6

電路的諧振第五章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析方法1研究對(duì)象：在正弦信號(hào)作用下、電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)以后電路的分析方法。關(guān)注焦點(diǎn)：如何利用數(shù)學(xué)變化的方法將三角函數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)換成相量運(yùn)算，在建立了電路的相量模型以后，其電路的分析方法就可以運(yùn)用前三章所學(xué)的電路分析方法進(jìn)行求解。學(xué)習(xí)意義：正弦交流電產(chǎn)生容易、便于控制和轉(zhuǎn)換，且可以遠(yuǎn)距離傳輸，故應(yīng)用廣泛；在電子產(chǎn)品、設(shè)備研制、生產(chǎn)和性能測(cè)試過(guò)程中，會(huì)遇到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析設(shè)計(jì)問(wèn)題；各種周期的非正弦信號(hào)也可分解為眾多的正弦分量，正弦穩(wěn)態(tài)分析是系統(tǒng)頻率分析的基礎(chǔ)。25.1

正弦信號(hào)的基本概念5.1.1

正弦信號(hào)的三要素周期電流：隨時(shí)間做周期變化的電流。周期電流在某一時(shí)刻的值稱為瞬時(shí)值，即周期電流應(yīng)滿足

f(t)=f(t+T)

。其中，T稱為周期，單位是秒，表示電流完成一個(gè)循環(huán)所需的時(shí)間；周期的倒數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)完成的循環(huán)數(shù)稱為頻率[f]，單位是赫茲[Hz]。

正弦量：隨時(shí)間按正弦規(guī)律做周期變化的量。iu+_3正弦交流電瞬時(shí)值的一般表達(dá)式為：u=Um

sin(ωt+ψu(yù))i=Im

sin(ωt+ψi)

可見(jiàn)，每個(gè)正弦量都包含三個(gè)基本要素：最大值或幅值（Um、Im）、角頻率ω和初相位（

ψu(yù)

、ψi

）。它們是區(qū)別不同正弦量的依據(jù)。角頻率最大值（也稱為幅值）初相角41、最大值（幅值）：是正弦量瞬時(shí)值中最大的值。一般用大寫字母加下標(biāo)m表示。設(shè)正弦交流電壓：u=Umsin(ωt+ψ)UmTu2、角頻率ω

：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)正弦函數(shù)變化的角度。單位是[rad/s]。又，單位時(shí)間內(nèi)交流電循環(huán)了f次，因此ω=2π/T=2πf3、初相位ψ

：表示正弦量在t=0時(shí)刻的相角。其值與計(jì)時(shí)起點(diǎn)有關(guān)，一般用-π>ψ≧π的角度來(lái)表示。5.1.2、相位差：兩個(gè)同頻正弦量的相位之差。如：u、i的初相位分別為ψu(yù)

、ψi

，則u、i的相位差為(ωt+ψu(yù))-(ωt+ψi)=ψu(yù)-

ψi=φ

2iOu

ii如果φ>0,稱u超前i，或i滯后u；如果φ<0,稱i超前u，或u滯后i.5uiωtui90°OωtuiuiOφ=ψu(yù)–ψi<0電流超前電壓

φ=ψu(yù)–ψi=-900電流超前電壓900uiωtuiOφ=ψu(yù)–ψi=00電壓與電流同相φ=ψu(yù)–ψi=1800電壓與電流反相uiωtui

O6注意：1、兩同頻率的正弦量之間的相位差為常數(shù)，與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。2、不同頻率的正弦量之間比較相位差沒(méi)有意義。

與交流電熱效應(yīng)相等的直流電定義為交流電的有效值。用大寫字母I、U表示。5.1.3

正弦信號(hào)的有效值由u=Umsin(ωt+ψu(yù))i=Im

sin(ωt+ψi)UmTu

2iOu

ii7則有反之，則有Im=√2I≈1.414I對(duì)電壓，有Um=√2U≈1.414U注意：交流電壓表與交流電流表測(cè)量的數(shù)據(jù)為有效值,交流設(shè)備銘牌標(biāo)注的電壓、電流均為有效值。85.2

正弦量的相量表示法正弦信號(hào)為什么要用相量表示？

5.2.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算矢量可以用復(fù)數(shù)表示，所以用矢量表示的正弦量也可以用復(fù)數(shù)表示。采用復(fù)數(shù)坐標(biāo)，實(shí)軸與虛軸構(gòu)成的平面稱為復(fù)平面。+1+jobaAψ圖5-4矢量復(fù)數(shù)表示圖5-4中實(shí)數(shù)A=a+jb，a為實(shí)部，b為虛部。復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的輻角實(shí)部虛部復(fù)數(shù)還可以寫成或者指數(shù)形式極坐標(biāo)形式9復(fù)數(shù)的運(yùn)算1復(fù)數(shù)的基本形式(1)代數(shù)式A=a+jb(2)三角式(3)指數(shù)式

(4)極坐標(biāo)式2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算A=a1+ja2B=b1+jb210復(fù)數(shù)的加減要用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。復(fù)數(shù)的乘除用代數(shù)形式比較麻煩，用指數(shù)形式或極坐標(biāo)形式就比較簡(jiǎn)單。11例5-3]已知A1=10+j5,A2=3+j4.求A1·A2和。解：方法一：代數(shù)法方法二：相量法12復(fù)數(shù)的加減可以在復(fù)平面上用平行四邊形來(lái)進(jìn)行。前面例題的相量圖見(jiàn)下面左圖，右圖是另一種畫法。右圖的畫法更為簡(jiǎn)捷，當(dāng)有多個(gè)相量相加減時(shí)會(huì)顯得很方便。+1O+jA1+

A2A1A2OA2+j+1A1A1+

A213下面左圖是4個(gè)相量相加，可以看出這種頭尾相接的畫法比逐個(gè)用平行四邊形相加要好很多。右圖是相量相減。A+B+C+DCBAO+j+1DA－BAB+1O+j－B

對(duì)電路進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)一般是用相量圖與解析計(jì)算相結(jié)合。14用復(fù)數(shù)表示正弦量。復(fù)數(shù)的模表示正弦量的有效值，輻角表示正弦量的初相位。用U、ω、ψ

這三要素可以表示一個(gè)正弦量，在確定的頻率f下分析計(jì)算正弦量用U和ψ

就可以表示正弦量。U

是一個(gè)數(shù)值，ψ

是一個(gè)角度

，一個(gè)復(fù)數(shù)可以表示出一個(gè)數(shù)值和一個(gè)角度，用一個(gè)復(fù)數(shù)也就可以表示一個(gè)正弦量。

正弦電壓可以表示為相量可以表示為瞬時(shí)值用來(lái)表示正弦量的復(fù)數(shù)稱為相量。為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，在大寫的字母上面加“點(diǎn)”。或者+1+jobaUψ圖5-

4

矢量U復(fù)數(shù)表示5.2.2用相量表示正弦量15[例5－1]電壓相量形式為或者注意：這個(gè)例子里瞬時(shí)值與相量表示的是同一個(gè)正弦量，都是表示有效值220V、初相位450的正弦電壓，但這二者并不是相等。[例5-2]

電流相量瞬時(shí)值為兩個(gè)例題的相量圖+j+1O450－300165.3

基本元件的伏安特性和基爾霍夫定律相量形式5.3.1

基本元件伏安特性Ru+_由歐姆定律:（1）頻率相同（2）有效值

U=RI（3）相位差若iωtuO得對(duì)照電壓與電流，可見(jiàn)（1）電壓與電流的關(guān)系相量形式相位關(guān)系Rù

+_ì此式表明有效值相量模型1

電阻元件17

（2）瞬時(shí)功率

p：瞬時(shí)電壓與瞬時(shí)電流的乘積可以看出功率隨時(shí)間變化，且piωtuOωtpOiu

（3）平均功率(有功功率)P瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值

PppωtO單位:瓦（W）18圖5-8例5-3]

圖5-8中電路，ù=220

∠00V,P=200W,求電流ì和電阻R

。Rù

+_ì

解法一：對(duì)于圖5-8中電阻電路，由P=UI得電壓與電流同相位，故由ù=

R

ì得19圖5-8[例5-3]

圖5-8中電路，ù=220

∠00V,P=200W,求電流ì和電阻R

。Rù

+_ì

解法二：對(duì)于圖5-8中電阻電路，由ù=

R

ì得20①頻率相同②有效值U=L

I

③電壓超前電流90

相位差（1）電壓與電流的關(guān)系設(shè)uiiωtuO2

電感元件+-L21則

XL稱為電感電抗，簡(jiǎn)稱感抗，單位為歐姆(Ω)。定義有效值

這是電感電路中歐姆定律的相量形式，既表示了電壓與電流有效值之間的關(guān)系，也反映了二者之間的相位差。

用相量形式寫出電感電壓與電流之間的關(guān)系（5-27）+-L22電感電路相量形式的歐姆定律相量圖+-L+-L(2)

瞬時(shí)功率(3)

平均功率電感元件有的時(shí)刻是吸收電功率，有的時(shí)刻發(fā)出電功率。平均功率為零。23瞬時(shí)功率

：iuop<0+p>0+p>0p<0po結(jié)論：電感元件是儲(chǔ)能元件，不消耗能量，只和電源進(jìn)行能量交換。24[例5-4]

把一個(gè)L=0.01H的電感接到f=50Hz,U=220V的正弦電源上，(1)求電感電流I;(2)如保持U不變，而電源f=5000Hz,這時(shí)I為多少？解：(1)當(dāng)f=50Hz時(shí)(2)當(dāng)f=5000Hz時(shí)25[例5-5]

一只L=20mH的電感元件，通有電流求(1)感抗XL;(2)線圈兩端的電壓u;(3)平均功率。解：（1）(2)線圈兩端的電壓u(3)平均功率電感元件不消耗電功率，平均功率為零，P=0。+-L26（1）電流與電壓的關(guān)系①頻率相同②有效值I=CU③電流超前電壓90

則uiC+_若iuui3

電容元件對(duì)照電流與電壓的表達(dá)式27則（5-32）或有效值XC稱為電容電抗，簡(jiǎn)稱為容抗，單位為歐姆（Ω）。

用相量形式寫出電容電壓與電流之間的關(guān)系定義上式即為電容電路中相量形式的歐姆定律uiC+_ìC+_ù相量圖28(2)瞬時(shí)功率(3)平均功率uiC+_與電感元件相似，電容元件有的時(shí)刻是吸收電功率，有的時(shí)刻發(fā)出電功率。平均功率為零。29瞬時(shí)功率

：+p>0充電p<0放電+p>0充電p<0放電pouiou,i30[例5-6]把一個(gè)電容C=318.5×10－6F,接到f=50Hz,

ù

=220∠00V的正弦電源上，試求(1)求電容電流ì

;(2)如保持ù不變，而電源f=106Hz,這時(shí)ì

為多少？解：(1)當(dāng)f=50Hz時(shí)(2)當(dāng)f=106Hz時(shí)31單一參數(shù)電路中的基本關(guān)系小結(jié)參數(shù)LCR基本關(guān)系阻抗相量式相量圖325.3.2

基爾霍夫定律的相量形式

基爾霍夫定律不僅適用于直流電路，對(duì)于隨時(shí)間變化的電壓與電流，在任何瞬間都是適用的?；鶢柣舴螂娏鞫珊突鶢柣舴螂妷憾傻囊话阈问綖?/p>

在正弦交流電路中，各個(gè)電壓與電流都是同頻率的正弦量，基爾霍夫定律可以用相量形式來(lái)表示。33由相量形式寫成瞬時(shí)值表達(dá)式[例5-7]

電路如圖(a)所示,已知

試求電流i(t),畫出相量圖。

解：將電流的瞬時(shí)值形式寫成相量形式根據(jù)相量形式畫出相量形式的電路圖，見(jiàn)圖（b)i

iS

i2i1(a)ìì2ì1(b)ìS2121列出圖(b)中相量形式的KCL方程解得34畫出相量圖，見(jiàn)圖(c)或圖(d)。ìì1ì2(d)+1+jO(c)ìì1ì2+1+jO(b)ìSìì2ì112溫馨提示：根據(jù)瞬時(shí)值寫出相量，或者根據(jù)相量寫出瞬時(shí)值都是比較