電路第十四章上

在含有L,C的電路中，出現(xiàn)隨時間變化的電壓電流，描述電路的方程是微分方程。在處理正弦電路穩(wěn)態(tài)分析時，我們成功地引入了相量法，變微分方程為復(fù)變量代數(shù)方程，簡化了正弦穩(wěn)態(tài)分析。在暫態(tài)分析中處理高階微分方程是困難的。本章介紹拉普拉斯變換就是一種化微分方程為代數(shù)方程的一般性方法，是線性電路分析的一種基本工具，與微分方程的時域分析不同，用拉普拉斯變換的方法進(jìn)行電路分析稱為頻域分析，又稱運算法。第十四章線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析

——拉普拉斯變換拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)上的積分變換方法，可將時域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程來求解。時域微分方程頻域代數(shù)方程拉氏變換拉氏逆變換求解時域解優(yōu)點：不需要確定積分常數(shù)，適用于高階復(fù)雜的動態(tài)電路。重點：1.運算形式的電路定律和元件約束2.用運算法分析線性電路14.1

拉氏變換的定義拉普拉斯變換的簡介拉普拉斯變換是由英國工程師哈維賽發(fā)展來的，是應(yīng)用在電路上及控制工程上的相當(dāng)好的一種方法，我們利用此一方法，可不必先求出微分方程的通解，經(jīng)由已知的條件再去求出常數(shù)，此法遠(yuǎn)比其它方法簡單、迅速，可應(yīng)用于微分方程式，積分方程式，差分方程式及邊界值問題的應(yīng)用等。1.拉普拉斯變換的定義

一個定義在[0,

)的f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)定義為f(t)的象函數(shù)，F(xiàn)(s)其中，

簡稱拉氏變換

拉氏變換把一個時間域的函數(shù)f(t)變換為一個s域內(nèi)的復(fù)變函數(shù)F(s)；積分下限取0

可以計及t=0時f(t)包含的沖激，給計算沖激響應(yīng)帶來方便。如果已知F(s)，求它對應(yīng)的f(t)，則稱為拉普拉斯反變換，且有

F(s)的原函數(shù)，f(t)簡寫：

L[f(t)]表示對f(t)作拉氏變換;L1[F(s)]表示對F(s)作拉氏反變換例題：求下列函數(shù)的象函數(shù)。1.單位階躍函數(shù)；2.單位沖擊函數(shù)；3.指數(shù)函數(shù)解：1.單位階躍函數(shù)的象函數(shù)：2.單位沖擊函數(shù)的象函數(shù)：3.指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)：14.2

拉氏變換基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)例題：例題：2.微分性質(zhì)例題：3.積分性質(zhì)4.延遲性質(zhì)1Ttf(t)5.

頻域平移性質(zhì)補充：頻域?qū)?shù)性質(zhì)積分小結(jié)：微分1Ttf(t)由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對F(S)進(jìn)行部分分式展開14.3

拉普拉斯反變換的部分分式展開電路響應(yīng)的象函數(shù)通?？杀硎緸閮蓚€實系數(shù)的s的多項式之比，即s的一個有理式：式中m和n為正整數(shù)，且n≥m。用部分分式展開真分式時，需要對分母多項式作因式分解，求出D（s）＝0的根。下面分幾種情況進(jìn)行討論：1.如果D(s)＝0有n個單根，設(shè)n個單根分別是p1,p2…,pn。于是F(s)可以展開為：待定系數(shù)Ki：也可用求極限的方法來求：例題：解：k1=1，k2=-3，k3=3例解：令D(s)=0，則s1=0，s2=－2，s3=－52.如果D(s)＝0有共軛復(fù)根p1=α+jω,

p2=α-jω,則由于F(s)是實系數(shù)多項式之比，故K1,K2為共軛復(fù)數(shù)。例題：解：有共軛復(fù)根：p1=-1+j2,p2=-1-j2例：求的原函數(shù)3.如果D(s)＝0有重根，則應(yīng)含(s-p1)n的因式?，F(xiàn)設(shè)D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1為D(s)＝0的三重根，其余為單根，則例題：解：小結(jié)：1.)n=m時將F(S)化成真分式1.由F(S)求f(t)的步驟2.)求真分式分母的根，確定分解單元3.)求各部分分式的系數(shù)4.)對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換。2.拉氏變換法分析電路正變換反變換元件相量形式電路模型類似地運算阻抗、運算導(dǎo)納運算形式電路模型復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納運算形式KCL、KVL元件相量形式KCL、KVL§14.4

運算電路二、R,L(M),C的運算電路1、電阻的運算電路一、基爾霍夫定律的運算形式對任一節(jié)點:對任一回路:R+–u(t)i(t)R+–U(s)I(s)電感的約束方程又可寫成：式中1/sL是電感的運算導(dǎo)納；i(0-)/s是附加電流源的電流。2、電感的運算電路其中,sL是電感的運算阻抗；Li(0-)是附加電源電壓，反映電感的初始能量。L+–u(t)i(t)+–I(s)sLU(s)+–Li(0

)I(s)+–U(s)i(0

)/s3、電容的運算電路電容的約束方程又可為：+–u(t)i(t)+–C+–I(s)U(s)–+–+sCI(s)+–U(s)Cu(0

)–+4、互感的運算電路+i1i2+––u1u2ML1L2––++I1(s)–U1(s)sMsL1sL2U2(s)++++––I2(s)L1i1(0

)L2i2(0

)Mi2(0

)

Mi1(0

)

–注意：自感壓降uL和互感壓降uM

都對應(yīng)象函數(shù)中的兩項。Mi(0-)是互感引起的附加電源，其極性與電壓、電流的參考方向以及同名端有關(guān)。sM

為互感運算阻抗。5、受控源的運算電路–++–iR+–u1u2

u1

U1(s)–++–R+–U1(s)I(s)U2(s)u1=Riu2=

u1稱為端口的運算阻抗運算形式歐姆定律三、運算電路+–R+iCLuCuL–+u–UC(s)+–R+I(s)sL–+–UL(s)U(s)1.運算阻抗和運算導(dǎo)納由KVL，得

對該方程取拉氏變換，有稱為端口的運算導(dǎo)納令

則

有

又令

運算阻抗+–R+iCLuCuL–+u–對該方程取拉氏變換，有R+I(s)sL+–U(s)+–Li(0

)–uC(0

)s運算電路ii)如果

L

、C

有初值，初值應(yīng)考慮為附加電源。i)電壓電流用象函數(shù)表示，元件用運算形式表示；2.如何畫運算電路？例1.i2+i1–LR2CUS

(t)時域電路i2i1US(s)R1+–R2I1(s)CI2(s)US

(t)LsL例5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-uc+

-iL時域電路t=0時打開開關(guān)t>0運算電路200.5S-++-1/S25/S2.55IL(S)UC(S)步驟：1.由換路前電路計算uc(0-),iL(0-)2.畫運算電路圖3.應(yīng)用電路分析方法求響應(yīng)的象函數(shù)4.反變換求原函數(shù)§14.5

應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路2)畫運算電路

iL

1000

F200V+–+–30

10

0.1HS(t=0)uC例1：已知uC(0

)=100V,t=0時閉合S,求iL、uL。解：1）求初值

iL(0

)=5A，uC(0

)=100VI1(s)

0.5

I2(s)

+–+–30

10

0.1s

IL(s)

+–1000s

100s

200s

I2(s)

3)應(yīng)用回路法

解方程得

4)反變換求原函數(shù)

根據(jù)D(s)根，I1(s)可分解為其中求UL(s)0.5

I2(s)

+–+–30

10

0.1s

IL(s)

+–1000s

100s

200s

UL(s)解：例2.

若給定u(t)=12sin5t,uC(0

)=1V,iL(0

)=5A,R=6

,L=1H,

C=0.04F,求i(t)。uCu(t)

+–+R

i(t)

S(t=0)L

–CU(s)=L[u(t)]=L[12sin5t]，由運算電路得I(s)

5

+–+6

s

–+–s25–+U(s)

1s所以：例3.

在圖示電路中，uC1(0-)=0,uC2(0-)=0.C1=1F,C2=2F，求沖擊響應(yīng)uC1(t),iC1(t),uC2(t),iC2(t)解：1

iC1(t)

+–+–C1C2iC2(t)

1

+–uC1(t)

(t)

uC2(t)

uC1(t)

IC2(s)

IC1(s)

11+–+–1+–UC1(s)

UC2(s)

UC1(s)

1/s1/2s

作出運算電路如圖節(jié)點方程：整理：解得：例4.

圖示電路中，求開關(guān)打開后的電流及兩電感元件上的電壓。解：3

iL1(t)

10V–2

S(t=0)0.3H0.1H+s101.5+–3

I(s)

–20.3s0.1s+iL1(0-)=10/2=5A，畫出運算電路，則可得即電流初值可以使用磁鏈?zhǔn)睾阌嬎悖赫f明：兩個線圈作為一個系統(tǒng)觀察，其上并無沖擊電壓，故系統(tǒng)的總磁鏈應(yīng)守恒。3

iL1(t)

10V–2

S(t=0)0.3H0.1H+即1突變的電流的初值還可以這樣計算：故有i(0+)=3.75A在t=0+時，由KCL:iL1(0–)

iL1(0+)，iL2(0+)

iL2(0–)，即iL1、

iL2都發(fā)生了突變，L1和L2上都有沖激電壓；注意到t=0時KVL必須成立，所以回路上的兩個沖激電壓必須等值反向如圖所示：–iL2(t)

+10V+–3

–2

0.3H0.1H+iL1(t)

K

K

i(t)

由iL1(0+)=iL2(0+)L1i1(0-)

I2(s)

+sM

–+–R2

sL1

sL2

R1

–+I1(s)

US2sMi1(0-)

（1）

當(dāng)本回路電流通過的線圈間存在互感時，自阻抗中增加一項互感自阻抗，若回路電流流過順向串聯(lián)的互感線圈則取“﹢”號，反之取“﹣”號。含有互感的電路列寫回路電流法小結(jié)：（2）任何兩個回路電流通過的線圈間存在互感時，互阻抗中增加一項互感互阻抗，若兩回路電流的參考方向?qū)ν艘恢聲r取“﹢”號，反之取“﹣”號。解：寫回路方程：5.在圖示電路中求互感電壓uM1和uM2。解方程得出I1(s),I2(s)+M

US1

–+–R2

L1

L2

i2

i1

R1

US2

L1i1(0-)

I2(s)

+sM