2023考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)沖刺課程電子講義

2023考研沖刺班線性代數(shù)講義

目錄

第一部分矩陣...................................................................1

一.n階行列式的計(jì)算........................................................1

二.矩陣的初等變換和初等變換法............................................3

三.矩陣乘法的兩個(gè)規(guī)律，矩陣分解...........................................6

四.可逆矩陣的充分必要條件.................................................8

其次部分向量組和線性方程組...................................................10

—.線性表示................................................................10

向量組的線性相關(guān)性......................................................14

三.秩的有關(guān)等式與不等式..................................................17

四.線性方程組.............................................................19

第三部分特征向量與特征值相像和對(duì)角化二次型................................25

特征值的計(jì)算............................................................25

二.相像對(duì)角化問題........................................................27

三.實(shí)對(duì)稱矩陣的相像對(duì)角化...............................................31

四.實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)化......................................................33

五.推斷兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是否合同（推斷兩個(gè)二次型是否可用可逆線性變量替換相互轉(zhuǎn)

化）.........................................................................34

六.正定問題..............................................................34

什么是串講：串講就是總復(fù)習(xí).在系統(tǒng)復(fù)習(xí)和做了大量題目的基礎(chǔ)上，對(duì)全課程的理論

和解題的方法進(jìn)行整理和總結(jié).

串講的特點(diǎn)：

(1)全局性，宏觀性.對(duì)命題不看證明，關(guān)切作用和應(yīng)用.

(2)不求全面，突出要點(diǎn)，重點(diǎn)，考點(diǎn).

(3)強(qiáng)調(diào)縱向聯(lián)系,不顧及先后依次.

第一部分矩陣

本部分是全課程的基礎(chǔ),特殊是計(jì)算的基礎(chǔ).

本部分概念多，因此考點(diǎn)也多.

關(guān)鍵性概念:矩陣的初等變換,矩陣的乘法，可逆矩陣.

n階行列式的計(jì)算

計(jì)算n階行列式不肯定用遞推法或數(shù)學(xué)歸納法，一些簡潔的n階行列式可對(duì)某行(列)

綻開干脆求得值;有些可化為三角行列式;還有的可用特征值計(jì)算.

例1100.......t

t10.......0

0t1........0.

????????????

000t1

例2證明a\Z…&i&

b\C2000

=t(-D'T仇bi-AC

0biC300M

i=l

000bn\cn

僦是要證明M】i="…biICi+i…Cn.)

例3證明aoa\。2…ati-ian

b\Ci000

bi0C200

/=!i=l

…0Cn

hn

例4①2aaaa②1+x111③1+a111

a2aaa11+x1122+a22

aa2aa111+x1333+。3

aaa2a1111+x4444+a

aaaa2

這些行列式都可以先求出相應(yīng)矩陣的特征值來求值.

afy+%)她她哂

a2bla1b2+x2a力③a力4

例5計(jì)算,其中玉工2天》4*°。

她a3b2a3b3+x3aM

她a4b2她a也+%

afy+x}a}b2哂哂

她ab?+xa2b3a力」

解22

岫她a3b3+x3a3b4

a4bla4b2

23。也+x4

他+]弛她他

%馬尤3X4

a2b}aM+]生”3a2b4

XjX2&X4

=玉龍2*4

岫。也弛+1a3勾

玉x2芻X4

a4bla4b2a也ab

AA-+1

Xjx2x3%

也納幽

玉x2x3x4、

a2bla2b2a2b3a2b4

玉Xxx

矩陣234—%色”紋均+E

a3ba3b2a也3+1a3b4

a3西x2x3x4

*xxx

234\aJ

a4bla4b2a4b3a也門

x

llx2x3x4J

特征值為1,1,1,1+弛+處+處+地

龍?X2X3Z

相應(yīng)行列式為1+他+小+她+地

芭W七Z

XXX

原行列式的值=X1X2X3X4+。，]工2犬3工4+。2〃2用工3工4+^3\24+。4〃4無1工2工3

2a1

a22a1

a22c

例6證明

1

a22a

2a1

la

a20—1

2

證明|A|=-a22a

1

1

a22a

a22a

c3a4a(〃+l)a,..?

=2a-----------------=(n+l)a

23n

1

(〃+l)a

二.矩陣的初等變換和初等變換法

問題：①什么時(shí)候可用列變換？②假如兩類變換都可以用，能否交替運(yùn)用？

1.初等變換的作用

除了計(jì)算行列式，矩陣的初等變換應(yīng)用在兩個(gè)方面：

(1)用在線性方程組類問題上

對(duì)線性方程組的增廣矩陣作初等行變換反映了方程組的同解變換.

這方面的應(yīng)用只可用行變換,決不行用列變換.

(2)計(jì)算矩陣和向量組的秩

初等行變換和初等列變換都保持矩陣的秩.因此兩類變換都可以用，并且可交替運(yùn)用.

(但是假如要求極大無關(guān)組，則只可用行變換)

每一種應(yīng)用都要用到下面的基本運(yùn)算：

用初等(行)變換把一個(gè)矩陣化為階梯形矩陣或簡潔階梯形矩陣.

用初等行變換把可逆矩陣化為單位矩陣.

2.初等變換法

(1)求方程組的唯一解

當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，AX=/i唯一解,求解的初等變換法:對(duì)增廣矩陣(A⑼作初等行變換,

使得4變?yōu)閱挝痪仃嚕?/p>

(A\p)-^E\T]),

則〃就是解.

(2)解矩陣方程

有兩種基本矩陣方程：

(I)AX=B.(II)XA=B

在A是可逆矩陣這兩個(gè)方程都是且唯一解.

(I)AX=B是線性方程組的推廣,求解方法:將A和B并列作矩陣優(yōu)|切,對(duì)它作初等行變

換，使得A變?yōu)閱挝痪仃?此時(shí)B變?yōu)榻釾:

(4⑻T(E陽

(II)的解法:對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為(I)的形式乂文三笈7：再用解(I)的方法求出xT-.

(AT\BT)^(E\XT)

(3)當(dāng)A可逆時(shí)，A-1是矩陣方程AX=E的解,于是可用初等行變換求A-1:

(A\E)^(E\A-')

近幾年考題中常見的一類求矩陣的題，可利用矩陣方程求解：

給定了3階矩陣A的3個(gè)線性無關(guān)的特征向量aim,a-和它們的特征值，求4

(給定6個(gè)3維列向量ai,a2,613/1/2/3,求一個(gè)3階矩陣A,使得Aa/=Q/,Aa?：%,Aaj=)?.,.)

例7A是3階矩陣的向量?=(-3,42=(0,-1』廠都是齊次線性方程組AX=O的解,

(1)A的各行元素之和都為3,求4(06)

(2)A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣,求A.

一、g、

解依據(jù)題意有A2=0A-1=0

Q(3

(1)A的各行元素之和都為3,則A1=3

q-10W300、

建立矩陣方程A12-1=300

J13

-100,

"11r

再用初等變換法求出A=111

V1I

⑵Ar=0有兩個(gè)線性無關(guān)的解岡,巴，則3-r(A)>2.r(A)<1.

再由"(A)=3=r(A)=l.所以A的特征值為0,0,3.

由于A是實(shí)對(duì)稱矩陣，屬于3的特征向量與q,a?都相交，即滿意

一玉+2X9一七二0

一工2+%3=0

求―小…

建立矩陣方程4%,%,4)=(3%0,0).

T22

例8二次型f(Xl,X2,X3)=XAX在正交變換X=QY下化為yi+y2,Q的第3列為

吟,。,爭.求A.

’100、’100'

解有。，AQ=010即。"。=010

、000,、000,

則A的特征值為1,1,0.

0是A的特征向量，特征值為0,從而0卜也是A的特征向量，特征值為0.

也U

\2)

門

求A的屬于1的兩個(gè)無關(guān)特征向量，即(A-E)x=0的非零解它們都與0相交，即

5

滿意方程組斗+七=0.(事實(shí)上它和(A—七)》=0同解)，

"0vr

求出兩個(gè)無關(guān)解1,o

Wl-iJ

'011、910、

建,工矩陣方程A100=100

10-1*-10,

’010、'010

10-1A=10-1

J01>、000

1p

’0100、'10、

101000100-0~2

10-110-1f010010010010

1

101000、00-2100

0

A20

07

*設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1,1,-1,(0,1,1)1是屬于-1的特征向量，求A.(1995).

*設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1,2,3,(1,1,T),和(T,2,1)，分別是屬于1和2的特

征向量，求4(1997)

*設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為2,又6是它的二重特征值，向量(1,1,0)，和(2,1,1)，和

(-1,2,-3尸都是屬于6的特征向量.求A.(2023).

*3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1,2,-2,(1,-1,1尸是A的屬于1的特征向量.記

B=A5-4A3+E.

(1)求3的特征值和特征向量.

(2)求B.(07)

三.矩陣乘法的兩個(gè)規(guī)律，矩陣分解

?A(ai,如,…，ax)=(Aai,Aa2,...,Aas).

②若A=(a/,az…,a”),夕2….，夕nF則A+012-2+…+a/n,

乘積矩陣AB的第i個(gè)列向量是A的列向量組的線性組合,組合系數(shù)就是B的第i個(gè)列

向量的各重量.(從而的列向量組可以用A的列向量組線性表示.)

乘積矩陣AB的第i個(gè)行向量是B的行向量組的線性組合,組合系數(shù)就是A的第i個(gè)行

向量的各重量.(AB的行向量組可以用B的行向量組線性表示.)

近幾年考題中常見的又一類求矩陣的題是利用矩陣分解求解.

設(shè)A為3階矩陣，a/,aza.；是3維列向量組,知道了Aa/,Aa2,Aaj對(duì)a/,的分

解,求矩陣B,使得AP=PB.戶(a/,a2,a.,).

例9(2023)設(shè)A為3階矩陣，a/,a2,cu是線性無關(guān)的3維列向量組，滿意

=

Aai=ai+Q2+田，Aa22a2+a3i4%3二2&+3。3?

求作矩陣比使得A(a/,?2,as)=(a/,?2,a.?)B.

解：三種方法比照

瓦1九九

方法一：設(shè)3=h2}b2243，則

4即%，。3)=3，%，%)8

可化為（%+a2+%，2%+。3，2。2+3a3）

=(4必+621a2+b31a3,仿2。1+822a2也2a3,九+。23a2+怎。3)

Wor,+a2+a3=4|q+b2ia2+b^a^,

由于。1，%,%無關(guān)，得%=1也]=1也i=L

用同樣方法求得仿2=。力22=2也2=1，用=。，％=2也3=3.

'100、

B=122

J13>

方法二：B=P-'AP.

‘100]

=瓦有(尸&尸力2，尸力3)=010

、001,

于是，B=P'(a1+a2+。3,2。2+<x},2a2+3a3)

‘100、

-1

=P~'ax+P~'a2++P~'a3,2P''a2+3Pa3)=122.

J13,

方法三(矩陣分解法)

A(al,a2,a3)=

‘100、

(a,+a2+a3,2a2+a3,2a2+3a3)={ava2,a^122.

J13>

‘100、

B=122.

J13,

方法三是干脆求出了3,并且不必要求a%%線性無關(guān)！

例10(2023)已知a/,az都是3階矩陣4的特征向量,特征值分別為T和1,又3維向量

as滿意Act3=a2+a3.

(1)證明a/,a2,a3線性無關(guān).

(2)記P=(a/,g,ot3),求PAR

(3)證明4不相像于對(duì)角矩陣.

(4)求A的全部特征向量.

例11(2023)設(shè)A是3階矩陣，a是3維列向量,使得尸(a,Aa,4%)可逆，并且

Aa=3Aa-2A'a.

(1)求3階矩陣3使得(2)計(jì)算|A+E|.(3)求3的特征值.

用矩陣分解求行列式

用矩陣分解估計(jì)秩和推斷向量組的相關(guān)性(C矩陣法)

四.可逆矩陣的充分必要條件

n階矩陣A可逆oA的行列式|A|M

=r(A)=n

。4的列(行)向量組線性無關(guān).

oAX=0只有零解(AX=￡有唯一解)

o。不是A的特征值.

(A~cE可逆<=>c不是A的特征值.)

例12設(shè)n階矩陣A滿意A2+3A-2E=0.對(duì)任何有理數(shù)c,證明A-cE可逆.

解：方法一：令3=A—cE,即A=3+cE,貝ij

(B+cE)2+3(B+cE)-2E^0

52+(2C+3)JB+(C2+3C-2)￡=0.

a6+(2c+3)E]=—(c?+3c-2)E.

2Qr.一而*曰--3±.9+8—3+Vr7

x+3x—2=0的兩根為-----------=----------,

22

因此當(dāng)c是有理數(shù)時(shí)，C2+3C-2^0.

則一(C2+3C—2)E可逆，從而8可逆.

方法二：只用說明有理數(shù)c不是A的特征值.

由A?+3A—2E=0,A的特征值滿意無+34—2=0.

而有理數(shù)c不滿意此式，因此不是4的特征值.

例13設(shè)n階矩陣A,8滿意AB=flA+6B+cE，其中H+cwO,證明和ZTaE都

可逆.

解方法一：只用證(A-/7E)(B—aE)可逆.

(A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=(ab+c)E

.?.(。。+。)￡：可逆，得(A-8E),(5-aE)都可逆.

方法二：先證。不是3的特征值，從而B—aE可逆.

用反證法，若有向量〃*0,值得=a〃，則

ABrj~aArj+hBrj+cr/,aAr/-aAr/+ahr/+cri

得(aZ?+c)〃=0,與條件aZ?+cwO沖突

要證。不是A的特征值，只用證b不是A，的特征值.

對(duì)46=a4+力8+?！陜蓚?cè)轉(zhuǎn)置，得

B'=0^+bBr+cE,

用上法可證6不是A「的特征值，從而不是A的特征值.

例14設(shè)a是n維非零列向量,記A=E-a"\證明a7a=1=A不行逆.(96)

證明aa，的特征值為0,,Q,a'a.

A不行逆。1是的特征值<=>a'a=1.

例15已知n階矩陣A,B滿意EAB可逆,證明EBA也可逆,并且

(E-BA)'^E+B(E-AB)'A.

證明(E-BA)[E+B(E-A3)TA]

=E-BA+(E-BA)B(E-ABY'A=E-BA+(B-BAB)(E-AB)-'A

=E-BA+B(E-AB)(E-ABY'A^E-BA+BA^E.

例16設(shè)A,B都是n階矩陣，證明cE-AB可逆ocE-BA可逆.

證明當(dāng)c=0時(shí)，即—A8可逆0—84可逆.

而I—AB|=(-1)"|A||5R—B4].結(jié)論明顯

下設(shè)cwO.

方法一：左=右，即設(shè)cE—AB可逆，證cE—84可逆.

構(gòu)選BA的逆矩陣[E+B(cE—AB/A]

c

[cE-BA]-[E+B(cE-AB)'A]

c

^-[cE-BA+(cE-BA)B(cE-ABY'A]

c

^-[cE-BA+B(cE-AB^cE-AB)-'A]=E.

c

方法二：用特征值，要證的是

C不是AB的特征值oc不是BA的特征值

逆否為c是A3的特征值oc是5A的特征值.

設(shè)〃=pii]BABr]=CBJJ.

〃。0,cw0,=677w0.

于是B〃是84的特征向量，特征值為c.

其次部分向量組和線性方程組

本部分全課程的理論基礎(chǔ),理論制高點(diǎn)，特點(diǎn)是概念性強(qiáng),抽象，因此是最難的部分，也

是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn).

關(guān)鍵性概念:線性表示,線性相關(guān)性,向量組和矩陣的的秩.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.

對(duì)這些概念要精確理解,并熟識(shí)有關(guān)的性質(zhì)，并且留意它們的聯(lián)系，以及和其他章節(jié)的概

念的聯(lián)系.

應(yīng)當(dāng)特殊充分留意秩的作用.

一.線性表示

1.線性表示的意義

(1)一個(gè)向量網(wǎng)■用a,公，…,a線性表示,即n維向量尸是a,血…,&的一個(gè)線性組合.

也就是：線性方程組心力有解，其中4=(a,a,…，必).

一個(gè)向量是齊次方程組A*=0的解=它可以用AX=0的基礎(chǔ)解系線性表示.

(2)應(yīng)生，…，。,可以用a,a?線性表示，即每個(gè)必都可以用a,a,…,a線性表示.

這個(gè)概念和矩陣乘積有聯(lián)系：當(dāng)小C時(shí),C的列向量組可以用A的列向量組線性表示，

C的行向量組可以用8的行向量組線性表示.

反之,當(dāng)…邛可用為，加，…，a線性表示時(shí)，存在矩陣C(稱為表示矩陣)使得：

(夕I,住,…/,)=(a,az,?,,(CL)C.

(3)向量組a?s，…，a和外生，…邛等價(jià)，即它們相互都可以表示，記作

{a,a>,―,

假如A用初等行變換化為B,則A和6的行向量組等價(jià)；假如A用初等列變換化為B,則

力和夕的列向量組等價(jià).

向量組和它的每個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià);因此它的任何兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià).

一個(gè)齊次方程組AX=O的任何兩個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià).

2,用秩推斷線性表示

（1）網(wǎng)"用a,?2,,,,,a.線性表示or（a,四-??,a,p）=r（a,%必）.

（2）6可用a,&,…，a唯一線性表示0r（a,a>,…，a/）=r（a,血…，a）=s.

（3）《，尸2,…,樂可以用a,。2,…，a線性表示o

r（ai,&,…，&,夕1,氏，…，A）=r（a,&,…，a）.

（4）a,6,…,a和再仇,…，尸t等價(jià)u>

r（a,磁，,??，&）=r（a,■，色???/）二r（夕卜凡???,萬）.

例1設(shè)a=(l,2,0,1),a2=(l,1,-1,0),公二(0,1,a,1),力二(1,0,1,0),*=(0,1,2).a

和k取什么值時(shí)，,+k%可用a,3a線性表示？

解/(%%，%，%+仇)=/(%，/，%)

（即。2，％1%+仇）

010］、

211k-2

0-1CL一3-k

J00Z+1,

%=-l,a71

例2已知r（a,…，a.）=r（ai,a,夕）=k,r（a,…，a,夕,初=k+l,求r（a,…，a,2-y）.

解看/?—/是否可用a”…,a,線性表示.

/7可以用囚,《線性表示，/不行用必,表示，因此也不行用囚,一,，巴表

示.

于是尸-/不行用火,a,線性表示.

r（?i，+l=Zr+l

例3設(shè)(1,2,3)1(2,3,5尸和(1,a,b-l)T,(2,a2,b)，都是m0的基礎(chǔ)解系,求a,b.

f2WM

解23與aa2等價(jià),即

5JI)

'1212、12、

Y23aa2yaa2=2.

、35b—\b,3—ib

12i2\1212、

23aa20-1a-2a2-4

bb-a-2b-a2-2

35b-\700

b-a-2=0a2=a。=0或1

得《即4

b-a2-2^0b=。+28=2或3,

(1、’1、22、

當(dāng)a=0,〃=2時(shí)a0a0秩為1,不合要求

rJb2,

(1、1\"2\，2、

當(dāng)a=l,〃=3時(shí)a1a21,秩為2,此時(shí)這兩個(gè)向量組等價(jià)，符合題

2

3一1,7,b73

目要求.

TTT

例4設(shè)&乎的通解為(1,-1,1,-1)+C1(1,-3,1,,0)+C2(-2,1,-1,2),CI,C2隨意.

(a,l,b,3),是碼0的解，求a,b.

/a、、

|是Ax=夕的解<=>1-1

解，是Ax=0的解

h1

3,3一

a-\1、

2-31

=可用,線性表示

b—\-1

42J

'1-2a—\'1-2、

-312-31

o/=y2.

1-1b-\I-1

J24J2>

1-2a-l'I-2a-1\'1-2a-l

-3120-53a-l0I2

1-1b-\01b-a003a+9

024，2120b-a-2.

3。+9=0

則4a=—3,b=-l.

b-a-2=Q

TT

例5ai=(l,1,0,-1),a2=(0,2,1,1).求戶(6,c2,c3,cl,可用a,&線性表示的條件.

解y(a\,a?,(3)=/(/,%)=2-

T0G、’10q、

12Q01q

（即％,夕）=f

01c300。2—G-2c3

1C

、T4>、00c4+c\-c3?

得：萬可用a,%線性表示=r2~c'~2c3=°

q+q_c3=o

（即夕是［玉一/+2七=0的解）.

［%,-￡+%4=0

x.-x.+2x.=0

說明1I23以%,a,為基礎(chǔ)解系.

X,—x3+%4=0

例6設(shè)Q,6，…,a,是〃維向量組.證明r（a,a，…,CL）-n的充分必要條件為:任何n

維向量都可用a,a,…，a線性表示.

解必要性：對(duì)任何〃維向量夕，

〃=/（%…4）</（?］，…,a"）V”，

得八%,…,%,/?）=從而尸可用風(fēng)…%表示

充分性：當(dāng)任何〃維向量都可用/…%表示時(shí)，任何〃維向量組都可用/,。2,《

表示.

取7，〃2,…，力是一個(gè)線性無關(guān)的”維向量組（如一個(gè)〃階可逆矩陣的列向量組），則

〃=7（7…“4/（岡…4）?〃.

得八四

例7設(shè)4是mxn矩陣，C是mxs矩陣證明矩陣方程4eC有解or（川0=r（⑷.

證明記A=（a”…,%）,C=（%…九），

則AX=C有解o存在”xs矩陣〃使得AH=C

<=>%…八可用%…%線性表示O7（囚…%,%…九）=/（%…%）

即/(A\C)=/(A).

例8設(shè)（I）和（II）都是3元非齊次線性方程組，（I）有通解6+c町+6》,其中6=

（1,0,1）'，小=（1,1,0）T,根=（1,2,1）T;（H）有通解&+c〃,4=（0,1,2）T,1,2）1.求（I）和

（II）的公共解.

解公共解都可寫成&+C77,我們來求當(dāng)c取什么值時(shí)它又是⑴的解？

玄+c〃是⑴的解

05+“—4是⑴的導(dǎo)出組的解

0J2+CV—￡，可用〃,%線性表示-

’11C-1、’11c-l、

(〃|，7242+5-幻=12C+1012

I。1

2c+1；、002c—1,

仕、

2

得'=,，公共解為：星+、7=3

222-

3

\7

向量組的線性相關(guān)性

1.定義和意義

意義線性無關(guān)就是每個(gè)a都不能用其它向量線性表示；線性相關(guān)就是有向量（不必

每個(gè)）可以用其它向量線性表示.

定義設(shè)a,磁，…，as是n維向量組,假如存在不全為0的一組數(shù)cbc2,c,使得

ciai+c2Cfe+.“+cg=0,

則說a,叫…,a線性相關(guān),否則（即要使得cg+c2a2+…+ca=0,必需ci,c2,?,,,c,全為0）就

說它們線性無關(guān).

和齊次線性方程組的關(guān)系記/=（a,血…,a,）,則：a,3,…,a線性相關(guān)（無關(guān)）o齊次線

性方程組m0有（沒有）非零解.

2.線性相關(guān)性的判別

在考試真題中,相關(guān)性的判別是常見的，很多情形可用一些簡潔性質(zhì)完成,甚至干脆可用

定義判別.因此熟記有關(guān)的性質(zhì)是重要的.

例如a-儂,a-as,a；-a線性相關(guān)，(2,1,a+4),(2,1,a+6)無關(guān).

對(duì)考場上也出現(xiàn)過一些證明題,常用的思路有3個(gè)：

①定義法:用定義證明一個(gè)向量組a,a>,—,a,線性無關(guān),就是由cia+c2a：+…推

出a都為0.

②擴(kuò)大法:利用性質(zhì):假如a,a,…,a線性無關(guān)，則

ai,a,…，a，6線性無關(guān)=尸不能用a,公,…，a、線性表示.

推論假如aM,并且每個(gè)a,都不能用前面的iT個(gè)向量線性表示，則a,a,…，々線

性無關(guān).

③秩法:a,a,…，a?線性無關(guān)=r(a,a,…，aj=s.

例9設(shè)4為n階矩陣，a為n維列向量,正整數(shù)k使得/aK,但是才‘g0,證明a,Aa,

d'a線性無關(guān).

證明方法一：用定義證

ki

設(shè)qa+CzAa-i----i-ckA~a=0(1)

k

用乘(1)式得c,A-'a=0=>G=0

再用乘([)式，得。241。=0,=>。2=0

這樣逐個(gè)得出J都為0.

方法二：用擴(kuò)大法的推論，這個(gè)向量組是：

最終?一個(gè)人”力70.

每一個(gè)都不能用后邊的線性表示，如A'Ta不行用A'a,…,A"%表示，因?yàn)?/p>

A'a,…,不-勿用AJ乘都為0,即它們都是A^a=0的解，而Ak-ia不是：

由推論，得a,Aa,…,屋一勿無關(guān).

例10設(shè)a,汲,…,a,月,…,用線性無關(guān),其中a,a,…,&是齊次方程組4與0的基礎(chǔ)

解系.證明明,明，…,明線性無關(guān).

證明用定義法

ciAj3l+C2AJ32+-??+c,Aj3t=0,rfoA(q笈+c2>ff2+-??+<?,/7,)=0,

于是+…+q丹是Ax=0的解，從而可用Ax=0的基礎(chǔ)解系四，…,4線性表示，

即有+C2/32+???+c,p,=&西+…+ksas

但是小,見，耳，4線性無關(guān)，得G…q(和仁…％)都為0.

例11設(shè)a,侯，…,&和■，色…，氏是兩個(gè)線性無關(guān)的n維實(shí)向量組,并且每個(gè)a和四都

正交,證明a,a,?“，as,fli,住,…，夕t線性無關(guān).

證明用定義法，設(shè)

+…+gq+火力+…+尢以=0,

記,=q%+…+qa*=一伏力+---+kr/3t)

則y)=(co+…+c,0,,-(人力+…+左4))=0

即7=0,于是弓…Cs和匕…&全都為0.

例12設(shè)a,a,…,0s和再良都是線性無關(guān)的n維向量組,證明a,公,…，a,仇,

住,…，夕,線性相關(guān)。存在非零向量它既可用a,叫…,a線性表示,又可用必,住,…，白線

性表示.

證明“=>”存在q…q,匕…%,不全為0使得

ctat+---+csas+k、/3\+???+k,fi,=0.

令〃=+…+csas=_kM-----k,(3,,

則〃w0(；q…q和匕…不能全為0!)

且〃既可用四…4表示，又可用力…力表示.

“u"設(shè)"0,既可用區(qū)…%表示,又可用回…以表示，

證〃=qai+…+Cs4,C]…q不全為0,

F=P￡+…+p,以,p”…,p,也不全為。，

則c,at+…Cs&+p—|+…+p￡=0,

**?%……相關(guān).

例13已知n元非齊次方程組的舁T解，n-rU)=3.

(1)證明4個(gè)線性無關(guān)的解.

(2)證明4Ml勺任何5個(gè)解都線性相關(guān).

(n元非齊次方程組冊(cè)廳有解時(shí),解集合的秩=n-rU)+l.)

證明⑴設(shè)瓦是Ax=4的一個(gè)解

〃1，〃2，〃3是6=0的基礎(chǔ)的解系，7,772，〃3線性無關(guān)，而占0不行用771，〃2，〃3線性表示，

從而這個(gè)向量線性無關(guān).

易見殳豆+7，瓦+%，豆+〃3=備，7，〃2，〃3,

它們的秩相等，為4,從而%4+7,o+%，o+小也無關(guān)，它們都是Ax=〃的解.

(2)設(shè)全或，a都是Ax=〃的解，則它們都可用⑴中的7,小,小這4個(gè)向量

表示，所以必相關(guān).

三.秩的有關(guān)等式與不等式

秩是探討向量組線性相關(guān)性的深化，它把抽象的概念數(shù)量化了，從而可用數(shù)量的形式來

處理線性表示和線性相關(guān)性問題,顯得簡潔化了.

譬如，有一特性質(zhì):假如用，氏，…，夕可用a,a,…,以線性表示，并且t>s,則4為…，笈

線性相關(guān).從秩看,r(0,?！?，㈤4r(a,a，…,as)<s<t,從而用，天，…,屁線性相關(guān).

例14n維向量組(I)a,血…，a可以用n維向量組⑴)■，代，…，上線性表示.

(A)假如⑴線性無關(guān),則r<s.(B)假如⑴線性相關(guān),則r>s.

(0假如(H)線性無關(guān)，則「Vs.(D)假如(H)線性相關(guān)，則r>s.

這題可以用上面那特性質(zhì)解決：(A)是它的逆否命題，(B)是否命題.

假如用秩做：r=r(ai,&,…，a)4r(以仇、…,fl)<s.

例15已知口可用a,血…，a線性表示，但不行用a,&,…，a-線性表示.證明

(1)a不行用a,a,…，a：1線性表示；

(2)以可用a,&,…，&-1,￡線性表示.

這題可以用定義做,敘述起來有點(diǎn)羅嗦.下面用秩做：

r(a,?2,???,ar-i)+l=r(a,8,…,a”仇外,…,a,夕)二r(a【,磁,???,a)

<r(a,&,…，ai)+l

于是r(ai,a2,…，a-i,或二r(a,&,…，a,夕)，r(a,&,…，a)=r(a,&,…，a-i)+l.

例16已知a,a?,磁線性相關(guān)，而a,?3,a線性無關(guān)，則a,磁,a：“a中，能用另外

3個(gè)向量線性表示,而不能用另外3個(gè)向量線性表示.

r(a,a)<3,r(a,6、a)=3,r(a,a：?,a)=3.

①假如a,*以是n維向量組,0<r(ai,???,?s)<Min{s,n}.

假如A是mxn矩陣，則0<r(A)<Min{m,n}.

②“r(a,a,…，a)+l.若/不行用a,a>,,,,,a線性表示.

r(a,a,…，a,階二4

j(a,a,…，若曲T用a,a、…,a線性表示.

③假如分，為…，"可以用a,a,…，a線性表示，則

r—,㈤女(@,磁,

(4)r(<r(J)+r(^).

⑤r(第卻in{rC4),r(而}.

⑥當(dāng)4(或0可逆時(shí),r(附=i?(而(或r(Z)).

⑦假如A列滿秩(r(J)等于列數(shù))，則r(AB)=r⑶.

⑧假如AB=O,n為4的列數(shù)(5的行數(shù))，則r(⑷+r(面<n.

⑨設(shè)型為n階矩陣A的伴隨矩陣,則

"n,若r(4)=n,

r(4*)=?1,若r(4)=nT,

0,若r(4)<nT.

⑩r(A\B)<r(A)+r(B).

例17設(shè)/是n階矩陣，a3,...,小是一組n維向量，4=4z”i=l,2,證明：

(1)r(￡i,生，…,氐)4r(a,a-,a<).

(2)假如(可逆,則r(a,a1...aj=r'(尸i,囚，…，R).

證明⑴矩陣(舟，…，氏)=A(%,…,a,)

:.,/?,)<min{r(A),r(a1aj)

(2)若A可逆，則r(/3\J3s)=r(a,as)

例18設(shè)a,&,a,,a都是n維向量.推斷下列命題成立的為

①假如a,a,a,線性無關(guān)，a不能用a,a,汲線性表示，則a,a>,a；,a線性無關(guān).

②假如Q,a線性無關(guān),a,a都不能用a,a線性表示,則a,必,a”a線性無關(guān).

③假如存在n階矩陣4使得Aai,Aa：,4x,/a線性無關(guān)，則a,a,a“。線性無關(guān).

④假如3=明，CCFA仇,&=明“麗明,其中A可逆,用,四,A，四線性無關(guān),則a,&,a：),a)

線性無關(guān).

解①L

②不對(duì)，例