南通市六校2021-2022學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

南通市六校2021－2022學年度第一學期末聯(lián)考高二數(shù)學試卷本卷：共150分考試時間：120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出直線的斜率，再根據斜率與傾斜角的關系，即可求出結果.【詳解】直線即，所以直線的斜率為，故傾斜角為.故選：D.2.直線與圓相交與A，B兩點，則AB的長等于（）．A.3 B.4 C.6 D.1【答案】C【解析】【分析】根據弦長公式即可求出．【詳解】因為圓心到直線的距離為，所以AB的長等于．故選：C．3.函數(shù)在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1 C.0 D.e【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)求導，然后求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】由，得，當時，，當，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，故選：A4.過點且平行于直線的直線的方程為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據平行設直線方程為，代入點計算得到答案.【詳解】設直線方程為，將點代入直線方程得到，解得.故直線方程為：.故選：B.5.設拋物線上一點到軸的距離是4，則點到該拋物線焦點的距離是（）A.6 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】計算拋物線的準線，根據距離結合拋物線的定義得到答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，到軸的距離是4，故到準線的距離是，故點到該拋物線焦點的距離是.故選：A.6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）A.-4 B.4 C.-2 D.2【答案】B【解析】【分析】根據，利用等比數(shù)列的通項公式求解.【詳解】因為，所以，則，解得，所以.故選：B7.據有關文獻記載：我國古代一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多為常數(shù)盞，底層的燈數(shù)是頂層的倍，則塔的底層共有燈（）A.盞 B.盞 C.盞 D.盞【答案】C【解析】【分析】根據給定條件利用等差數(shù)列前n項和公式列式計算即可作答.【詳解】依題意，層塔從上層到下層掛燈盞數(shù)依次排成一列可得等差數(shù)列，，于是得，解得，，所以塔的底層共有燈盞.故選：C8.若曲線與曲線在公共點處有公共切線，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設公共點為，根據導數(shù)的幾何意義可得出關于、的方程組，即可解得實數(shù)、的值.【詳解】設公共點為，的導數(shù)為，曲線在處的切線斜率，的導數(shù)為，曲線在處的切線斜率，因為兩曲線在公共點處有公共切線，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故選：A．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.－1是函數(shù)的極小值點B.－4是函數(shù)的極小值點C.函數(shù)在區(qū)間上單調遞減D.函數(shù)在區(qū)間上先增后減【答案】BC【解析】【分析】根據導函數(shù)圖象確定的單調性，由此確定正確選項.【詳解】由圖象可知，在上遞減，在上遞增，所以不是極值點，A選項錯誤；是極小值點，B選項正確；C選項正確；D選項錯誤.故選：BC10.若直線過點，且直線在軸上的截距是直線在軸上的截距的倍，則直線的方程是可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】分直線過原點與不過原點兩種情況討論，即可求得直線的方程．【詳解】①當直線過原點時，設直線方程為，將點代入，可得斜率，直線方程為，即為，故D正確；②當直線不過原點時，設直線方程為，其中，將點代入，可得，解之得，所以直線方程為，即直線的方程為，故A正確．故選：AD．11.已知是橢圓上一點，橢圓的左?右焦點分別為，且，則（）A.的周長為 B.C.點到軸的距離為 D.【答案】BCD【解析】【分析】A．根據橢圓定義分析的周長并判斷；B．根據橢圓定義以及已知條件先求解出的值，結合三角形的面積公式求解出并判斷；C．根據三角形等面積法求解出點到軸的距離并判斷；D．根據向量數(shù)量積運算以及的值求解出結果并判斷.【詳解】A．因為，所以，故錯誤；B．因為，，所以，所以，所以，故正確；C．設點到軸的距離為，所以，所以，故正確；D．因為，故正確；故選：BCD.12.設等差數(shù)列的公差為，前項和為．若，且，則（）A. B.C. D.當時，取得最小值【答案】BCD【解析】【分析】由題可得，然后逐項分析即得.【詳解】由，可得，∴，，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，當時，取得最小值，故D正確故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知兩點和則以為直徑的圓的標準方程是__________.【答案】【解析】【分析】根據的中點是圓心，是半徑，即可寫出圓的標準方程.【詳解】因為和，故可得中點為，又，故所求圓的半徑為，則所求圓的標準方程是：.故答案為：.14.已知函數(shù)，則的值為______．【答案】【解析】【分析】先求出導函數(shù)，然后將代入可得答案.【詳解】，所以故答案為：15.設數(shù)列滿足，則an＝________．【答案】【解析】【分析】先由題意得時，，再作差得，驗證時也滿足．【詳解】①當時，；當時，②①②得，當也成立.即故答案為：16.設點是雙曲線上的一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，已知，且，則雙曲線的離心率為________．【答案】【解析】【分析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線的定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓C：．（1）若點，求過點的圓的切線方程；（2）若點為圓的弦的中點，求直線的方程．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）求出圓的圓心與半徑，分過點的直線的斜率不存和存在兩種情況，利用圓心到直線距離等于半徑，即可求出切線方程；（2）根據圓心與弦中點的連線垂直線，可求出直線的斜率，進而求出結果.【小問1詳解】解：由題意知圓心的坐標為，半徑，當過點的直線的斜率不存在時，方程為．由圓心到直線的距離知，此時，直線與圓相切．當過點的直線的斜率存在時，設方程為，即．由題意知，解得，∴方程為．故過點的圓的切線方程為或．【小問2詳解】解：∵圓心，，即，又，∴，則.18.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，列方程組求得，得到，根據，求得，，得到.（2）由（1）得到，結合等差、等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，解得，所以，又由，可得，所以，所以.【小問2詳解】解：由（1）知，，所以，設數(shù)列的前n項和為，可得.19.已知函數(shù)（1）討論的單調區(qū)間；（2）求在上的最大值.【答案】（1）①，在上單減；②，在上單增，單減；（2）.【解析】【分析】（1），根據函數(shù)定義域，分，，討論求解；（2）根據（1）知：分，，，討論求解.【小問1詳解】解：(1)定義域，①時，成立，所以在上遞減；②時，當時，，當時，，所以在上單增，單減；【小問2詳解】由（1）知：時，在單減，所以；時，在單減，所以；時，在上單增，上遞減，所以；時，在單增，所以；綜上：.20.如圖所示，、分別為橢圓的左、右焦點，A，B為兩個頂點，已知橢圓C上的點到、兩點的距離之和為4.（1）求a的值和橢圓C的方程；（2）過橢圓C的焦點作AB的平行線交橢圓于P，Q，求的面積．【答案】（1）a＝2，（2）【解析】【分析】（1）由題意可得a＝2，，求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意可求出的坐標，則可求出直線PQ的方程，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關系，求出的值，從而可求出的值【小問1詳解】由橢圓的定義可得2a＝4，所以a＝2，又因為點在橢圓C上，所以，解得：，所以a的值為2，橢圓C的方程為．【小問2詳解】由橢圓的方程可得，，，所以，所以直線PQ的方程為，設，，由可得，所以，，所以，所以21.已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元．（1）求比例系數(shù)k（2）當時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？（3）當（x為大于8的常數(shù)）時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為多少？【答案】（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】【分析】（1）列出關系式，根據當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元即可求解;（2）列出燃料費的函數(shù)解析式，利用導數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結合（2）的結論可得答案.【小問1詳解】設每小時的燃料費為，則當v＝12km/h，每小時的燃料費為720元，代入得.【小問2詳解】由（1）得．設全程燃料費y，則（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以當時，；當時，，所以當v＝16時，y取得最小值，故為了使全程燃料費最省，船的實際前進速度應為8km/h．【小問3詳解】由（2）得，若時，則y區(qū)間上單調遞減，當v＝x時，y取得最小值；若時，則y區(qū)間（8，16）上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，當v＝16時，y取得最小值；綜上，當時，船的實際前進速度為8km/h，全程燃料費最??；當時，船的實際前進速度應為（x－8）km/h，全程燃料費最省22.在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列前項和為，且滿足，求的表達式；（3）令，對于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個數(shù)經適當排序后能構成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.【答案】（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結論成立，確定等比數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結合裂項相消法可得出的表達式；（3）求得，分、、