宿遷市2021-2022學年高二上學期期末數(shù)學試題（解析版）

宿遷市2021-2022學年高二上學期期末調(diào)研測試數(shù)學一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線斜率等于傾斜角的正切值，從而求出傾斜角【詳解】因為：，所以：k=由于：，則，即：=故選：B.【點睛】本題考查直線斜率與傾斜角的關系2.數(shù)列1，，，的一個通項公式可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)各項的分子和分母特征進行求解判斷即可.【詳解】因為，所以該數(shù)列的一個通項公式可以是；對于選項B：，所以本選項不符合要求；對于選項C：，所以本選項不符合要求；對于選項D：，所以本選項不符合要求，故選：A3.拋物線的焦點坐標是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)拋物線的焦點坐標為可知，拋物線即的焦點坐標為，故選D.考點：拋物線的標準方程及其幾何性質(zhì).4.一質(zhì)點的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s），則該質(zhì)點在時的瞬時速度為（）A.4 B.12 C.15 D.21【答案】B【解析】【分析】由瞬時變化率的定義，代入公式求解計算.【詳解】由題意，該質(zhì)點在時的瞬時速度為.故選：B5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，則排除選項、,當時，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.6.直線與直線交于點Q，m是實數(shù)，O為坐標原點，則的最大值是（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】求出兩直線的交點坐標，結合兩點間的距離公式得到，進而可以求出結果.【詳解】因為與的交點坐標為所以，當時，，所以的最大值是，故選：B.7.2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經(jīng)九個多月.在這段時間里，空間站關鍵技術驗證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務.一般來說，航天器繞地球運行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠）的一點稱作近（遠）地點，近（遠）地點與地球表面的距離稱為近（遠）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遠地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得;,解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A8.已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的割線定理，結合圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.以下四個命題正確的有（）A.若直線在x軸上的截距為，則實數(shù)B.若直線不經(jīng)過第四象限，則C.直線與圓相離D.直線關于點對稱的直線方程為【答案】AD【解析】【分析】A：利用代入法進行求解判斷即可；B：根據(jù)直線的斜截式方程進行求解判斷即可；C：利用直線所過的定點，結合圓的性質(zhì)進行判斷即可；D：根據(jù)平行線間距離公式進行求解判斷即可【詳解】A：因為直線在x軸上的截距為，所以有，因此本選項說法正確；B：，因為直線不經(jīng)過第四象限，所以有，因此本選項說法不正確；C：直線過定點，因為，所以點在圓內(nèi)，因此該直線與圓相交，所以本選項說法不正確；D：因為直線關于點對稱的直線與直線平行，所以設對稱直線方程為：，于是有：，或（舍去），即，所以本選項說法正確，故選：AD10.設等差數(shù)列前n項和為，公差，若，則下列結論中正確的有（）A. B.當時，取得最小值C. D.當時，n的最小值為29【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，結合該數(shù)列的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】由.A：因為，所以有，因此本選項說法不正確；B：因為，所以該等差數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因為，所以當，或時，取得最小值，故本選項說法正確；C：因為，所以該等差數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，因為，所以，因此本選項說法正確；D：因為，所以由，可得：，因此n的最小值為，所以本選項說法不正確，故選：BC11.雙曲線上的焦點分別為，，點P在雙曲線上，下列結論正確的是()A.該雙曲線的離心率為 B.該雙曲線的漸近線方程為C.若，則的面積為16 D.點P到兩漸近線的距離乘積【答案】BCD【解析】【分析】A：離心率e＝；B：焦點在y軸上的雙曲線漸近線為；C：設，則根據(jù)雙曲線定義得，根據(jù)勾股定理得，由此求出mn，；D：設，則，根據(jù)點到直線距離公式求出點P到兩漸近線距離乘積即可.【詳解】由雙曲線的標準方程可知：，，，A：，故A錯誤；B：漸近線為，故B正確；C：設，則，，故C正確；D：設，則，雙曲線漸近線為：，，∴點P到兩漸近線的距離乘積為，故D正確.故選：BCD.12.關于函數(shù)，，下列說法正確的是（）A.對任意的，B.對任意的，C.函數(shù)的最小值為D.若存在使得不等式成立，則實數(shù)a的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】A：構造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可；B：利用特殊值法，進行判斷即可；C：利用導數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可；D：利用轉化法，根據(jù)特稱命題與它的否命題的真假關系，結合構造函數(shù)法、導數(shù)進行判斷即可.【詳解】A：設，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，即，所以有，即，所以本選項正確；B：，，顯然，所以本選項不正確；C：由，設當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以當時，，因此當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)有最小值，最小值為，因此本選項正確；D：命題：存在使得不等式成立，它的否命題為：，不等式恒成立，，構造函數(shù)，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，函數(shù)有最小值，最小值為：，，當時，而，所以，當時，要想恒成立，只需恒成立當，，也成立，即成立，也就是成立，構造新函數(shù)，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，函數(shù)有最大值，即，要想不等式恒成立，只需，當時，，而的值域為全體實數(shù)集，顯然不可能恒成立，因此當時，對于，不等式恒成立，因此當時，存在使得不等式成立，所以實數(shù)a的最大值為，因此本選項結論正確，故選：ACD【點睛】關鍵點睛：構造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)，結合存在性和任意性的定義是解題的關鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設a為實數(shù)，若直線與直線平行，則a值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行得到，解方程組即可求出結果.【詳解】由題意可知，解得，故答案為：.14.求值______.【答案】【解析】【分析】將原式子變形為：，將代入變形后的式子得到結果即可.【詳解】將代入變形后的式子得到結果為故答案為：15.歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—325年），大約100年后，阿波羅尼奧斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質(zhì)，比如：從拋物線的焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)拋物線反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點.已知拋物線，經(jīng)過點一束平行于C對稱軸的光線，經(jīng)C上點P反射后交C于點Q，則PQ的長度為______.【答案】####【解析】【分析】根據(jù)題意，求得點以及拋物線焦點的坐標，即可求得所在直線方程，聯(lián)立其與拋物線方程，求得點的坐標，即可求得.【詳解】因為經(jīng)過點一束平行于C對稱軸的光線交拋物線于點，故對，令，則可得，也即的坐標為，又拋物線的焦點的坐標為，故可得直線方程為，聯(lián)立拋物線方程可得：，，解得或，將代入，可得，即的坐標為，則.故答案為：.16.已知數(shù)列滿足，記，則______；數(shù)列的通項公式為______.【答案】①.②..【解析】【分析】結合遞推公式計算出，即可求出的值；證得數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可求出結果.【詳解】因為，所以，，，因此，由于，又，即，所以，因此數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，即，故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.從①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答：已知等差數(shù)列公差大于零，且前n項和為，，______，，求數(shù)列的前n項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按照第一個解答計分）【答案】；【解析】【分析】將條件①②③轉化為的形式，列方程組，并求解，寫出的通項公式，從而表示出，利用裂項相消法求和.【詳解】選①：設等差數(shù)列首項為，公差為，因為，，所以，所以，所以，所以選②：設等差數(shù)列首項為，公差為，因為，，所以，所以，所以，所以選③：設等差數(shù)列首項為，公差為，因為，，所以，所以，所以，所以【點睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關聯(lián)的數(shù)列的求和．(2)錯位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和．(3)分組求和：用于若干個等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和．18.已知圓與x軸交于A，B兩點，P是該圓上任意一點，AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點.（1）若弦AP長為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，求此時圓C的方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結合銳角三角函數(shù)定義進行求解即可；（2）根據(jù)題意，結合基本不等式和圓的標準方程進行求解即可.【小問1詳解】在方程中，令，解得，或，因為AP，PB的延長線分別交直線于M，N兩點，所以，圓心在x軸上，所以，因為，，所以有，當P在x軸上方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當P在x軸下方時，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問2詳解】由（1）知：，，所以設直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因為同號，所以，當且僅當時取等號，即當時取等號，于有以線段MN為直徑作圓C，當圓C面積最小時，此時最小，當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當時，和，中點坐標為：，半徑為，所以圓的方程為：，綜上所述：圓C的方程為.19.著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學家康托爾構造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結合題意，得到，利用對數(shù)的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長后組成的數(shù)為以為首項，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長度和為；【小問3詳解】解：設定義區(qū)間為，則區(qū)間長度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長度之和不大于，則滿足，即，即，因為為整數(shù)，所以最小值為.20.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)導函數(shù)函數(shù)值的正負即可判斷的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，以及，再求其取值范圍即可.【小問1詳解】因為，故可得，令，可得或；當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）可知：當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.則的最小值；又，當時，的最大值，此時；當時，的最大值，此時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以；所以的取值范圍為.21.設a，b是實數(shù)，若橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）過橢圓E上頂點P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點，且，試探究過C，D兩點的直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標；否則，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點，坐標為.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結合代入法進行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解即可.【小問1詳解】因為橢圓的離心率為，所以有.橢圓過點，所以，由可解：，所以該