上課用-2.4.1《平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義》

0平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義向量的夾角：已知兩個非零向量和，作，，則∠AOB=θ(0o≤θ≤180o)叫做向量與的夾角.θOAB當(dāng)θ=0o時，與同向；當(dāng)θ=180o時，與反向；當(dāng)θ=90o時，與垂直，記作。知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0探究一平面向量數(shù)量積的概念和幾何意義●活動①引出并理解向量數(shù)量積的概念如圖，如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，其中θ是F與s的夾角，請回答以下問題：（1）力F所做的功W=.（2）公式中的F、s、W是矢量還是標(biāo)量？F、s是矢量，W是標(biāo)量.這給我們一個啟示，我們可以把“功”看成是F與s這兩個向量的一種運算的結(jié)果.為此，我們引入向量“數(shù)量積”的概念：知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作a·b，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.注：向量的數(shù)量積為數(shù)量而非向量，符號由cosθ的符號來定；a·b中的“·”不能用“×”代替.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0●活動②探究向量數(shù)量積的幾何意義AOBba對于，θ是a與b的夾角，其中（）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.如圖，.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0θ的范圍θ=0°0°<θ<90°θ=90°90°<θ<180°θ=180°圖形

b在a方向上的投影

OABab正數(shù)由向量投影的定義，我們可以得到a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積.正數(shù)0負數(shù)負數(shù)知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0填空：由得：（用不等號填空）當(dāng)θ為銳角時，a·b_____0，且a·b_____|a|·|b|；當(dāng)θ為鈍角時，a·b_____0，且a·b_____-|a|·|b|；當(dāng)θ=0°時，a·b=_______；當(dāng)θ=180°時，a·b=；當(dāng)θ=90°時，a·b=_______.≠|(zhì)a|·|b|-|a|·|b|0>≠<知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0探究二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)●活動①歸納總結(jié)數(shù)量積的簡單性質(zhì)a·b=________；a與b同向a·b=_______；a與b反向a·b=.已知a與b是兩個非零向量，θ是a與b的夾角，請按要求填空.（集體口答）|a|·|b|-|a|·|b|0特別地：，從而有.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0●活動②公式變形，提煉性質(zhì)由向量數(shù)量積公式易得：當(dāng)且僅當(dāng)a與b共線且同向時，等號成立.那么通過數(shù)量積公式變形，可以來求哪些量？（舉手回答）也就是可以求向量的模長和向量夾角的余弦值.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0探究三平面向量數(shù)量積的運算律●活動①探究平面向量數(shù)量積的運算律你能證明下列平面向量數(shù)量積的運算律嗎？（舉手回答）（1）；（2）；（3）.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0（1）；（1）∵，又∵，∴.（2）；（2）∵，，且又∵∴.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0（3）.（3）如圖，任取一點O，作.∵（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即：.∴.∴.∴.注：<a，b>指向量a與b的夾角.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0注意：無法得到b=c，如當(dāng)a為零向量時，就不成立；(a·b)c不一定等于a(b·c)，因為(a·b)c表示一個與c共線的向量，a(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0●活動②簡單應(yīng)用數(shù)量積的運算律證明例1對任意，恒有，對任意向量a、b，是否也有成立？【解題過程】【思路點撥】按照向量數(shù)量積的分配律打開，再使用交換律化簡.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0例2（1）已知，a與b的夾角，求a·b；（2）已知，且，求a與b的夾角.【解題過程】（1）；（2）∵，又∵，∴.【思路點撥】熟悉向量數(shù)量積公式以及公式變形.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0例3已知，a與b的夾角，求.【解題過程】【思路點撥】借助向量數(shù)量積運算律.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0例4已知，且a與b不共線.k為何值時，向量與互相垂直.【解題過程】∵向量與互相垂直，∴，即：，又∵，，∴，解得：.【思路點撥】兩向量垂直其數(shù)量積為0.知識梳理知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做a與b的數(shù)量積或（內(nèi)積），記作a·b，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.2.對于，θ是a與b的夾角，其中（）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.知識梳理知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測03.一些常見的結(jié)論：a·b=________；a與b同向a·b=_______；a與b反向a·b=.|a|·|b|-|a|·|b|04.（1）；（2）；（3）.重難點突破知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0（1）掌握數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)及運算律；（2）能應(yīng)用數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律解決問題；（3）了解用平面向量數(shù)量積可以解決長度、角度、垂直、共線等問題.知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨堂檢測0知識回顧問題探究課堂小結(jié)隨