現(xiàn)代控制理論第三章

線性系統(tǒng)能控性和能觀測性的概述線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性線性連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性對偶性原理系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形結(jié)構(gòu)分解傳遞函數(shù)實現(xiàn)傳遞函數(shù)零極點對消第三章控制系統(tǒng)的能控性和能觀性

(1)能控性控制作用u(t)對被控系統(tǒng)狀態(tài)x(t)進(jìn)行控制的可能性。(2)能觀測性由系統(tǒng)輸出量測值y(t)確定系統(tǒng)狀態(tài)x(t)的可能性。3.1線性系統(tǒng)能控性和能觀測性的概述3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性一、狀態(tài)能控性

假設(shè)系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的每一個狀態(tài)都能控，那么就稱系統(tǒng)在[t0，tf]時間間隔內(nèi)是狀態(tài)完全能控的，簡稱系統(tǒng)是能控的。線性定常系統(tǒng)存在一個分段連續(xù)輸入信號u(t)，能在有限時間區(qū)間[t0，tf]內(nèi)，使系統(tǒng)的某一初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf)，那么稱此狀態(tài)是能控的。說明：假設(shè)存在能將系統(tǒng)從x(t0)=0轉(zhuǎn)移到任意終態(tài)x(tf)的控制作用，那么稱系統(tǒng)是可達(dá)的。對線性定常系統(tǒng)，可控與可達(dá)是可逆的。3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性二、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性方法一：

直接根據(jù)狀態(tài)方程的A陣和B陣方法二：

轉(zhuǎn)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形，再根據(jù)判斷二、狀態(tài)能控性判據(jù)

方法三：

傳遞函數(shù)3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性方法一：線性定常連續(xù)系統(tǒng)

(A，B),其狀態(tài)完全能控的充要條件是其能控性矩陣的秩為n，即：rankQc=n

Qc=[BABA2B…An1B]證明狀態(tài)方程的解為3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性設(shè)初始時刻為零，即t0=0以及終端狀態(tài)為狀態(tài)空間的原點，即x(tf)=0。那么有利用凱萊-哈密爾頓〔Cayley-Hamilton〕定理3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性因tf是固定的，所以每一個積分都代表一個確定的量，令3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性假設(shè)系統(tǒng)是能控的，那么對于任意給定的初始狀態(tài)x(0)都應(yīng)從上述方程中解出0，1，…，n1。這就要求系統(tǒng)能控性矩陣的秩為n，即rank[BABA2B…An1

B]=n

例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判斷其狀態(tài)能控性。解：Qc=[BABA2B]=rankQc=2n

2111

1

13222

2

25444

4

4所以系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控。3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性

3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性方法二：〔1〕設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，B)具有兩兩相異的特征值，那么其狀態(tài)完全能控的充要條件是系統(tǒng)經(jīng)線性變換后的對角線矩陣中,不包含元素全為零的行。3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性證明：系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后狀態(tài)能控性不變。由前章可知，系統(tǒng)

(A，B)和

(，)之間做線性非奇異變換時有：

3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性P是非奇異陣其次證明不包含元素為零的行是系統(tǒng)

(A，B)狀態(tài)完全能控的充要條件。將對角標(biāo)準(zhǔn)形的每一行寫成如下展開形式

顯見，上述方程組中，沒有變量間的耦合。因此，(i=1，2，…，n)能控的充要條件是以下元素不同時為零。

(1)3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性例：考察以下系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。(2)(3)3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性〔2〕假設(shè)線性連續(xù)系統(tǒng)(A，B)有相重的特征值,那么其狀態(tài)完全能控的充要條件是：系統(tǒng)經(jīng)線性變換后的約旦矩陣

輸入矩陣中對應(yīng)于互異的特征值的各行，沒有一行的元素全為零；輸入矩陣中與每個約當(dāng)塊最后一行相對應(yīng)的各行，沒有一行的元素全為零。例：考察以下各系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。(1)(2)3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性方法三：

3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性例：從輸入和狀態(tài)矢量間的傳遞函數(shù)確定其能控性？3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性例：判斷線性連續(xù)系統(tǒng)能控性？解：

線性定常系統(tǒng)能控性判據(jù)小結(jié)：①rankQc=rank[BAB…An

1B]=n②當(dāng)A為對角形且特征值互異時，輸入矩陣B中無全為零行；當(dāng)A為約當(dāng)陣時且相同特征值分布在一個約當(dāng)塊內(nèi)時，B中與約當(dāng)塊最后一行對應(yīng)的行不全為零，且B中相異特征值對應(yīng)的行不全為零。③單輸入系統(tǒng)，由狀態(tài)空間表達(dá)式導(dǎo)出的傳遞函數(shù)沒有零極點對消。3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性④Σ(A，B)為能控標(biāo)準(zhǔn)形。三、線性定常系統(tǒng)的輸出能控性

定義：對于系統(tǒng)

(A，B，C，D)，如果存在一個無約束的控制矢量u(t)，在有限時間間隔[t0，tf]內(nèi)，能將任一給定的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任一指定的最終輸出y(tf)，那么就稱

(A，B，C，D)是輸出完全能控的。3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性

3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性定理：線性定常系統(tǒng)

(A，B，C，D)，其輸出完全能控的充要條件是輸出能控性矩陣滿秩，即rankQ=rank[CBCAB…CAn-1BD]=m∫∫++u(t)x1(t)x2(t)y(t)x1(t)x2(t)例：設(shè)某一系統(tǒng)，其方塊圖如以下圖所示，試分析系統(tǒng)輸出能控性和狀態(tài)能控性。解：描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性rankQc=rank[BAB]=1100rankQ=rank[CBCABD]=[200]∴輸出是完全能控的。

系統(tǒng)的狀態(tài)能控性與輸出能控性是不等價的。

∴狀態(tài)是不完全能控的。

3.2線性連續(xù)系統(tǒng)的能控性3.3線性系統(tǒng)的能觀測性一、狀態(tài)能觀測性定義

對任意給定的輸入信號u(t)，在有限時間tf>t0，能夠根據(jù)輸出量y(t)在[t0，tf]內(nèi)的測量值，唯一地確定系統(tǒng)在時刻t0的初始狀態(tài)x(t0)，那么稱此系統(tǒng)的狀態(tài)是能觀測的。假設(shè)系統(tǒng)的每個狀態(tài)都能觀測，那么稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測。二、線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)能控性判據(jù)3.3線性系統(tǒng)的能觀測性方法一：

直接根據(jù)狀態(tài)空間表達(dá)式的A陣和C陣判斷方法二：

轉(zhuǎn)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形，再根據(jù)判斷二、狀態(tài)能觀測性判據(jù)

3.3線性系統(tǒng)的能觀測性方法一：

線性定常系統(tǒng)

(A，C)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是能觀測性矩陣滿秩，即：rankQo

=n證明假設(shè)t0=0，那么齊次狀態(tài)方程的解為x(t)=eAtx(0)y(t)=CeAtx(0)3.3線性系統(tǒng)的能觀測性因為一般m<n，此時，方程無唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同時刻進(jìn)行觀測，得到y(tǒng)(t1)，y(t2)，…，y(tf)，此時把方程個數(shù)擴(kuò)展到n個，即3.3線性系統(tǒng)的能觀測性上式說明，根據(jù)在〔0，tf〕時間間隔的量測值y(t1)，y(t2)，…，y(tf)，能將初始狀態(tài)x(0)唯一地確定下來的充要條件是能觀測性矩陣Qo滿秩。2121

1010rankQo=2=n3.3線性系統(tǒng)的能觀測性例：判斷能觀測性？解：

系統(tǒng)能觀測例：若系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為分別確定當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)可控及系統(tǒng)可觀測時a，b，c，d應(yīng)滿足條件。可見，當(dāng)a?b?c?d≠0時系統(tǒng)可控；當(dāng)c≠0時系統(tǒng)可觀測。解：3.3線性系統(tǒng)的能觀測性

方法二：〔1〕設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，C)具有互不相同的特征值，那么其狀態(tài)完全能觀測的充要條件是：系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的對角標(biāo)準(zhǔn)形：3.3線性系統(tǒng)的能觀測性中，?不包含全為零的列。

〔2〕設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)(A，C)具有重特征值，那么其狀態(tài)完全能觀測的充要條件是：系統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形3.3線性系統(tǒng)的能觀測性式中，和每個約當(dāng)塊Ji〔i=1，2，…，k〕相對應(yīng)的?的第一列元素不全為零。（2）3.3線性系統(tǒng)的能觀測性例：分析以下系統(tǒng)的狀態(tài)能觀測性（3）（4）線性定常系統(tǒng)能觀測性判據(jù)小結(jié)：①②當(dāng)A為對角形且特征值互異時，輸出矩陣C中無全為零列；當(dāng)A為約當(dāng)陣時且相同特征值分布在一個約當(dāng)塊內(nèi)時，C中與約當(dāng)塊第一列對應(yīng)的列不全為零，且C中相異特征值對應(yīng)的列不全為零。

SISO系統(tǒng)，由狀態(tài)空間表達(dá)式導(dǎo)出的傳遞函數(shù)沒有零極點對消。④Σ(A，B)為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形。3.3線性系統(tǒng)的能觀測性一、線性離散系統(tǒng)的能控性定義設(shè)線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程:x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)定義:對于系統(tǒng)(G，H)，如果在有限采樣間隔內(nèi)kTtnT，存在階梯控制信號序列u(k),u(k+1),…，u(n1)，使得系統(tǒng)從第k個采樣時刻的狀態(tài)x(k)開始，能在第n個采樣時刻到達(dá)零狀態(tài)，即x(n)=0，那么稱該系統(tǒng)在第k個采樣時刻上是能控的。假設(shè)系統(tǒng)在第k個采樣時刻上的所有狀態(tài)都是能控的，那么該系統(tǒng)即稱為狀態(tài)完全能控的，或簡稱狀態(tài)能控的。3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性注：線性定常連續(xù)系統(tǒng)不能控，離散化后的系統(tǒng)一定不能控；連續(xù)系統(tǒng)能控，離散化后的系統(tǒng)不一定能控，與采樣周期T的選擇有關(guān)。

線性定常離散系統(tǒng)(G，H)，定義能控性矩陣為Uc=[HGHG2H…Gn1H]，假設(shè)系統(tǒng)矩陣G非奇異，那么狀態(tài)完全能控的充要條件是：rankUc=n二、線性離散系統(tǒng)的能控性判據(jù)3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性證明狀態(tài)方程的解為根據(jù)假設(shè)條件，當(dāng)k

n時，x(k)=0，即3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性Gn1Hu(0)+…+GHu(n2)+Hu(n1)=Gnx(0)當(dāng)G是非奇異矩陣時，對于任意給定的非零初態(tài)x(0)，Gnx(0)必為某一非零的n維列矢量。因此，方程有解的充要條件系統(tǒng)的能控性矩陣Uc滿秩。3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性解：

Uc=[HGHG2H]=100100120110040142

試判斷系統(tǒng)是否具有能控性。例：線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性三、線性定常離散系統(tǒng)的能觀測性定義

3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性如果根據(jù)第i步以后的觀測值y(i)，y(i+1)，…，y(N)，能唯一地確定出第i步的狀態(tài)x(i)，那么稱系統(tǒng)在第i步是能觀測的。假設(shè)系統(tǒng)在任意采樣時刻上都是能觀測的，那么稱系統(tǒng)為狀態(tài)完全能觀測的，或簡稱系統(tǒng)能觀測。

3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性四、線性定常離散系統(tǒng)的能觀測性判據(jù)

線性定常離散系統(tǒng)

(G，C)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是能觀測性矩陣Uo滿秩，即：

x(k+1)=Gx(k)y(k)=Cx(k)利用遞推法，可得y(0)=Cx(0)y(1)=Cx(1)=CGx(0)…y(n1)=CGn1

x(0)寫成矩陣形式3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性證明:假設(shè)觀測從第0步開始，并認(rèn)為輸入u(k)=0，此時系統(tǒng)為x(0)有唯一解的充要條件是能觀測性矩陣Uo滿秩。3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性

001100302101901

203

Uo=[CCGCG2

]T=所描述的系統(tǒng)是否能觀測。3.4線性離散系統(tǒng)的能控性和能觀測性解：例:3.5對偶性原理系統(tǒng)

1的狀態(tài)空間表達(dá)式為系統(tǒng)

2的狀態(tài)空間表達(dá)式為那么稱系統(tǒng)1和系統(tǒng)2是互為對偶一、對偶性定義CB∫++u1(t)x1(t)y1(t)x1(t)A∫BTCT++u2(t)x2(t)y2(t)x2(t)AT從結(jié)構(gòu)圖上看，系統(tǒng)1和其對偶系統(tǒng)2的輸入端和輸出端互換，信號傳遞方向相反，信號引出點和比較點互換，各矩陣轉(zhuǎn)置。

對偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣是互為轉(zhuǎn)置的。3.5對偶性原理

二、對偶性原理系統(tǒng)1狀態(tài)完全能控〔完全能觀測〕的充要條件與其對偶系統(tǒng)2狀態(tài)完全能觀測〔完全能控〕的充要條件相同。3.5對偶性原理Qc2=[CTATCT…(AT)n1CT

]系統(tǒng)

2的能控性和能觀測性矩陣分別為3.5對偶性原理證明系統(tǒng)

1的能控性和能觀測性矩陣分別為Qc1=[BABA2B…An1B]

∴rankQc1=rankQo2rankQo1=rankQc2根據(jù)這一原理，一個系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控性〔能觀測性〕就可以借助其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測性〔能控性〕來研究。3.5對偶性原理=[BABA2B…An1B]T3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形(1)約旦標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計算，可控、可觀測性分析(2)能控標(biāo)準(zhǔn)形系統(tǒng)狀態(tài)反響(3)能觀測標(biāo)準(zhǔn)形系統(tǒng)狀態(tài)觀測器設(shè)計

〔1〕能控標(biāo)準(zhǔn)I型設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)Σ(A，B，C)，如果系統(tǒng)是能控的，那么一定存在一個非奇異變換，將系統(tǒng)Σ(A，B，C)變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形：3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形一、單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形采用能控標(biāo)準(zhǔn)型I求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形例：試將以下系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。系統(tǒng)是能控的3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形

設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)Σ(A，B，C)，如果系統(tǒng)是能控的，那么一定存在一個非奇異變換，將系統(tǒng)Σ(A，B，C)變換成能控標(biāo)準(zhǔn)形：3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形〔2〕能控標(biāo)準(zhǔn)II型3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形解：3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形例：試將以下系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形。系統(tǒng)是能控的3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形二、單輸出系統(tǒng)的能觀測標(biāo)準(zhǔn)形

〔1〕能觀標(biāo)準(zhǔn)I型

3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形設(shè)線性定常單輸出系統(tǒng)Σ(A，B，C)，如果系統(tǒng)是能觀測的，那么一定存在一個非奇異變換，將上述系統(tǒng)Σ(A，C)變換成能觀測標(biāo)準(zhǔn)形：3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形與能控標(biāo)準(zhǔn)II型互為對偶系統(tǒng)3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形

設(shè)線性定常單輸入系統(tǒng)Σ(A，B，C)，如果系統(tǒng)是能觀測的，那么一定存在一個非奇異變換，能將上述系統(tǒng)Σ(A，B，C)變換成能觀測標(biāo)準(zhǔn)形：3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形〔2〕能觀測標(biāo)準(zhǔn)II型3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形與能控標(biāo)準(zhǔn)I型互為對偶系統(tǒng)3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形采用能觀測標(biāo)準(zhǔn)型II求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形例：試將以下系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變換為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形。系統(tǒng)是能觀測的3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形〔1〕3.6系統(tǒng)的能控和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形從能控性和能觀測性出發(fā)，狀態(tài)變量可分解為能控能觀測xco，能控不能觀測xc?，不能控能觀測x?o，不能控不能觀測x??四類。以此對應(yīng)，將狀態(tài)空間分為四個子空間，系統(tǒng)也對應(yīng)分解為四個子系統(tǒng)，這稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解。3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一、系統(tǒng)按能控性分解設(shè)有n維狀態(tài)不完全能控線性定常系統(tǒng)(A,B,C)，rankQc=k<n，那么必存在一個非奇異矩陣Tc，令，能將系統(tǒng)變?yōu)椋?.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解k維子系統(tǒng)是能控n–k維子系統(tǒng)是不能控其中，列向量q1，q2，…，qk

是能控性矩陣Q中k個線性無關(guān)的列，另外n

–k個列向量qk+1，…，qn是在確保Tc為非奇異的情況下任意選取的。能控局部不能控局部∫++x2(t)A22A12

y(t)

B1∫++u(t)x1(t)A11C1∫++C2++

例：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為試求系統(tǒng)的能控子系統(tǒng)。3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解解：〔1〕判斷系統(tǒng)是否完全能控rankQc=2∴原系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能控的。〔2〕結(jié)構(gòu)分解，取Tc=101101001

3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解設(shè)有n維狀態(tài)不完全能控線性定常系統(tǒng)(A，B，C)，rankQo=l<n，那么必存在一個非奇異矩陣To，令能將系統(tǒng)變?yōu)椋?.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解二、系統(tǒng)按能觀測性分解3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解l維子系統(tǒng)是能觀測的n–l維子系統(tǒng)是不能觀測的其中，行向量T1，T2，…，Tl是能觀測性矩陣Q中l(wèi)個線性無關(guān)的行，另外n

–l個行向量Tl+1，…，Tn是在確保T0為非奇異情況下任意選取的。C1B1∫++u(t)x1(t)y(t)A11B2∫++x2(t)A22A21能觀測局部不能觀測局部

例：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為試求系統(tǒng)的能觀子系統(tǒng)。3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解解：〔1〕判斷系統(tǒng)是否完全能觀測rankQo

=2∴原系統(tǒng)是狀態(tài)不完全能觀測的。〔2〕結(jié)構(gòu)分解3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

三、系統(tǒng)按能控性和能觀測性分解

3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

設(shè)有n維線性定常系統(tǒng)(A，B，C)，假設(shè)系統(tǒng)既不完全能控，也不完全能觀測，那么存在一個非奇異矩陣線性變換，可使系統(tǒng)變換為如下形式3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解結(jié)構(gòu)分解方法一：(1)將系統(tǒng)按能控性分解

取狀態(tài)變量：系統(tǒng)變換為：3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解(2)將不能控的子系統(tǒng)按能觀性分解

取狀態(tài)變量：系統(tǒng)變換為：3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解(3)將能控子系統(tǒng)按能觀性分解

取狀態(tài)變量：系統(tǒng)變換為：3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解綜合三次變換，可得

例：線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為試求系統(tǒng)按能控性和能觀測性結(jié)構(gòu)分解。3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解

3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解解：〔1〕判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測〔2〕將系統(tǒng)按能控性分解〔3〕將不能控子系統(tǒng)按能觀測性分解

rankQc=2<nrankQo=2<n

〔4〕將能控子系統(tǒng)按能觀測性分解

3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解綜合以上結(jié)果，系統(tǒng)按能控性和能觀測性分解后3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解結(jié)構(gòu)分解方法二：〔1〕將待分解的系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)型；〔2〕判斷各狀態(tài)變量的能控性和能觀測性；〔3〕按能控能觀、能控不能觀、不能控能觀、不能控不能觀四種類型分類。3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解例：3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解解：能控能觀測變量：能控不能觀測變量：不能控能觀測變量：不能控不能觀測變量：3.7系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解一、定義

如果對給定的一個傳遞函數(shù)陣G(s)，能找到相應(yīng)的線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式3.8實現(xiàn)問題那么稱系統(tǒng)Σ(A，B，C)是G(s)的一個實現(xiàn)。使得G(s)=C(sI

A)

1B成立說明：〔1〕傳遞函數(shù)陣G(s)所有元的傳遞函數(shù)Gij(s)的分子分母多項式的系數(shù)均為實常數(shù)。〔2〕當(dāng)傳遞函數(shù)陣G(s)所有元的傳遞函數(shù)Gij(s)均為s的真有理分式函數(shù)〔即分子多項式的階次低于分母多項式的階次〕時，其實現(xiàn)為Σ(A，B，C)形式。當(dāng)Gij(s)的分子多項式的階次等于分母多項式的階次時，其實現(xiàn)為Σ(A，B，C，D)形式。且有3.8實現(xiàn)問題

C(sI

A)

1B+D=G(s)二、按標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)

能控標(biāo)準(zhǔn)形〔能觀測標(biāo)準(zhǔn)形〕實現(xiàn)就是由傳遞函數(shù)陣所建立的狀態(tài)表達(dá)式，不但完全能控〔能觀測〕，而且為標(biāo)準(zhǔn)形式，那么稱為能控標(biāo)準(zhǔn)形〔能觀測標(biāo)準(zhǔn)形〕實現(xiàn)。3.8實現(xiàn)問題1．單輸入單輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)定理：若單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為其中，ai和bi（i=1，2，…，n）為實常數(shù)3.8實現(xiàn)問題其能控標(biāo)準(zhǔn)形的實現(xiàn)為：3.8實現(xiàn)問題能觀測標(biāo)準(zhǔn)形的實現(xiàn)為：3.8實現(xiàn)問題例：試求傳遞函數(shù)能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。解：

∵a1=6a2=11a3=6b1=1b2=4b3=53.8實現(xiàn)問題②能觀測標(biāo)準(zhǔn)形為:①能控標(biāo)準(zhǔn)形為:3.8實現(xiàn)問題2．多輸入多輸出系統(tǒng)

r個輸入和m個輸出的多輸入多輸出系統(tǒng)，可把m×r的傳遞函數(shù)陣G(s)寫成和單輸入單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)相類似的形式，即

式中B1，B2，…，Bn均為m×r實常數(shù)矩陣，分母多項式為該傳遞函數(shù)陣的特征多項式。3.8實現(xiàn)問題3.8實現(xiàn)問題能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)為：能觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)的各系數(shù)矩陣為

能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)的維數(shù)是n×r，能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)的維數(shù)是n×m，為了保證實現(xiàn)的維數(shù)較小，當(dāng)m>r，即輸出的維數(shù)大于輸入的維數(shù)時，應(yīng)采用能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)；當(dāng)m<r時應(yīng)采用能觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。3.8實現(xiàn)問題例：試求傳遞函數(shù)陣的能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)和能觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。3.8實現(xiàn)問題解：將G(s)寫成按s的降冪排列的標(biāo)準(zhǔn)格式，即r

=2m

=2a1=6a2=11a3=6B1B2B33.8實現(xiàn)問題能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)為：3.8實現(xiàn)問題能觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)為：

3.8實現(xiàn)問題三、最小實現(xiàn)

〔1〕最小實現(xiàn)的定義對應(yīng)于一個傳遞函數(shù)陣G(s)的實現(xiàn)不是唯一的，尋找一個狀態(tài)變量個數(shù)最小或階數(shù)最低的實現(xiàn)，就是最小實現(xiàn)。3.8實現(xiàn)問題〔2〕構(gòu)造最小實現(xiàn)步驟：對給定的系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣G(s)先找出一種實現(xiàn)Σ(A，B，C)〔一般選取能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)或能觀測標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)〕對所得實現(xiàn)Σ(A，B，C)中，找出其完全能控且完全能觀測局部，即為最小實現(xiàn)。3.8實現(xiàn)問題

注：

傳遞函數(shù)陣G(s)的一個實現(xiàn)Σ(A，B，C)為最小實現(xiàn)的充要條件是：Σ(A，B，C)不但能控而且能觀測。3.8實現(xiàn)問題證必要性：設(shè)系統(tǒng)Σ(A，B，C)為G(s)的一個最小實現(xiàn)，其階數(shù)為n，但系統(tǒng)Σ(A，B，C)不完全能控和不完全能觀測。∵Σ(A，B，C)不完全能控和不完全能觀測，那么系統(tǒng)Σ(A，B，C)必可進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，其能控且能觀測局部也是一個實現(xiàn)。顯然其維數(shù)一定比系統(tǒng)Σ(A，B，C)的維數(shù)n低，這說明Σ(A，B，C)不是最小實現(xiàn)，與假設(shè)條件相矛盾。故系統(tǒng)Σ(A，B，C)必為完全能控且完全能觀測的。3.8實現(xiàn)問題充分性采用反證法設(shè)Σ(A，B，C)是G(s)的一個實現(xiàn)，但不是最小實現(xiàn)，并能控能觀測的，其階數(shù)為n。此時必存在另一個實現(xiàn)，其階數(shù)為n′<n。由于Σ和Σ′都是G(s)的一個實現(xiàn)，那么對任意的輸入u(t)，必具有相同的輸出y(t)，即考慮到u(t)和t的任意性，故3.8實現(xiàn)問題…對上式兩邊微分，推得當(dāng)t=τ時，那么得3.8實現(xiàn)問題∵已設(shè)Σ(A，B，C)為完全能控且能觀測∴上式等號左邊矩陣的秩為n，等號右邊矩陣的最大的秩為n′，假設(shè)n′<n不成立，故系統(tǒng)Σ(A，B，C)必為最小實現(xiàn)。3.8實現(xiàn)問題例：試求傳遞函數(shù)陣的最小實現(xiàn)。3.8實現(xiàn)問題∵m=1r=2a1=6a2=11a3=6B1=[00]B2=[11]B3=[31]因m<r，故采用能觀測標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)。

解：3.8實現(xiàn)問題∴系統(tǒng)是既能控又能觀測的，它為最小實現(xiàn)。3.8實現(xiàn)問題顯然，能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)不是最小實現(xiàn)。需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，找出其狀態(tài)完全能觀測局部。3.8實現(xiàn)問題如果采用能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)一個單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)Σ(A，B，C)，假設(shè)其傳遞函數(shù)中沒有零點和極點相消現(xiàn)象，那么系統(tǒng)一定是既能控又能觀測的。假設(shè)有零、極點相消現(xiàn)象，那么系統(tǒng)視狀態(tài)變量的選擇不同，它將是不能控的，或者是不能觀測的，或者是不能控不能觀測的。3.9系統(tǒng)傳遞函數(shù)中零極點相消定理證明Σ(A，B，C)的傳遞函數(shù)為G(s)=C(sI?A)?1B〔1〕證充分性：如果傳遞函數(shù)C(sI?A)?1B中不出現(xiàn)零、極點對消，系統(tǒng)