高二數(shù)學(xué)二面角、兩平面垂直的判定和性質(zhì)人教版知識精講

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高二數(shù)學(xué)二面角、兩平面垂直的判定和性質(zhì)人教版【同步教育信息】一。本周教學(xué)內(nèi)容：二面角、兩平面垂直的判定和性質(zhì)二。重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：1。二面角的有關(guān)概念：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫二面角的棱。二面角的平面角的定義：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫直二面角.2。作二面角的平面角常有以下方法:①若構(gòu)成二面角的兩個(gè)面有特殊性（如等腰三角形或直角三角形），可根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)作出平面角。②若已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩面的垂線，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角就是二面角的平面角，稱為垂面法.③若已知二面角一面內(nèi)一點(diǎn)到另一面的垂線，用三垂線定理或它的逆定理作出平面角，稱為三垂線法。④由定義找到棱上有關(guān)點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作出（或找出)垂直于棱的射線，得到二面角的平面角。⑤當(dāng)直觀圖上只給出兩個(gè)平面的一個(gè)交點(diǎn)而沒給出交線時(shí),要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。3.兩個(gè)平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，所成二面角是直二面角。作用：①用于證明兩個(gè)平面垂直，證明二面角的平面角是直角。②兩平面垂直，二面角為直二面角,平面角的二直線互相垂直。4。（1）兩個(gè)平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直。兩個(gè)平面垂直的判定定理不僅是判定兩個(gè)平面互相垂直的依據(jù)，而且是找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù)。由判定定理的內(nèi)容可知,證明面面垂直,可以轉(zhuǎn)化為證線面垂直。（2）性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)的垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面.簡言為：“面面垂直,則線面垂直”。難點(diǎn)：1.二面角平面角的作法與計(jì)算。2.判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用?！镜湫屠}】例1。如圖。AC為圓O的直徑,B，D為圓上在AC兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，SA⊥平面ABCD,連SB，SC,SD，試寫出圖中所有互相垂直的各對平面并說明理由。解：∵SA⊥平面ABCD。∴過SA的平面垂直于平面ABCD。∴面SAB，面SAC,面SAD都與平面ABCD垂直.又∵CD⊥AD?！郈D⊥SD(三垂線定理）?！郈D⊥面SAD?！嘟?jīng)過CD的平面垂直于平面SAD?！嗝鍯DS，面ACD分別垂直于平面SAD.同理，面CBA，面SBC分別垂直于平面SBA。但其中面SAD⊥面ACD，面CAB⊥面SAB。在第一種情況中已得到。故共有五對平面互相垂直。例2。在四面體ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°。若，求二面角的正弦值。證明：過點(diǎn)A作AE⊥CD于E，AF⊥BD于F如圖?！逜D⊥面ABC∴AD⊥BC又∵∠ABC＝90°.∴BC⊥AB∴BC⊥面DAB?！郉B是DC在面ABD內(nèi)的射影.∵AF⊥DB∴AF⊥CD（三垂線定理）。又∵AE⊥CD∴CD⊥平面AEF。∴CD⊥EF∵CD⊥面AEFCD面BCD∴面AEF⊥面BCD由EF⊥CD,AE⊥CD∴∠AEF為二面角B－DC－A的平面角在中在又∵AF⊥DB,AF⊥CD，BD∩CD＝D∴AF⊥平面DBC，例3.在60°的二面角M－a－N內(nèi)有一點(diǎn)P，P到平面M、平面N的距離分別為1和2，求點(diǎn)P到直線a的距離。分析：設(shè)PA、PB分別為點(diǎn)P到平面M、N的距離,過PA、PB作平面α，分別交M、N于AQ、BQ。同理，有PB⊥a，∵PA∩PB＝P,∴a垂直于面PAQB于Q又AQ、BQ平面PAQB∴AQ⊥a,BQ⊥a?！唷螦QB是二面角M－a－N的平面角.∴∠AQB＝60°連PQ,則PQ是P到a的距離，在平面圖形PAQB中，有∠PAQ＝∠PBQ＝90°∴P、A、Q、B四點(diǎn)共圓，且PQ是四邊形PAQB的外接圓的直徑2R在△PAB中，∵PA＝1，PB＝2，∠BPA＝180°－60°＝120°，由余弦定理得AB2＝1＋4－2×1×2cos120°＝7由正弦定理:評注：本例題中,通過作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。例4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)。求截面MB1D與底面ABCD分析:如圖。面MB1D與面ABCD只相交于點(diǎn)D，因此，要求二面角的大小,需先找或作出它的棱。由公理2及二面角棱的定義知，這條棱必過點(diǎn)D。只要再找出兩個(gè)面的另一個(gè)交點(diǎn)即可.解：∵M(jìn)是A1A的中點(diǎn)，∴MAB1B延長其腰B1M與BA必相交于一點(diǎn)N?！進(jìn)B1面B1DM，N∈MB1?！郚∈面B1DM。同理：N∈面ABCD.連結(jié)ND即為二面角的棱.連結(jié)DB,∵NA＝BA＝AD，∴∠ADB＝∠ADN＝45°。∴∠BDN＝90°.∴BD⊥ND.∵B1B⊥平面ABCD.∴ND⊥B1D（三垂線定理）。∴∠B1DB是所求二面角的平面角。在Rt△B1DB中，【疑難解析】兩個(gè)平面互相垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情形.1。定義用于證明兩個(gè)平面垂直，即它們組成的二面角是直二面角,首先作出它的一個(gè)平面角，然后證出這個(gè)平面角是直角。2.判定定理不僅是判定兩個(gè)平面互相垂直的依據(jù),而且是找出垂直于一個(gè)平面的另一個(gè)平面的依據(jù)。3。從兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理中，可看出平面與平面的垂直問題仍可轉(zhuǎn)化為直線與平面的垂直問題．即從線面垂直可得出面面垂直。反之，由面面垂直又可得出線面垂直．所以兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理1也可看作是直線與平面垂直的判定定理。當(dāng)面面垂直時(shí)，作輔助線一般作交線的垂線，當(dāng)線面垂直時(shí)可利用三垂線定理求二面角、求線面角。二面角的求法:求解過程:1。作出二面角2.認(rèn)定（證明）3。計(jì)算4。結(jié)論作二面角最重要的方法是應(yīng)用三垂線定理或用定義。無論用三垂線定理還是用定義作二面角都是利用二面角所在的平面垂直棱這一性質(zhì),先找棱的一條垂線（或者作一垂線)進(jìn)一步作出二面角?！灸M試題】1。已知三棱錐S-ABC，∠ASB＝∠ASC＝45°，∠BSC＝60°，求證：側(cè)面BSA⊥側(cè)面CSA。2。如圖,PC⊥平面ABC,AB＝BC＝CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。3。在60°二面角M－a－N內(nèi)有一點(diǎn)P，P到平面M、平面N的距離分別為1和2，求點(diǎn)P到直線a的距離。4。如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥側(cè)面AC1.（Ⅰ)求證：BE＝EB1;（Ⅱ）若AA1＝A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角）的度數(shù)。注意：在下面橫線上填寫適當(dāng)內(nèi)容，使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答（（Ⅰ）證明：在截面A1EC內(nèi)，過E作EG⊥A1C①∵_(dá)______________________∴EG⊥側(cè)面AC1；取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)BF，F(xiàn)G，由AB＝BC得BF⊥AC，②∵_(dá)___________________∴BF⊥側(cè)面AC1；得BF∥EG，BF、EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC1于FG。③∵_(dá)__________________________∴BE∥FG，四邊形BEGF是平行四邊形，BE＝FG，④∵_(dá)________________________________∴FG∥AA1，△AA1C∽△⑤∵_(dá)________________________5.拿一張邊長為10cm的正三角形紙片ABC，以它的高AD為折痕,折成一個(gè)二面角，如圖所示.（1）指出這個(gè)二面角的面、棱、平面角；（2)若二面角B－AD－C為直二面角，求B、C兩點(diǎn)的距離;（3)求AB與面BCD所成的角；(4）若二面角B－AD－C的平面角為120°，求二面角A－BC－D的余弦值；（5)設(shè)二面角A－BC－D的大小為θ，試推導(dǎo)△ABC與△DBC面積關(guān)系式.6.已知正方體ABCD－A1B1C1D1,E、F、G分別是AB、C1D1、B1C1的中點(diǎn),求：（1)直線AB與平面A1ECF所成的角；（2）求平面AFG和平面AB1D1所成的角；(3)求二面角B1－A1C【試題答案】1。分析:利用所成二面角是直二面角。證明：過B作BD⊥SA于D,過D在平面SAC內(nèi)作ED⊥SA交SC于E，連BE，∴∠BDE為二面角B-AS-C的平面角∵∠ASC＝∠ASB＝45°∴ED＝SD＝BD設(shè)SD＝a，則SB＝SE＝a在ΔBSE中∠BSE＝60°∴BE＝a在ΔBDE中∴∠BDE＝90°∴二面角B-AS—C為直二面角∴側(cè)面BSA⊥側(cè)面CSA2。分析：由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC,從而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂線定理作出二面角的平面角。解：∵PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC,交線為AC作BD⊥AC于D點(diǎn)，據(jù)面面垂直性質(zhì)定理,得BD⊥平面PAC。作DE⊥PA于E，連BE，據(jù)三垂線定理，則BE⊥PA，從而∠BED是二面角B－PA－C的平面角。設(shè)PC＝a，依題意知三角形ABC是邊長為a的正三角形,∴D是AC的中點(diǎn)，且∵PC＝CA＝a，∠PCA＝90°,∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA中，則在中,評注：本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法來求解。3。分析：設(shè)PA、PB分別為點(diǎn)P到平面M、N的距離，過PA、PB作平面α,分別交M、N于AQ、BQ。同理，有PB⊥a，∵PA∩PB＝P，∴a⊥面PAQB于Q又AQ、BQ平面PAQB∴AQ⊥a,BQ⊥a．∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角．∴∠AQB＝60°連PQ，則PQ是P到a的距離，在平面圖形PAQB中，有∠PAQ＝∠PBQ＝90°∴P、A、Q、B四點(diǎn)共圓，且PQ是四邊形PAQB的外接圓的直徑2R在△PAB中，∵PA＝1，PB＝2,∠BPA＝180°－60°＝120°,由余弦定理得AB2＝1＋4－2×1×2cos120°＝7由正弦定理：評注：本例題中，通過作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。4。解：(I）①∵面A1EC⊥側(cè)面AC1，②∵面ABC⊥側(cè)面AC1,③∵BE∥側(cè)面AC1，④∵BE∥AA1,⑤∵AF＝FC，∴,,（II）解：分別延長CE、C1B1交于點(diǎn)D，連結(jié)A1D?！逤C1⊥面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影,根據(jù)三垂線定理得DA1所以∠CA1C1所求二面角的平面角

∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，∠A1∴∠CA1C1＝45°，即所求二面角為5.解：（1）二面角B－AD－C的面為：面ABD，面ACD．棱為：直線AD．∵BD⊥AD，CD⊥AD，∴平面角為∠BDC．（2）在△BCD中，由(1）知∠BDC是二面角B－AD－C的平面角∴∠BDC＝90°，又∵BD＝CD（3)∵AD⊥面BCD，∴∠ABD為直線AB與面BCD所成的角．∵△ABC為正三角形,∴∠ABD＝60°,即AB與面BCD成60°角．（4）當(dāng)B－AD－C為120°的二面角時(shí)，即∠BDC＝120°，取BC中點(diǎn)M，連結(jié)DM、AM,如圖∵BD＝DC,則DM⊥BC．∵AD⊥面BCD，由三垂線定理，BC⊥AM，∴∠AMD是二面角A－BC－D的平面角．在△BDC中，∵∠CDM＝60°，S△DBC、S△ABC、θ三者中任知兩個(gè)數(shù)值便可求出第三個(gè)數(shù)值。其中S△DBC的面積可視為△ABC在面DBC上的射影面積。6.解：（1)正方體ABCD－A1B1C1D1中E、F分別是AB、C1D1∴A1E＝EC＝CF＝FA1A1∴A1ECF為菱形∴EF⊥A1設(shè)A1C∩EF＝O,∴O為A1∵B1E＝B1F∴在△B1EF中，有B1O⊥又EF⊥A1C∴EF⊥平面A1B又EF平面A1ECF∴平面A1ECF⊥平面A1B1在平面A1B1C內(nèi)作B1H⊥A1C于H，則B1H⊥平面A∵A1B1∥AB∴A1B1與平面A1ECF所成角等于AB與平面A1ECF所成角等于∠B1A1設(shè)正方體棱長為1，則A1C＝B1H＝（1＊)/＝(A1H＝＝）∴sin∠B1A1H＝∴∠B1A1H＝arcsin即：AB與平面A1ECF所成角是arcsin由于平面的一條斜線在這個(gè)平面的射影只有一條，所以，求直線和平面所成角時(shí)，關(guān)鍵是找出它在這個(gè)平面的射影。（2）分析：由于平面AFG和平面AB1D1有一個(gè)公共點(diǎn)，所以交于過A點(diǎn)的一條直線.本題關(guān)鍵是作出交線，求交線的方法：①是根據(jù)公理1和公理2找到兩平面的另一個(gè)公共點(diǎn).②是根據(jù)線面平行的性質(zhì)，證明交線于其以知直線平行。此題后面比較簡便.解:∵F、G分別是D1C1和B1C∴FG∥D1B1∴FG∥平面AD1B1設(shè)面AFG∩面AB1D1＝l∴FG∥l連A1C1交B1D1則M、N分別為B1D1和FG的中點(diǎn)。∵AB1＝AD1∴AM⊥B1D1∵AG＝AF（△AFD1≌△AGB1）∴A