高二數(shù)學(xué)同步練習(xí)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精選修1-13。3.1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性一、選擇題1．函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0,1）上是(）A．單調(diào)增函數(shù)B．單調(diào)減函數(shù)C．在（0，eq\f（1,e）)上是減函數(shù)，在(eq\f（1,e），1）上是增函數(shù)D．在(0,eq\f(1，e）)上是增函數(shù),在（eq\f(1，e），1)上是減函數(shù)[答案］C[解析］f′(x)＝lnx＋1，當(dāng)0〈x<eq\f(1,e）時(shí)，f′（x）<0,當(dāng)eq\f（1,e）<x〈1時(shí)，f′(x)>0.2．若在區(qū)間（a，b）內(nèi)有f′(x)＞0，且f(a)≥0，則在（a，b）內(nèi)有（）A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能確定［答案]A[解析］∵在區(qū)間（a，b)內(nèi)有f′（x）〉0,且f(a)≥0，∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)是遞增的，且f(x）>f（a）≥0.3．設(shè)f(x）＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，則f(x)為增函數(shù)的一個(gè)充分條件是(）A．b2－4acB．b＞0，c＞0C．b＝0，c＞0D．b2－3ac[答案]C［解析］f′（x)＝3ax2＋2bx＋c，又a〉0,∴當(dāng)b＝0，c>0時(shí)，f′（x）>0恒成立．4．函數(shù)f（x）＝2x2－ln2x的單調(diào)遞增區(qū)間是（)A．（0，eq\f（1,2）)B．（0，eq\f（\r(2)，4）)C．（eq\f（1，2），＋∞）D．(－eq\f（1,2)，0）及(0，eq\f（1，2)）[答案］C[解析］函數(shù)f(x）的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′（x)＝4x－eq\f(1,x），令f′（x)〉0，得x>eq\f(1,2），∴函數(shù)f（x）在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2），＋∞))上單調(diào)遞增．5．函數(shù)y＝x＋lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．（－∞，－1)，(0,＋∞）B．(－∞,－1)，(1，＋∞)C．(－1,0)D．（－1，1)[答案］A［解析］令f′(x）＝1＋eq\f（1，x）＝eq\f(x＋1,x）〉0.得x>0或x<－1。6．下列函數(shù)中在區(qū)間（－1，1)上是減函數(shù)的是（)A．y＝2－3x2B．y＝lnxC．y＝eq\f（1，x－2)D．y＝sinx［答案]C［解析］對于函數(shù)y＝eq\f（1，x－2)，其導(dǎo)數(shù)y′＝eq\f(－1，（x－2)2）<0,且函數(shù)在區(qū)間(－1，1）上有意義，所以函數(shù)y＝eq\f（1，x－2)在區(qū)間（－1，1)上是減函數(shù)，其余選項(xiàng)都不符合要求，故選C。7．（2009·湖南文，7)若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖象可能是()［答案]A［解析］考查導(dǎo)函數(shù)的基本概念及導(dǎo)數(shù)的幾何意義．∵導(dǎo)函數(shù)f′(x）是增函數(shù),∴切線的斜率隨著切點(diǎn)橫坐標(biāo)的增大逐漸增大，故選A.［說明]B圖中切線斜率逐漸減小，C圖中f′（x）為常數(shù)，D圖中切線斜率先增大后減?。?．給出下列結(jié)論：①單調(diào)增函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)增函數(shù)；②單調(diào)減函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)減函數(shù);③單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)；④導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)的，則原函數(shù)也是單調(diào)的．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．0B．2C．3D．4［答案]A[解析］舉反例的方法：如函數(shù)y＝x是單調(diào)增函數(shù)，但其導(dǎo)函數(shù)y′＝1不具有單調(diào)性，排除①③，如函數(shù)y＝－x是單調(diào)減函數(shù)，但其導(dǎo)函數(shù)y′＝－1不具有單調(diào)性,排除②，再如函數(shù)y＝x2，其導(dǎo)函數(shù)y′＝2x是單調(diào)的，但原函數(shù)不具有單調(diào)性，排除④。9．設(shè)函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y＝f(x）的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象可能為（）[答案］D[解析］函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)增,則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x）在區(qū)間(－∞，0）上函數(shù)值為正,排除A、C，原函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間（0，＋∞）上先增再減，最后再增，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x)在區(qū)間（0，＋∞)上函數(shù)值先正、再負(fù)、再正，排除B，故選D。10．如果函數(shù)f（x）＝2x3＋ax2＋1在區(qū)間(－∞，0）和(2，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的值為()A．1 B．2C．－6 D．－12［答案］C［解析]f′（x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0,當(dāng)a>0時(shí)，解得－eq\f（a,3）<x<0，不合題意；當(dāng)a〈0時(shí),解得0〈x〈－eq\f（a，3)，由題意，－eq\f(a,3)＝2，∴a＝－6。二、填空題11．函數(shù)y＝x3＋x2－5x－5的單調(diào)遞增區(qū)間是________．[答案](－∞，－eq\f（5,3)），(1，＋∞）[解析］令y′＝3x2＋2x－5〉0，得x〈－eq\f(5,3)或x>1.12．若函數(shù)y＝x3－ax2＋4在(0,2）內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．[答案]［3，＋∞)[解析]y′＝3x2－2ax，由題意知3x2－2ax≤0在區(qū)間（0，2)內(nèi)恒成立，即a≥eq\f（3，2)x在區(qū)間（0，2)上恒成立，∴a≥3。13．函數(shù)f(x)＝xlnx（x＞0)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．［答案]［eq\f（1,e)，＋∞）[解析］∵f′（x)＝（xlnx）′＝lnx＋1，令f′（x)〉0,即lnx〉－1,∴x>eq\f(1，e).∴增區(qū)間為［eq\f（1，e)，＋∞）．14．三次函數(shù)f(x)＝ax3＋x在(－∞，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．[答案]a>0[解析］f(x)＝3ax2＋1,由條件知3ax2＋1≥0在R上恒成立，且a≠0,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉0，，Δ<0,)）解得a>0.三、解答題15．求函數(shù)f（x）＝eq\f（1，3）x3＋eq\f(1，2）x2－6x的單調(diào)區(qū)間．[解析]∵f′(x)＝x2＋x－6＝(x＋3)（x－2),令f′(x)>0得，x〉2或x<－3?！嗪瘮?shù)f(x）在（2，＋∞）和（－∞，－3)上是增函數(shù)，令f′(x)<0,得－3<x〈2，∴函數(shù)f（x）＝eq\f（1，3)x3＋eq\f(1,2）x2－6x的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－3）和(2,＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－3,2）．16．已知函數(shù)f（x)＝x3＋ax＋8的單調(diào)遞減區(qū)間為(－5，5），求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間．[證明]f′(x）＝3x2＋a。∵（－5，5）是函數(shù)y＝f(x）的單調(diào)遞減區(qū)間,則－5、5是方程3x2＋a＝0的根，∴a＝－75.此時(shí)f′（x）＝3x2－75.令f′（x）>0，則3x2－75>0.解得x>5或x〈－5.∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，－5)和(5，＋∞）．17．已知:x＞0,求證：x＞sinx。［證明]設(shè)f（x)＝x－sinx（x＞0），f′(x)＝1－cosx≥0對x∈(0，＋∞）恒成立．∴函數(shù)f(x）＝x－sinx在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．又f(0)＝0∴f(x)＞0對x∈(0，＋∞）恒成立．即:x＞sinx（x＞0)．18．(2009·北京）設(shè)函數(shù)f(x）＝xekx(k≠0)．(1)求曲線y＝f(x）在點(diǎn)（0，f(0)）處的切線方程；(2）求函數(shù)f(x）的單調(diào)區(qū)間;（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(－1,1）內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍．[解析］（1）f′(x)＝（1＋kx）ekx，f′（0）＝1,f（0）＝0，曲線y＝f（x)在點(diǎn)（0，f（0))處的切線方程為y＝x.(2）由f′(x）＝（1＋kx)ekx＝0得x＝－eq\f(1,k）(k≠0）．若k〉0，則當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－∞,－\f（1，k）））時(shí)，f′(x）<0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1,k)，＋∞））時(shí)，f′（x）〉0，函數(shù)f（x)單調(diào)遞增．若k<0,則當(dāng)x∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1，k））)時(shí),f′（x）>0，函數(shù)f（x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1，k）