新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章統(tǒng)計(jì)4用樣本估計(jì)總體數(shù)字特征4.1樣本的數(shù)字特征課件北師大版必修第一冊

4.1

樣本的數(shù)字特征自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.通過實(shí)例了解樣本的數(shù)字特征.2.理解樣本的數(shù)字特征從不同角度反映數(shù)據(jù)特點(diǎn).3.會求樣本的有關(guān)數(shù)字特征.4.體會數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的過程,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的學(xué)科素養(yǎng).

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、樣本的數(shù)字特征【問題思考】1.在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的知識,利用已有知識,回答下列問題:(1)如果5個數(shù)x1,x2,x3,x4,x5的平均數(shù)為7,那么x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1這5個數(shù)的平均數(shù)是多少?(2)一組數(shù)據(jù)12,15,24,25,31,31,31,36,36,37,39,44,49,50的中位數(shù)是多少?眾數(shù)是多少?2.(1)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).平均數(shù)是指這組數(shù)據(jù)的平均值.一般地,將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后,“中間”的那個數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù),它使數(shù)據(jù)被分成的兩部分的數(shù)據(jù)量是一樣的.眾數(shù)是指這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).在統(tǒng)計(jì)中,平均數(shù)是最常用的量.但有時候,如數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)特別大或特別小時,用中位數(shù)會更合理.(2)極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.極差和方差都刻畫數(shù)據(jù)的離散程度.極差是數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差,它計(jì)算簡單,但沒有充分利用其他數(shù)據(jù).方差刻畫的是數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度,由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方,而刻畫離散程度的一種理想度量應(yīng)當(dāng)具有與原始數(shù)據(jù)相同的單位.為此,計(jì)算方差的算術(shù)平方根,得

,稱之為標(biāo)準(zhǔn)差.3.(1)中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個數(shù)嗎?(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個?中位數(shù)是否也具有相同的結(jié)論?提示:(1)不一定.一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,如果有奇數(shù)個數(shù)據(jù),處于中間位置的數(shù)據(jù)就是中位數(shù);如果有偶數(shù)個數(shù)據(jù),則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)才是中位數(shù).(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個,也可能有多個,中位數(shù)只有唯一一個.4.(1)某射擊小組有20人,教練將他們某次射擊的數(shù)據(jù)繪制成表,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是(

).環(huán)數(shù)5678910人數(shù)127631A.7,7 B.8,7.5

C.7,7.5 D.8,6(2)某校一名籃球運(yùn)動員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)分別為8,9,10,13,15,則該運(yùn)動員在這五場比賽中得分的平均值為

,方差為

,標(biāo)準(zhǔn)差為

.

解析:(1)從題中表格數(shù)據(jù)可知7環(huán)有7人,人數(shù)最多,所以眾數(shù)是7;中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列,第10個與第11個數(shù)據(jù)的平均數(shù),第10個數(shù)是7,第11個數(shù)是8,二、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)【問題思考】1.分析數(shù)據(jù)一般從哪幾個角度分析?提示:分析數(shù)據(jù)一般從平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個方面進(jìn)行分析.2.如何根據(jù)問題的實(shí)際背景選擇不同的決策?提示:根據(jù)問題的實(shí)際背景,利用數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,可以幫助人們進(jìn)行決策,從而真正發(fā)揮數(shù)據(jù)分析的作用.值得注意的是,不同的標(biāo)準(zhǔn)沒有對和錯的問題,也不存在所謂唯一解的問題,而是根據(jù)需要來選擇“好”的決策,而至于決策的好壞,是根據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的.三、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【問題思考】1.用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征時,如何更好地反映總體信息?提示:如果抽樣的方法比較合理,那么樣本可以很好地反映總體的信息.雖然從樣本數(shù)據(jù)得到的數(shù)字特征并不是總體真正的數(shù)字特征,只是總體數(shù)字特征的一個估計(jì),但這種估計(jì)是合理的.樣本容量越大,樣本所包含的總體信息就越多,估計(jì)的合理性就越充分.2.從甲、乙兩種玉米苗中各抽10株,分別測得它們的株高(單位:cm)如下:甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42;乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.問:(1)哪種玉米苗長得高?(2)哪種玉米苗長得齊?【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)可能相等.(

√

)(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定唯一.(

√

)(3)方差或標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的離散程度,方差越小,數(shù)據(jù)越集中,方差越大,數(shù)據(jù)越分散.(

√

)(4)方差和標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(

×

)(5)數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)減去同一個非零常數(shù)所得的數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變,但方差不變.(

√

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應(yīng)用【例1】

某公司33名職工的月工資(單位:元)情況如表:職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資30000200001500010000800060004500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)(精確到元).(2)如果副董事長的工資從20000元提升到30000元,董事長的工資從30000元提升到50000元,那么新數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是多少(精確到元)?(3)你認(rèn)為哪個數(shù)字特征能更好地反映這個公司職工的工資水平?結(jié)合此問題談一談你的看法.解:(1)平均數(shù)

=(30

000+20

000+15

000×2+10

000+8

000×5+6

000×3+4

500×20)÷33≈7

212(元);中位數(shù):4

500元;眾數(shù):4

500元.(2)提升后的平均數(shù)

'=(50

000+30

000+15

000×2+10

000+8

000×5+6

000×3+4

500×20)÷33≈8

121(元);中位數(shù):4

500元;眾數(shù):4

500元.(3)在這個問題中,中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平.因?yàn)楣局猩贁?shù)人的月工資與大多數(shù)人的月工資差別較大,這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大,所以平均數(shù)不能很好地反映這個公司員工的工資水平.1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是刻畫數(shù)據(jù)特征的,但任何一個樣本數(shù)據(jù)改變都會引起平均數(shù)的改變,而眾數(shù)、中位數(shù)不具有這個性質(zhì),所以平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,它是樣本數(shù)據(jù)的重心.2.在樣本中出現(xiàn)極端值的情況下,眾數(shù)、中位數(shù)能更好地反映樣本數(shù)據(jù)的平均水平.【變式訓(xùn)練1】

高一(3)班有男同學(xué)27名,女同學(xué)21名,在一次語文測驗(yàn)中,男同學(xué)的平均分是82分,中位數(shù)是75分,女同學(xué)的平均分是80分,中位數(shù)是80分.(1)求這次測驗(yàn)全班的平均分(精確到0.01);(2)估計(jì)全班成績在80分以下(含80分)的同學(xué)至少有多少人;(3)分析男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因.解:(1)利用平均數(shù)計(jì)算公式得(2)因?yàn)槟型瑢W(xué)成績的中位數(shù)是75分,所以至少有14人得分不超過75分.又因?yàn)榕瑢W(xué)成績的中位數(shù)是80分,所以至少有11人得分不超過80分.所以估計(jì)全班至少有25人得分在80分以下(含80分).(3)男同學(xué)的平均分與中位數(shù)相差較大,說明男同學(xué)的成績兩極分化現(xiàn)象嚴(yán)重,有些男同學(xué)得分較高,同時也有一半左右的男同學(xué)(至少14人)得分不超過75分.

探究二

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的聯(lián)系【例2】

某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖.求:(1)這次測試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù);(2)這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)(精確到0.1).(2)由題圖知,設(shè)中位數(shù)為x,由于前三個小矩形面積之和為0.4,第四個小矩形面積為0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位數(shù)位于第四個小矩形內(nèi),得0.1=0.030(x-70),解得x≈73.3.故這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為73.3分.1.若本例的條件不變,求數(shù)學(xué)成績的平均分.2.若本例條件不變,求抽出的80名學(xué)生中80分以下的人數(shù).解:數(shù)學(xué)成績在區(qū)間[40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.015+0.020+0.030)×10=0.7,故抽出的80名學(xué)生中80分以下的人數(shù)為80×0.7=56.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的聯(lián)系(1)眾數(shù):眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中,就是最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù):在樣本中,有50%的個體大于或等于中位數(shù),因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可計(jì)算中位數(shù)的值.(3)平均數(shù):根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)時,平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以每個小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【變式訓(xùn)練2】

某中學(xué)舉行電腦知識競賽,現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組繪制成頻率分布直方圖,如圖.求:(1)高一參賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù);(2)高一參賽學(xué)生的平均成績.設(shè)中位數(shù)為x,由于第一個小矩形的面積為0.3,第二個小矩形的面積為0.4,0.3+0.4>0.5,因此中位數(shù)位于第二個小矩形內(nèi),則0.2=0.040(x-60),得x=65,∴中位數(shù)為65分.(2)依題意,得高一參賽學(xué)生的平均成績?yōu)?5×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67(分).探究三

用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征【例3】

甲、乙兩臺機(jī)床同時加工直徑為100mm的零件,為了檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量,從兩臺機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取6件進(jìn)行測量,測得數(shù)據(jù)(單位:mm)如下:甲:99,100,98,100,100,103;乙:99,100,102,99,100,100.(1)分別計(jì)算上述兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差;(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,說明哪一臺機(jī)床加工的這種零件更符合要求.分析:利用平均數(shù)與方差公式分別進(jìn)行計(jì)算,并作出判斷.平均數(shù)描述了數(shù)據(jù)的平均水平,定量地反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢所處的水平.方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.方差越大,表明數(shù)據(jù)越分散,相反,方差越小,表明數(shù)據(jù)越集中、穩(wěn)定.【變式訓(xùn)練3】

為了選拔一名同學(xué)參加全市中學(xué)生射擊競賽,某校對甲、乙兩名同學(xué)的射擊水平進(jìn)行了測試,兩人在相同條件下各射靶10次,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:(2)比較甲、乙兩名同學(xué)的射擊水平,誰的成績更穩(wěn)定一些?你認(rèn)為學(xué)校派誰參加競賽更合適?易

錯

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析因方差、標(biāo)準(zhǔn)差混淆而致誤【典例】

從某項(xiàng)綜合能力測試中抽取100人的成績,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示,則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為

.

以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解中求的是方差,而不是標(biāo)準(zhǔn)差.1.理解方差的加權(quán)形式的計(jì)算公式.2.注意方差和標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系,審清題意.隨

堂

練

習(xí)1.(多選題)下列對一組數(shù)據(jù)的分析,說法正確的是(

).A.數(shù)據(jù)極差越小,樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定B.數(shù)據(jù)平均數(shù)越小,樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定C.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差越小,樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定D.數(shù)據(jù)方差越小,樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定解析:極差反映了最大值與最小值差的情況,極差越小,數(shù)據(jù)越集中.方差、標(biāo)準(zhǔn)差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量,方差、標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大,即波動越大,數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)據(jù)波動較小,穩(wěn)定程度較高.平均數(shù)小,說明數(shù)據(jù)整體上偏小,不能反映數(shù)據(jù)穩(wěn)定與否.故選ACD.答案:ACD答案:D3.一樣本的頻率分布直方圖如圖所示,則由圖形中的數(shù)據(jù),可以得出眾數(shù)與中位數(shù)分別是(

).

A.12.5,12.5 B.12.5,13C.13,12.5 D.13,13解析:眾數(shù)是頻率分