2024屆新教材二輪復(fù)習(xí) 　列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn) 學(xué)案

2024屆新教材二輪復(fù)習(xí)列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)案素養(yǎng)導(dǎo)引1.了解2×2列聯(lián)表、隨機(jī)變量χ2的意義.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)中P(χ2≥xα)的具體含義.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟.(數(shù)據(jù)分析)4.通過(guò)典型案例,學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)方法,并能用這些方法解決一些實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析)一、分類變量與列聯(lián)表1.分類變量(1)用于區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的隨機(jī)變量;(2)分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示;(3)主要討論取值于{0,1}的分類變量.2.列聯(lián)表(1)列聯(lián)表由兩個(gè)及兩個(gè)以上的分類變量進(jìn)行交叉分類的頻數(shù)分布表;(2)2×2列聯(lián)表兩個(gè)分類變量的列聯(lián)表,且每個(gè)變量只取兩個(gè)值項(xiàng)目Y=0Y=1合計(jì)X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d思考舉例說(shuō)明,分類變量是否一定只有兩個(gè)取值?提示:不一定.例如,數(shù)學(xué)考試等級(jí)是分類變量,取優(yōu)、良、中等、及格、不及格五個(gè)值.二、獨(dú)立性檢驗(yàn)1.零假設(shè)(1)古典概型的樣本空間為Ω,設(shè)X和Y為定義在Ω上,取值于{0,1}的成對(duì)分類變量.判斷假定關(guān)系H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè).(2)改述:H0:分類變量X和Y獨(dú)立.2.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)χ2公式χ2=n((2)臨界值對(duì)于任何小概率值α,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα,使P(χ2≥xα)=α成立,則稱xα為α的臨界值;(3)χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是:當(dāng)χ2≥xα?xí)r,我們就推斷H0不成立,即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立,該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α;當(dāng)χ2<xα?xí)r,我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【批注】樣本容量n=a+b+c+d越大,精度越高,且通常要求a,b,c,d都不小于5.【教材深化】1.用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法.先假設(shè)“兩個(gè)分類變量獨(dú)立”成立,計(jì)算隨機(jī)變量χ2的值,如果χ2值很大,說(shuō)明假設(shè)不合理.χ2越大,兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性越大.2.獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法的異同點(diǎn)(1)兩者都是先假設(shè)結(jié)論不成立,然后根據(jù)是否能夠推出“矛盾”來(lái)斷定結(jié)論是否成立.(2)但二者“矛盾”的含義不同,反證法中的“矛盾”是指一種不符合邏輯事情的發(fā)生;而獨(dú)立性檢驗(yàn)中的“矛盾”是指一種不符合邏輯的小概率事件的發(fā)生,即在結(jié)論不成立的假設(shè)下,推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)生.[診斷]1.辨析記憶(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)的第一步是提出零假設(shè)H0:X和Y有關(guān). (×)提示:×.提出零假設(shè)H0:X和Y獨(dú)立,即X和Y無(wú)關(guān).(2)χ2越小,獨(dú)立性越強(qiáng),相關(guān)性越弱. (√)(3)χ2越大,獨(dú)立性越弱,相關(guān)性越強(qiáng). (√)(4)列聯(lián)表頻率分析法可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系,而獨(dú)立性檢驗(yàn)中χ2取值則可通過(guò)統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說(shuō)明兩分類變量的相關(guān)性的大小. (√)2.(材料改編題)在一項(xiàng)中學(xué)生近視情況的調(diào)查中,某校男生150名中有80名近視,女生140名中有70名近視,在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說(shuō)服力 ()A.平均數(shù)與方差 B.回歸分析C.獨(dú)立性檢驗(yàn) D.概率【解析】選C.判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)的最有說(shuō)服力的方法是進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn).3.如表是一個(gè)2×2列聯(lián)表,則表中a,b的值分別為 ()項(xiàng)目y1y2合計(jì)x1a2173x2222547合計(jì)b46120A.94,72 B.52,50C.52,74 D.74,52【解析】選C.a=73-21=52,b=a+22=52+22=74.學(xué)習(xí)任務(wù)一列聯(lián)表與等高堆積條形圖(數(shù)據(jù)分析)【典例1】某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生做了一項(xiàng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):在平時(shí)的模擬考試中,性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張,性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),作出考前心情與性格的列聯(lián)表,并求出性格外向的學(xué)生考前心情緊張的概率.(2)作出等高堆積條形圖,利用圖形判斷考前心情緊張與性格是否有關(guān)系.【解析】(1)作列聯(lián)表如下:項(xiàng)目性格內(nèi)向性格外向合計(jì)考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475合計(jì)4265941020由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可得,性格外向的學(xué)生考前心情緊張的概率為213594=71(2)相應(yīng)的等高堆積條形圖如圖所示:圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)所占的比例,從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高,可以認(rèn)為考前心情緊張與性格有關(guān).【思維提升】1.利用2×2列聯(lián)表分析兩分類變量間關(guān)系的步驟(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表;(2)根據(jù)頻率特征,將aa+b與cc+d(或ba2.利用等高堆積條形圖判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟【即學(xué)即練】在調(diào)查的480名男性中有38名患有色盲,520名女性中有6名患有色盲,請(qǐng)根據(jù)題目的條件列出2×2列聯(lián)表并由列聯(lián)表估計(jì)色盲與性別是否有關(guān).【解析】根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)列出如下列聯(lián)表:項(xiàng)目色盲不色盲合計(jì)男38442480女6514520合計(jì)449561000因?yàn)?838+442=38480=19240,66+514=顯然19240>3260,且兩個(gè)比例的值相差較大,學(xué)習(xí)任務(wù)二獨(dú)立性檢驗(yàn)(數(shù)據(jù)分析)【典例2】某美食街共有20多家餐飲單位進(jìn)駐,為維護(hù)市場(chǎng)價(jià)格秩序,營(yíng)造公平競(jìng)爭(zhēng)良好環(huán)境,市場(chǎng)監(jiān)管部門到美食街舉辦餐飲明碼標(biāo)價(jià)現(xiàn)場(chǎng)指導(dǎo)會(huì).現(xiàn)針對(duì)明碼標(biāo)價(jià)指導(dǎo)會(huì)前、會(huì)后游客滿意度進(jìn)行問(wèn)卷回訪調(diào)查,統(tǒng)計(jì)了100名游客的數(shù)據(jù),列出如下2×2列聯(lián)表:對(duì)餐飲價(jià)格是否滿意明碼標(biāo)價(jià)指導(dǎo)會(huì)前明碼標(biāo)價(jià)指導(dǎo)會(huì)后合計(jì)滿意285785不滿意12315合計(jì)4060100請(qǐng)根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),判斷游客對(duì)美食街餐飲價(jià)格滿意度與市場(chǎng)監(jiān)管部門舉辦餐飲明碼標(biāo)價(jià)現(xiàn)場(chǎng)指導(dǎo)會(huì)是否有關(guān)聯(lián).【解析】零假設(shè)為H0:游客對(duì)美食街餐飲價(jià)格滿意度與市場(chǎng)監(jiān)管部門舉辦餐飲明碼標(biāo)價(jià)現(xiàn)場(chǎng)指導(dǎo)會(huì)之間無(wú)關(guān)聯(lián),根據(jù)題中列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到χ2=100(28×3-12×57)240×60×85×15≈11.765>10根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為游客對(duì)美食街餐飲價(jià)格滿意度與市場(chǎng)監(jiān)管部門舉辦餐飲明碼標(biāo)價(jià)現(xiàn)場(chǎng)指導(dǎo)會(huì)之間有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.【思維提升】獨(dú)立性檢驗(yàn)的關(guān)注點(diǎn)(1)步驟:列表、計(jì)算、判斷;(2)注意:①χ2計(jì)算公式較復(fù)雜,一是公式要清楚;二是代入數(shù)值時(shí)不能張冠李戴;三是計(jì)算時(shí)要細(xì)心;②判斷時(shí)把計(jì)算結(jié)果與臨界值比較,其值越大,有關(guān)的可信度越高.提醒:小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生,在零假設(shè)成立的條件下,若一個(gè)不利于零假設(shè)的小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生了,則有理由拒絕零假設(shè).【即學(xué)即練】人們?cè)?jīng)相信,藝術(shù)家將是最后被AI所取代的職業(yè),但技術(shù)的進(jìn)步已經(jīng)將這一信念敲出了裂痕,這可能是AI第一次引起人類的恐慌.由NovelAI,DALL-E2等軟件創(chuàng)作出來(lái)的繪畫作品風(fēng)格各異,乍看之下,已與人類繪畫作品無(wú)異,AI會(huì)取代人類畫師嗎?某機(jī)構(gòu)隨機(jī)對(duì)60人進(jìn)行了一次調(diào)查,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)認(rèn)為會(huì)取代的有42人,30歲以下認(rèn)為不會(huì)取代的有12人,占30歲以下被調(diào)查人數(shù)的25(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表:年齡理解情況合計(jì)會(huì)取代不會(huì)取代30歲以下1230歲及以上合計(jì)4260(2)依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為年齡與理解情況有關(guān)?并說(shuō)明原因.【解析】(1)完成2×2列聯(lián)表如下:年齡理解情況合計(jì)會(huì)取代