定積分及其應(yīng)用練習(xí)-帶詳細(xì)答案

定積分及其應(yīng)用題一題面：求由曲線與軸，直線所圍成的平面圖形的面積．答案：．變式訓(xùn)練一題面：函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2－2≤x<0，,2cosx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,2)))))的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(5,2)B．2C．3D．4答案：D.詳解：畫出分段函數(shù)的圖象，如下圖，那么該圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為eq\f(1,2)×2×2＋∫eq\f(π,2)02cosxdx＝2＋2sinxeq\a\vs4\al(|\f(π,2)0)＝4.變式訓(xùn)練二題面：由直線y＝2x及曲線y＝3－x2圍成的封閉圖形的面積為()A．2eq\r(3) B．9－2eq\r(3)C.eq\f(35,3) D.eq\f(32,3)答案：詳解：注意到直線y＝2x與曲線y＝3－x2的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(－3，－6)，(1,2)，因此結(jié)合圖形可知，由直線y＝2x與曲線y＝3－x2圍成的封閉圖形的面積為eq\i\in(－3,1,)(3－x2－2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,3)x3－x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,－3))＝3×1－eq\f(1,3)×13－12－eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(3×－3－\f(1,3)×－33))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(－－32)))＝eq\f(32,3)，選D.題二題面：如下圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P恰好取自陰影局部的概率為()．A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,7)變式訓(xùn)練一題面：函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的局部圖象如下圖，其中，P為圖象與y軸的交點(diǎn)，A，C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn)．假設(shè)在曲線段eq\x\to(ABC)與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為________．答案：eq\f(π,4).詳解：設(shè)A(x0,0)，那么ωx0＋φ＝eq\f(π,2)，∴x0＝eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω).又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期為eq\f(2π,ω)，∴|AC|＝eq\f(π,ω)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,ω)，0)).依題意曲線段eq\x\to(ABC)與x軸圍成的面積為S＝－∫eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)ωcos(ωx＋φ)dx＝2.∵|AC|＝eq\f(π,ω)，|yB|＝ω，∴S△ABC＝eq\f(π,2).∴滿足條件的概率為eq\f(π,4).變式訓(xùn)練二題面：〔2023?福建〕如下圖，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P恰好取自陰影局部的概率為〔〕A．B．C．D．答案：C.詳解：根據(jù)題意，正方形OABC的面積為1×1=1，而陰影局部由函數(shù)y=x與y=圍成，其面積為∫01〔﹣x〕dx=〔﹣〕|01=，那么正方形OABC中任取一點(diǎn)P，點(diǎn)P取自陰影局部的概率為=；應(yīng)選C．金題精講題一題面：〔識圖求積分，二星〕二次函數(shù)y＝f(x)的圖象如下圖，那么它與x軸所圍圖形的面積為()．A．eq\f(2π,5)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(π,2)答案：變式訓(xùn)練一題面：如圖求由兩條曲線y＝－x2，y＝－eq\f(1,4)x2及直線y＝－1所圍成的圖形的面積．答案：eq\f(4,3).詳解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,y＝－1，))得交點(diǎn)A(－1，－1)，B(1，－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x2，,y＝－1，))得交點(diǎn)C(－2，－1)，D(2，－1)．∴所求面積S＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(∫\o\al(1,0)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x2＋x2))dx＋\i\in(1,2,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x2＋1))dx))＝eq\f(4,3).變式訓(xùn)練二題面：例1求在上，由軸及正弦曲線圍成的圖形的面積.答案：4.詳解：y作出在上的圖象如右yЛ0x與軸交于0、、，所Л0x2Л求積2Л題二題面：〔作圖求積分，四星〕求曲線與曲線所圍成的圖形的面積．交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，．變式訓(xùn)練一題面：求曲線，及所圍成的平面圖形的面積.答案：.詳解：y=x2y=2xy作出，及的圖如右y=x2y=2xyB(2,4)解方程組得B(2,4)A(1,1)y=x21xo解方程組得A(1,1)y=x21xo所求面積答：此平面圖形的面積為變式訓(xùn)練二題面：求由拋物線與直線及所圍成圖形的面積.答案：.詳解：y作出及的圖形如右：y6解方程組得6x解方程組得x62O所求圖形的面積62O題三題面：〔1〕由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為_______．〔2〕由曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為_______．答案：〔1〕；〔2〕．變式訓(xùn)練一題面：設(shè)f〔x〕=，函數(shù)圖象與x軸圍成封閉區(qū)域的面積為〔〕A．B．C．D．答案：C.詳解：根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：根據(jù)定積分，得所圍成的封閉區(qū)域的面積S=應(yīng)選C變式訓(xùn)練二題面：函數(shù)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為〔〕A．1/2B．1C．2D．3/2答案：D.詳解：由題意圖象與x軸所圍成圖形的面積為.應(yīng)選D．題四題面：〔導(dǎo)數(shù)與積分結(jié)合，二星〕設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，那么的值等于______．答案：．變式訓(xùn)練一題面：設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，那么eq\i\in(1,2,)f(－x)dx的值等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,6)答案：A.詳解：由于f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是∫eq\o\al(2,1)f(－x)dx＝∫eq\o\al(2,1)(x2－x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,2)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2,1))＝eq\f(5,6).變式訓(xùn)練二題面：設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，那么eq\i\in(1,2,)f(－x)dx的值等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)答案：A.詳解：由于f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是eq\i\in(1,2,)f(－x)dx＝eq\i\in(1,2,)(x2－x)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,2)x2))))eq\o\al(2,1)＝eq\f(5,6).題五題面：〔化簡后求積分，四星〕〔1〕求〔2〕變式訓(xùn)練一題面：與定積分∫eq\o\al(3π,0)eq\r(1－cosx)dx相等的是()A.eq\r(2)∫eq\o\al(3π,0)sineq\f(x,2)dxB.eq\r(2)∫eq\o\al(3π,0)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))dxC.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(2))\a\vs4\al(∫\o\al(3π,0)sin\f(x,2)dx)))D．以上結(jié)論都不對答案：B.詳解：∵1－cosx＝2sin2eq\f(x,2)，∴∫eq\o\al(3π,0)eq\r(1－cosx)dx＝∫eq\o\al(3π,0)eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))dx＝eq\r(2)∫eq\o\al(3π,0)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)))dx.變式訓(xùn)練二題面：________.答案：eq\f(\r(2),2).詳解：因?yàn)閟inxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),0))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，所以∫eq\f(π,4)0cosxdx＝eq\f(\r(2),2).題六題面：〔定積分的運(yùn)用，三星〕函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的局部圖象如下圖，其中，P為圖象與y軸的交點(diǎn)，A，C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，B為圖象的最低點(diǎn)．(1)假設(shè)φ＝eq\f(π,6)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(3),2)))，那么ω＝________；(2)假設(shè)在曲線段eq\x\to(ABC)與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為________．[解析](1)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)求導(dǎo)得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把φ＝eq\f(π,6)和點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(3),2)))代入得ωcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(π,6)))＝eq\f(3\r(3),2)解得ω＝3．(2)取特殊情況，在(1)的條件下，導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,6)))，求得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,9)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,18)，－3))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,9)，0))，故△ABC的面積為S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(3π,9)×3＝eq\f(π,2)，曲線段與x軸所圍成的區(qū)域的面積S＝－eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(fx\o(\s\up7(),\s\do5())))eq\f(4π,9)eq\f(π,9)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,9)＋\f(π,6)))＝2，所以該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為P＝eq\f(S△ABC,S)＝eq\f(π,4).同類題一題面：設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′(x)＝2x－2.(1)求y＝f(x)的表達(dá)式；(2)求y＝f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積．答案：(1)f(x)＝x2－2x＋1.(2)eq\f(1,3).詳解：(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，那么f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.又方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，所以Δ＝4－4c＝0，即c＝故f(x)＝x2－2x＋1.(2)依題意，所求面積為S＝eq\i\in(0,1,)(x2－2x＋1)dx＝(eq\f(1,3)x3－x2＋x)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3).同類題二題面：設(shè)y=f〔x〕是二次函數(shù),方程f〔x〕=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且f′〔x〕=2x+2.〔1〕求y=f〔x〕的表達(dá)式；〔2〕求y=f〔x〕的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積.〔2〕假設(shè)直線x=－t〔0＜t＜1＝把y=f〔x〕的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值.答案：〔1〕f〔x〕=x2+2x+1.〔2〕.〔3〕t=1－.詳解：〔1〕設(shè)f〔x〕=ax2+bx+c，那么f′〔x〕=2ax+b，又f′〔x〕=2x+2∴a=1，b=2.∴f〔x〕=x2+2x+c又方程f〔x〕=0有兩個(gè)相等實(shí)根，∴判別式Δ=4－4c=0，即c故f〔x〕=x2+2x+1.〔2〕依題意，有所求面積=.〔3〕依題意，有，∴，－t3+t2－t+=t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，∴2〔t－1〕3=－1，于是t=1－.思