北京四中2020年中考數(shù)學(xué)4月模擬試卷 (解析版)

北京四中2020年中考數(shù)學(xué)4月模擬試卷

一、選擇題（本題共16分?每小題2分）

1.截至2020年3月9日24時，湖北全省累計治愈出院47585例，其中：武漢市31829例。將31829用科

學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.31.829xl04B.3.1829x104C.0.31829xl05D.3.1829x10s

2.下列四個圖形是四所醫(yī)科大學(xué)的?；?，其中校徽內(nèi)部圖案（不含文字）是軸對稱圖形的是（）

A.

3.用配方法解方程xJ4x-l=0,方程應(yīng)變形為（

A.僅+2尸=3B.(x+2)z=5D.(x-2尸=5

4.下列選項中，左邊的平面圖形能夠折成右邊封閉的立體圖形的是（）

A.3B.-36

6.如圖，AB為。。的直徑，點C在。。上，若NACO=50。，則NB的度數(shù)為（

A.60°B.50°C.40°

7.如圖，數(shù)軸上A,B兩點所表示的數(shù)互為倒數(shù)，則關(guān)于原點的說法正確的是（）

B

A.一定在點A的左側(cè)B.一定與線段AB的中點重合

C.可能在點B的右側(cè)D.一定與點A或點B重合

8.如圖1,長、寬均為3,高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6,繞底面一

棱進行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時的示意圖，則圖2中水面高度為（）

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.分解因式：a2b+4ab+4b=。

10.如圖，AB、CD相交于。點，△AOC-ABOD,OC：OD=1：2,AC=5,則BD的長為

11.中國人民銀行近期下發(fā)通知，決定自2019年4月30日停止兌換第四套人民幣中菊花1角硬幣。如圖所

示，則該硬幣邊緣鐫刻的正多邊形的外角的度數(shù)為________?

12.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則NPAB+NPBA=。(點A,B,P是格點)。

13.如圖，矩形ABCD,NBAC=60。，以點A為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB、AC于點M、N兩點，

再分別以點M、N為圓心，以大于：MN的長為半徑作弧交于點P,作射線AP交BC于點E,若BE=1,則

矩形ABCD的面積等于。

14.如圖，A(l,1),B(2,2),雙曲線y=:與線段AB有公共點，則k的取值范圍是

，/

15.小天想要計算一組數(shù)據(jù)92,90,94,86,99,85的方差sg在計算平均數(shù)的過程中，將這組數(shù)據(jù)中

的每一個數(shù)都減去90,得到一組新數(shù)據(jù)2,0,4,4,9,5。記這組新數(shù)據(jù)的方差為s彳，則s彳s

I?(填或"<")

16.在菱形ABCD中，M,N,P,Q分別為邊AB,BC,CD,DA上的點(不與端點重合)。對于任意菱形ABCD,

下面四個結(jié)論中，

①至少存在一個四邊形MNPQ是正方形；

②存在無數(shù)個四邊形MNPQ是矩形；

③存在無數(shù)個四邊形MNPQ是菱形；

④存在無數(shù)個四邊形MNPQ是平行四邊形。所有正確結(jié)論的序號是。

三、解答題(共12題；共68分)

17.計算：C)T-6tan30°-(V2-1)°+V12

3x+2<4%

18.解不等式組：｛一“

19.關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-(n-l)=0有兩個不相等的實數(shù)根。

(1)求n的取值范圍：

(2)若n為取值范圍內(nèi)的最小整數(shù)，求此方程的根。

20.如圖，在△ABC中，NACB=90°,D是BC邊上的一點，分別過點A、B作BD、AD的平行線交于點E,且

AB平分NEADo

(1)求證：四邊形EADB是菱形；

(2)連接EC,當(dāng)NBAC=60。，BC=2相時，求△ECB的面積。

21.直線h：y=kix+b過A(0,-3),B(5,2),直線L：y=k2X+2?

(1)求直線il的表達式；

(2)當(dāng)x24時，不等式kix+b>k2X+2恒成立，請寫出一個滿足題意的IQ的值。

22.如圖，直線y=2x與函數(shù)y=￡(x>0)的圖象交于點A(l,2)。

⑴求m的值；

(2)過點A作x軸的平行線I,直線y=2x+b與直線I交于點B,與函數(shù)y=?(x>0)的圖象交于點C,與x

軸交于點D?

①若點C是線段BD的中點時，則點C的坐標(biāo)是,b的值是:

②當(dāng)BOBD時，直接寫出b的取值范圍o

23.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，點。在AB上，BC=CD,過點C作。。的切線，分別交AB,AD的延長

線于點E,F。

(1)求證：AFJLEF；

(2)若cosA=|,BE=1,求AD的長。

24.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,NBAC=90。，點P為射線BA上一個動點，連接PC,點D在直線BC

上，且PD=PC。過點P作EP_LPC于點P,點D,E在直線AC的同側(cè)，且PE=PC,連接BE。請用等式表示

線段BE,BP,BC之間的數(shù)量關(guān)系。

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對線段BE,BP,BC的長度之間的關(guān)系進行了探究。下面是小明的探究過程。

請補充完整：

.

O123456xlcm

（1）對于點PC在射線BA上的不同位置，畫圖、測量，得到了線段BE,BP,BC的長度的幾組值，如下表:

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8

BC/cm2.832.832.832.832.832.832.832.83

BE/cm2.101.320.530.001.322.104.375.6

BP/cm0.521.071.632.002.923.485.095.97

在BE,BP,BC的長度這三個量中，確定的長度是自變量，的長度和的長度都

是這個自變量的函數(shù)，的長度是常量。

（2）在同~平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出⑴中所確定的函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：請用等式表示線段BE,BP,BC之間的數(shù)量關(guān)系。

25.為了推動全社會自覺尊法學(xué)法守法用法，促進全面依法治國，某區(qū)每年都舉辦普法知識競賽.該區(qū)某單

位甲、乙兩個部門各有員工200人，要在這兩個部門中挑選一個部門代表單位參加今年的競賽，為了解這

兩個部門員工對法律知識的掌握情況，進行了抽樣調(diào)查，從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工，進行

了法律知識測試，獲得了他們的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行整理、描述和分析。下面給出了部分信

息。

加贏分

a.甲部門成績的頻數(shù)分布直方圖如下

(數(shù)據(jù)分成6組：40<x<50,50<x<60,60<x<70,70<x<80,80<x<90,90<x<100)：

b.乙部門成績?nèi)缦拢?/p>

乙40527070717377788081

82828282838383869194

C.甲、乙兩部門成績的平均數(shù)、方差、中位數(shù)如下:

平均數(shù)方差中位數(shù)

甲79.636.8478.5

乙77147.2m

d.近五年該單位參賽員工進入復(fù)賽的出線成績?nèi)缦?/p>

2014年2015年2016年2017年2018年

出線成績(百分制)7981808182

根據(jù)以上信息，回答下列問題

(1)寫出表中m的值；

(2)可以推斷出選擇部門參賽更好，理由為。

(3)預(yù)估⑵中部門今年參賽進入復(fù)賽的人數(shù)為。

26.在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a(0<,<a<90"),點F,G,P分別是DE,BC,CD的

中點，連接PF,PGo

(1)如圖①，a=90°,點D在AB上，則NFPG=°

(2)如圖②，a=60。，點D不在AB上，判斷NFPG的度數(shù)，并證明你的結(jié)論；

(3)連接FG,若AB=5,AD=2,固定△ABC,將^ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PF的長最大時，F(xiàn)G的長為(用

含a的式子表示)。

27.拋物線y=-2x4mx+n經(jīng)過點A(0,2),B(3,-4)。

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式及對稱軸;

(2)設(shè)點B關(guān)于原點的對稱點為C,點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A,B之間的部分為圖象

G(包含A,B兩點)，如果直線CD與圖象G有兩個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求點D縱坐標(biāo)t的取值范圍。

28.對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和OM(半徑為r),給出如下定義：若點P關(guān)于點M的對稱點為Q,

且r<PQ<3r,則稱點P為0M的稱心點。

(1)當(dāng)。。的半徑為2時，

①如圖1,在點A(0,1),B(2,0),C(3,4)中，。。的稱心點是；

(2)0T的圓心為T(0,r),半徑為2,直線y=日x+1與x軸，y軸分別交于點E,F。若線段EF上的所有

點都是OT的稱心點，直接寫出t的取值范圍。

答案解析

一、選擇題(本題共16分?每小題2分)

1.【答案】B

【考點】科學(xué)記數(shù)法一表示絕對值較大的數(shù)

【解析】【解答】解：31829用科學(xué)記數(shù)法表示為3.1829x104

故答案為：B.

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的含義和性質(zhì)進行表示即可。

2.【答案】C

【考點】軸對稱的性質(zhì)，軸對稱圖形

【解析】【解答】解：C圖形為軸對稱圖形

故答案為：C.

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的含義進行判斷即可得到答案。

3.【答案】D

【考點】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解:x2-4x-l=0

x2-4x+4-l=4

(x-2)2=5.

故答案為：D.

【分析】由完全平方公式進行配方，得到方程即可。

4.【答案】B

【考點】幾何體的展開圖

【解析】【解答】解：A.四棱錐的展開圖有四個三角形，故A選項錯誤；

B.根據(jù)長方體的展開圖的特征，可得B選項正確；

C.正方體的展開圖中，不存在"田"字形，故C選項錯誤；

D.圓錐的展開圖中，有一個圓，故D選項錯誤.

故選：B.

【分析】根據(jù)立體圖形平面展開圖的特征進行判斷即可.

5.【答案】A

【考點】平方差公式及應(yīng)用

【解析】【解答】解：原式=0=￡史一匕曰=X+y

x-yx-y

y=-x+3

x+y=3

故答案為：A,

【分析】將代數(shù)式利用平方差公式進行化簡，由y=-x+3計算得到x+y的值，即可得到答案。

6.【答案】C

【考點】圓周角定理

【解析】【解答】解：：AB為。。的直徑,ZACB=90°.

ZACO=50",

ZBCO=90°-50°=40°.

OC=OB,

ZB=ZBCO=40°.

故選c.

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出NACB的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

7.【答案】C

【考點】數(shù)軸，倒數(shù)

【解析】【解答】解：】?數(shù)軸上A,B兩點所表示的數(shù)互為倒數(shù)，，A,B兩點所表示的數(shù)符號相同,

原點可能在點B的左側(cè)或右側(cè).

故選：C.

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可知A,B兩點所表示的數(shù)符號相同，依此求解即可.

8.【答案】A

【考點】勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：過點C作CF_LBG于點F,如圖所示

設(shè)DE=x,則AD=8-x

根據(jù)題意可知，|<8-%+89x3x3=3x3x6

x=4,即DE=4

ZE=90°

由勾股定理得，CD=y/DE2+CE2=V42+32=5

???ZBCE=ZDCF=90",

ZDCE=ZBCF

ZDEC=ZBFC=90°

CDE-△CBF

CE_CD

"'CF~CB

故答案為：A.

【分析】設(shè)DE為x,由梯形的面積公式計算得到DE的長度，根據(jù)勾股定理計算得到CD的長度，繼而可

以證明ACDE”&CBF,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到答案。

二、填空題(本題共16分，每小題2分)

9.【答案】b(a+2)2

【考點】提公因式法因式分解，因式分解-運用公式法

【解析】【解答】解：原式=b(a2+4a+4)=b(a+2)2

【分析】根據(jù)題意，利用提公因式法以及公式法進行因式分解即可。

10.【答案】x=10

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：丫△AOC-△BOD

,即三=-

BDODBD2

解得，BD=10

【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到BD的長度。

11.【答案】40°

【考點】多邊形內(nèi)角與外角

【解析】【解答】解：由題意可知，1角的硬幣為正9邊形

其外角的度數(shù)為360。29=40。

【分析】正多邊形的外角和為360。，根據(jù)多邊形的每個內(nèi)角相等，所以其每個外角也相等，求出答案即可。

12.【答案】45

【考點】三角形的外角性質(zhì)，勾股定理

【解析】【解答】解：延長AP交格點于點D,連接BD

PD2=BD2=l+22=5,PB2=l2+32=10

PD2+DB2=PB2

ZPDB=90°

ZDPB=NPAB+ZPBA=45°

【分析】延長AP交格點于點D,連接BD,根據(jù)勾股定理即可得到NPDB=90。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到

答案即可。

13.【答案】3V3

【考點】等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：??.四邊形ABCD為矩形

ZB=ZBAD=90"

ZBAC=60"

ZACB=30°

根據(jù)題意可知，AE為NBAC的平分線

ZBAE=ZCAE=30°,

ZEAC=ZACE=30"

/.AE=CE

過點E作EF±AC于點F

EF=BE=1

/.AC=2CF=2V3

AB=V3，BC=3

矩形ABCD的面積=ABxBC=3b。

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)計算得到NB=NBAD=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AE=CE,解直角三角形得

到AB和BC的長度，即可得到答案。

14.【答案】l<k<4

【考點】反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：當(dāng)點A在雙曲線上時，k=l

當(dāng)點B在雙曲線上時，k=4

雙曲線與線段AB有公共點，則k的取值范圍為l<k<4.

【分析】分別計算點A和點B在雙曲線上時，k的值，根據(jù)k的范圍即可得到答案。

15.【答案】=

【考點】方差

【解析】【解答】解：在一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)均加上或減去同一個常數(shù)，它的平均數(shù)都加上或減去這個

常數(shù)，并且兩數(shù)進行相減，這組數(shù)據(jù)的方差不變。

【分析】一組數(shù)據(jù)同時加上或減去相同的數(shù)，該組數(shù)據(jù)的方差不變。

16.【答案】①②③④

【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：①菱形的四條邊均相等，至少存在一個四邊形MNPQ為正方形，正確；

②在菱形中，可以找到無數(shù)的4個點，滿足其為矩形，正確；

③在菱形中，可以找到無數(shù)的4個點，滿足其為菱形，正確；

④在菱形中，有無數(shù)的4個點，使得四邊形的對邊平行，為平行四邊形，正確。

【分析】結(jié)合菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定定理，平行四邊形的判定定理進行解答即可。

三、解答題

17.【答案】解：原式=2-6x3-1+2V3

3

=2-2V3-1+2V3

=1

【考點】0指數(shù)幕的運算性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【分析】結(jié)合負(fù)整數(shù)指數(shù)基，特殊角的三角函數(shù)值，以及0指數(shù)騫的運算性質(zhì)進行計算即可。

18.【答案】解：解不等式①，

3x-4x<-2,

x>2

解不等式②，

x-2>3,

x>5

不等式組的解集為x>5

【考點】解一元一次不等式組

【解析】【分析】分別計算兩個不等式的解，聯(lián)立確定解集即可得到答案。

19.【答案】(1)解：一元二次方程x2+2x-(n-l)=0有兩個不相等的實數(shù)根，

△=22-4x[-(n-l)]>0,

即4+4n-4>0,

n>0

(2)解：n為取值范圍內(nèi)的最小整數(shù)，

n=l

x2+2x=0

x(x+2)=0

xi=O,X2=-2

【考點】一元二次方程的根

【解析】【分析】(1)根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可知其根的判別式大于零，即可得到

關(guān)于n的不等式，得到n的范圍即可；

(2)根據(jù)n為取值范圍內(nèi)最小的整數(shù)，可知n的值為1,代入原方程，求出根即可。

20.【答案】(1)證明：1.,ADIIBE,AEIIBD,

???四邊形EADB是平行四邊形

??1AB平分NEAD,

ZEAB=ZDAB

AEIIBD,

ZEAB=ZDBA

/.ZDAB=NDBA

AD=BD

A四邊形EADB是菱形

B

（2）解：ZACB=90°,NBAC=60。，BC=2遮，

tan600=第=y/3

：.AC=2

?'?SAACB=IACBC=Tx2x2y/3=2y/3

■：AEIIBC,

,?SAECB=SAACB_2y/3

【考點】平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知證明四邊形AEDB為平行四邊形，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到NAEB=ZDAB,

由平行線的性質(zhì)得到NAEB=ZDBA,得到結(jié)論即可；

（2）由平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)即可得到答案。

21.【答案】（1）解：直線I的表達式為y=x-3

（2）解：k2=-l（答案不唯一，滿足k2<；即可）

【考點】一次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，將兩個點的坐標(biāo)代入解析式即可得到答案；

（2）將不等式進行化簡，根據(jù)X24,即可得到其范圍。

22.【答案】（1）解：把A（l,2）代入函數(shù)丫=:（x>0）中，

m=2

（2）（2,1）；b=-3；b>3

【考點】反比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【解析】【解答】⑵解：①c的坐標(biāo)為（2,1）

b=-3

②b>3

【分析】（1）根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法即可得到答案；

（2）①由題意可得點C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求出b的值即可;

②根據(jù)①的結(jié)論，結(jié)合圖象即可得到答案。

23.【答案】（1）證明：如圖，連接。C.

EF是。0的切線,

ZOCE=90°

BC=CD,

/.BC=CD.

ZCOB=ZDAB

/.AFIICO

??.ZAFE=ZOCE=90°

即AF±EF

(2)解：如圖，連接BD,

/.ZADB=90°

由(1)可知COSZCOE=cosA=1

設(shè)。。的半徑為r,

,/BE=1,

r_4

r+1-5

解得r=4

AB=8

在RtAABD中,AD=ABcosA=—

【考點】平行線的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)

【解析】【分析】(1)連接0C,首先證明OCIIAF,根據(jù)切線的性質(zhì)即可得到0cl.EF,得到AFLEF即可;

(2)由直線平行的性質(zhì)即可得到NC0E=ZDAB,在直角三角形0CE中，根據(jù)余弦的含義求出0C的長度,

根據(jù)圓周角定理確定NADB=90。，由余弦的定義和性質(zhì)即可得到AD的長度。

24.【答案】(1)BP；BE；BC；BC

(3)解：BC+BE=V2BP

【考點】分段函數(shù)，等腰直角三角形

【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合題意，即可判斷自變量和常量；

(2)根據(jù)(1)中的函數(shù)關(guān)系，畫出圖象即可；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象，表示出三條線段之間的數(shù)量關(guān)系即可。

25.【答案】(1)解：81.5

(2)乙：理由為：從近五年進入復(fù)賽的出線成績可以預(yù)測今年的出線成績約為81分，乙部門抽樣成績的

中位數(shù)為81.5,說明20人中有10人可以進入復(fù)賽，甲部門不僅抽樣成績的中位數(shù)為78.5,低于乙部門，

而且通過直方圖可知超過80分的人數(shù)在20人中有8人，因此可以預(yù)測乙部門能進入復(fù)賽的人數(shù)多于甲部

門，選擇乙部門參賽更好

(3)答案不唯一，如：110

【考點】用樣本估計總體，平均數(shù)及其計算，中位數(shù)，方差

【解析】【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)的含義計算即可；

(2)根據(jù)平均數(shù)以及方差的含義求出答案即可；

(3)結(jié)合題意，利用樣本估算整體的人數(shù)即可。

26.【答案】(1)90

(2)解：120°

證明略

(3)7sin(90°-1)

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，計算得