復(fù)變函數(shù)解析變幻的特性

7.1解析變換的特性

(共形映射)7.1.1解析變換的保域性7.1.2解析變換的保角性7.1.3解析變換的保形性

定理7.1(保域定理)設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)也是一個(gè)區(qū)域.證首先證明G的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn).設(shè)w0∈G,則有一點(diǎn)z0∈D,使w0=f(z0).要證w0是G的內(nèi)點(diǎn),只須證明w*與w0充分接近時(shí),w*亦屬于G,即當(dāng)w*與w0充分接近時(shí),方程w*=f(z)在D內(nèi)有解.為此,考察

f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性,必有以z0為心的某個(gè)圓C:|z-z0|=R,顯然f(z0)-w0=0,使得f(z)-w0在C上及C的內(nèi)部(除z0外)C及C的內(nèi)部全含于D,均不為零.因而在C上:7.1.1解析變換的保域性內(nèi)的點(diǎn)w*及在C上的點(diǎn)z有因此根據(jù)儒歇定理6.10,在C的內(nèi)部與f(z)-w0有相同零點(diǎn)的個(gè)數(shù).于是w*=f(z)在D內(nèi)有解.由于D是區(qū)域,可在D內(nèi)部取一條聯(lián)結(jié)z1,z2的折線C:z=z(t)[t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：就是聯(lián)結(jié)w1,w2的并且完全含于D的一條曲線.從而,參照柯西積分定理的古莎證明第三步,可以找到對(duì)在鄰域

其次,要證明G中任意兩點(diǎn)w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一條完全含于G的折線聯(lián)結(jié)起來(lái).一條連接w1,w2,內(nèi)接于

且完全含于G的折線

1證:因f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉,必f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù).總結(jié)以上兩點(diǎn),即知G=f(D)是區(qū)域. 定理7.2

設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則D的象G=f(D)也是一個(gè)區(qū)域. 注定理7.1可以推廣成這樣的形式:“w=f(z)在擴(kuò)充z平面的區(qū)域D內(nèi)除可能有極點(diǎn)外處處解析,且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)為擴(kuò)充z平面上的區(qū)域.結(jié)合定理7.2,合本定理?xiàng)l件的解析變換w=f(z)將z0的一個(gè)充分小的鄰域內(nèi)變成w0=f(z0)的一個(gè)曲邊鄰域.

定理7.3

設(shè)函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0解析,且f

(z0)≠0,則f(z)在z0的一個(gè)鄰域內(nèi)單葉解析.7.1.2解析變換的保角——導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)w=f(z)于區(qū)域D內(nèi)解析,z0∈D,在點(diǎn)z0有導(dǎo)數(shù)通過(guò)z0任意引一條有向光滑曲線C:z=z(t)(t0≤t≤t1),z0=z(t0).因此C在z0有切線,就是切向量,經(jīng)變換w=f(z),C之象曲線的參數(shù)方程應(yīng)為則且必存在它的傾角為x0yCzz0z0+?zw=f(z)uv0w0w0+?ww是光滑的.又由于故在w0=f(z0)也有切線,就是切向量,其傾角為即假設(shè)則必于是(7.1)x0yCzz0z0+?zuv0w0w0+?www=f(z)圖7.1由定理7.3及第三章習(xí)題(一)13,在點(diǎn)w0=w(t0)的鄰域內(nèi)(7.2)且如果我們假定x軸與u軸,y軸與v軸的正方向相同,而且將原曲線切線的正方向與變換后象曲線的切線正方向間的夾角,理解為原曲線經(jīng)過(guò)變換后的旋轉(zhuǎn)角,則

(7.1)說(shuō)明:象曲線在點(diǎn)w0=f(z0)的切線正向,可由原曲線C在點(diǎn)z0的切線正向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度argf’(z0)得出.argf’(z0)僅與z0有關(guān),而與經(jīng)過(guò)Z0的曲線C的選擇無(wú)關(guān),稱為變換w=f(z)在點(diǎn)z0的旋轉(zhuǎn)角.這也就是導(dǎo)數(shù)輔角的幾何意義.(7.1)說(shuō)明:象點(diǎn)間無(wú)窮小距離與原象點(diǎn)間的無(wú)窮小距離之比的極限是R=|f’(z0)|,它僅與z0有關(guān),而與過(guò)z0的曲線C之方向無(wú)關(guān),稱為變換w=f(z)在點(diǎn)z0的伸縮率.這也就是導(dǎo)數(shù)模的幾何意義.

上面提到的旋轉(zhuǎn)角與C的選擇無(wú)關(guān)的這個(gè)性質(zhì),稱為旋轉(zhuǎn)角不變性;伸縮率與C的方向無(wú)關(guān)這個(gè)性質(zhì),稱為伸縮率不變性.

從幾何意義上看:如果忽略高階無(wú)窮小,伸縮率不變性就表示w=f(z)將z=z0處無(wú)窮小的圓5變成w=w0處的無(wú)窮小的圓,其半徑之比為|f’(z)|.

上面的討論說(shuō)明:解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為零的地方具有旋轉(zhuǎn)角不變性與伸縮率不變性.經(jīng)點(diǎn)z0的兩條有向曲線C1,C2的切線方向所構(gòu)成的角稱為兩曲線在該點(diǎn)的夾角.定義7.1若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)有定義,且在點(diǎn)z0具有:(1)伸縮率不變性;(2)過(guò)z0的任意兩曲線的夾角在變換w=f(z)下,又保持方向;則稱函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0是保角的.或稱w=f(z)在點(diǎn)z0是保角變換.如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處都是保角的,則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的,或稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角變換.

定理7.4如w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則它在導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)處是保角的.

推論7.5如w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的.(由定理6.11,在D內(nèi)f’(z)≠0.)

7.1.3解析變換的保形性

定義7.2如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是單葉且保角的,則稱此變換w=f(z)在D內(nèi)是保形的,也稱它為D內(nèi)的保形變換.

定理7.6設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析.則

(1)w=f(z)將D保形變換成區(qū)域G=f(D).(2)反函數(shù)在區(qū)域G內(nèi)單葉解析,且證(1)由推論7.2G是區(qū)域,由推論7.5及定義7.2,w=f(z)將D保形變換成G.(2)由定理6.11,f’(z0)≠0(z0∈D),又因w=f(z)是D到G的單葉滿變換,因而是D到G的一一變換.于是,當(dāng)w≠w0時(shí),z≠z0,即反函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)單葉.故由假設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析,即在D內(nèi)滿足C.-R.條件ux=vy,