復(fù)變函數(shù)課件第三章

第3章復(fù)變函數(shù)的積分§3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念和性質(zhì)§3.2柯西積分定理及其應(yīng)用§3.3柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)§3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系復(fù)習(xí)、引入1.回憶定積分.設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在[a,b]可積.則如圖0xyabxixi+1

iy=f(x)f(i)其中

i[xi,xi+1],xi=xi+1

xi,表小區(qū)間[xi,xi+1]的長(zhǎng),f(i)xi表示小矩形的面積.2.二重積分的概念求曲頂柱體體積的方法：分割、取近似、求和、取極限。求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法．第一型曲線積分

設(shè)有光滑曲線

,,.

f(x,y)是定義在

L上的連續(xù)函數(shù).則:第二型曲線積分設(shè)L為光滑或按段光滑曲線:

函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在L上連續(xù),則沿L的自然方向有:3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念和性質(zhì)

一、定義

設(shè)在復(fù)平面C上有一條連接Z0及Z兩點(diǎn)的簡(jiǎn)單曲線C。設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上連續(xù)的函數(shù)。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的實(shí)部及虛部。

把曲線C用分點(diǎn)分成n個(gè)更小的弧，在這里分點(diǎn)在曲線C上,按從到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一點(diǎn)，那么下列和式的極限(對(duì)任意分法和的取法都存在且相同),記與實(shí)函數(shù)中第二型線積分類(lèi)比C的參數(shù)方程線積分dz?復(fù)積分一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分二、積分存在的條件及其計(jì)算方法1)f(z)為連續(xù)函數(shù),且C是光滑(或按段光滑)曲線時(shí)，積分是一定存在的。3)化為參變量的定積分來(lái)計(jì)算。2)可以通過(guò)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的積分來(lái)計(jì)算。例1計(jì)算其中為以為圓心，為半徑的正向圓周,為整數(shù).三、積分的性質(zhì)例2計(jì)算的值，其中為沿從（0，0）到（1，0）的線段與從（1，0）到（1，1）的線段所連結(jié)成的折線。

解:例3計(jì)算的值，其中為沿

從（0，0）到（1，1）的線段：解:例4計(jì)算其中為從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段。解直線的方程可寫(xiě)成

練習(xí):對(duì)例4中的積分沿下列路徑計(jì)算

(1)當(dāng)C為從原點(diǎn)到(3,0),再?gòu)?3,0)到點(diǎn)(3,4)的折線;(2)當(dāng)C為從原點(diǎn)到(0,3),再?gòu)?0,3)到點(diǎn)(3,4)的折線時(shí),積分的結(jié)果又為何值呢?

觀察例3、例4兩個(gè)線積分的結(jié)果，分析兩種被積函數(shù)的特征，你會(huì)得出怎樣的結(jié)論？小結(jié)與思考本節(jié)我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.思考題思考題答案即為一元實(shí)函數(shù)的定積分.觀察上節(jié)例4,此時(shí)積分與路線無(wú)關(guān).觀察上節(jié)例1,3.2柯西積分定理及其應(yīng)用觀察上節(jié)例2,3由于不滿足柯西－黎曼方程,故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.回顧一、柯西積分定理 1、定理3.3.1關(guān)于定理的說(shuō)明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.常用結(jié)論2、典型例題例1解根據(jù)柯西積分定理,有例2證由柯西積分定理,由柯西積分定理,由上節(jié)例1可知,例3解根據(jù)柯西積分定理得運(yùn)用柯西積分定理應(yīng)注意什么(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過(guò)來(lái)用.定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁(yè)圖)1.兩個(gè)主要定理:由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁(yè)圖)二、解析函數(shù)的原函數(shù)與等價(jià)定理定理二證明見(jiàn)P452.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]3.不定積分的定義:定理三(類(lèi)似于牛頓-萊布尼茲公式)證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說(shuō)明:有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類(lèi)似的方法去計(jì)算.解:

例4計(jì)算

例5計(jì)算

解：例6計(jì)算

解：三、復(fù)合閉路定理—柯西定理在多連域的推廣所圍成的多連通區(qū)域，

(互不包含且互不相交)，定理四：四、閉路變形原理—復(fù)合閉路定理的特例證明：取這說(shuō)明解析函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。------閉路變形原理例7試求的值，C為包含0和1在內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線。解：閉路變形原理§3.3柯西積分公式和解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)若

f(z)在D內(nèi)解析，則分析：一、柯西積分公式(3.3.1)

上述公式稱為柯西積分公式.通過(guò)該公式可以把一個(gè)函數(shù)在C內(nèi)部任何一點(diǎn)的值,用它在邊界上的值表示出來(lái)。關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.例8計(jì)算(沿圓周正向)

解由公式(3.3.1)得例9

解：二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)問(wèn)題:(1)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?(2)若有高階導(dǎo)數(shù),其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).(2)高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示,這與實(shí)變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?定理證根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得再利用以上方法求極限至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類(lèi)推,利用數(shù)學(xué)歸納法可證[證畢]高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.例10求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1.

高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于利用求導(dǎo)計(jì)算積分.§3.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系定義1若(稱此為調(diào)和方程或Laplace方程)

定理1：證明：同樣可得且u,v有任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)注：逆定理顯然不成立，即

對(duì)區(qū)域D內(nèi)的任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)不一定是解析函數(shù).例如：定義2定理2：在區(qū)域D內(nèi)解析

解析函數(shù)的虛部必為實(shí)部的共軛調(diào)和數(shù)已知共軛調(diào)和函數(shù)中的一個(gè)，可利用C-R方程求得另一個(gè)，從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)。例1已知調(diào)和函數(shù)求一解析函數(shù)解：（法一）由C-R方程于是（法二）(0,0)(x,y)(x,0)（法三）例2證明：函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)但不是解析函數(shù)。證由于所以故是全平面上的調(diào)和函數(shù)，除原點(diǎn)外在全平面上調(diào)和。但,不滿足C-R條件，所以不是解析函數(shù)。例3證明：若為調(diào)和函數(shù)且不等于常數(shù)，則不是調(diào)和函數(shù)。證因?yàn)闉檎{(diào)和函數(shù)，所以又同理例4求形如的最一般的調(diào)和函數(shù)。并求其共軛調(diào)和函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的解析