北京二中教育集團2022一2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

北京二中教育集團2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末模擬考試

初三數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷共6頁，滿分100分，測試時間120分鐘。

2.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試卷上直接作答。

3.作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項。

4.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試卷和答題卡一并收回。

第I卷（選擇題共16分）

一、選擇題（以下每題只有一個正確的選項，每小題2分，共16分）

1.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，中國古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨特，能

夠營造歡樂喜慶的節(jié)日氣氛.下列剪紙不是中心對稱圖形的是（）

辱

2.將拋物線y=-3（x+iy先向右平移2個單位，再向下平移5個單位得到的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為

（）

A.y=-3（x+3）—5B.y=-3（x+3）~+5

C.y=-3（x-l）2+5D.y=-3（x-l）2-5

3.如圖，正六邊形ABCDE廠內(nèi)接于O。，OO的半徑為3,則這個正六邊形的邊心距的長為

（）

C.2百D.3g

4.下列事件為必然事件的是（）

A.正方形的內(nèi)角和是180°；

B平面內(nèi)三個點確定一個圓；

C.相等的圓心角所對的弦也相等；

D.不透明的口袋中裝有除顏色以外完全相同的2個紅球和4個白球，從中摸出3個球，其中有白球.

5.如圖，直徑為4cm的圓內(nèi)有一個圓心角為90°的扇形，則與弦圍成的弓形面積為（）

A.4〃-8B.27r—8C.2〃一4D.乃一4

6.已知二次函數(shù),=依2+瓜+。的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①b>0；②4ac<b，③

4a+?+c>0；④2a=b.其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

7.以。為中心點的量角器與直角三角板A8C按如圖方式擺放，量角器的0刻度線與斜邊AB重合.點。

為斜邊AB上一點，作射線CD交弧A8于點E，如果點E所對應(yīng)的讀數(shù)為52°,那么NBC。的大小為

)

c

C.64°D.69°

8.線段AB=5,動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿線段AB運動至點8.以點A為圓

心、線段AP長為半徑作圓心角為90°的扇形PAC,以線段M為邊作等邊△FED.設(shè)點P的運動時間

為t,扇形PAC的弧CP的長為y,等邊△P6D的面積為s,則y與s與，滿足的函數(shù)關(guān)系分別是

()

D

A.正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系

第n卷（非選擇題共84分）

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.寫出一個函數(shù)值有最大值，且最大值是2二次函數(shù)解析式

10.某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：

射擊次數(shù)20801002004001000

中九環(huán)以上次數(shù)186881170327833

中九環(huán)以上頻率0.900.850.810.850.820.83

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約是.（保留兩位小數(shù)）

11.代數(shù)式V—3x+l的最小值為.

12.如圖，AB是。。的直徑，C、。在。。上，若NZ）=110。，則NC43=.

D

13.如圖，半徑為6的。。與邊長為8的等邊三角形ABC的兩邊AB、8c都相切，連接0C,則。C=

14.如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)。。，得到到VADE，點C在線段QE上，則N8CZ）的度數(shù)是

.（用含夕的式子表示）

15.某公司的近三個月的銷售收入和利潤如下表所示:

9月10月11月

銷售收入（萬元）8095108

利潤（萬元）506372

該公司近三個月的利潤平均增長率為.

16.如圖，在RtZvlBC中，ZACB=90°,NA6C=30°,AC=6,點E是邊4C的中點，將“3。繞

點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C,點。是邊48'上的一動點，則PE長度的最大值與最小值的差為

B'

三、解答題（共68分）

17.已知：如圖，點P在。。上，點A在。外.

求作：過點尸的。。的切線及過點A作CP的平行線.

作法：如圖，

①作射線0P;

②在直線0P外任取一點A,以點A圓心，AP為半徑作OA,與射線0P交于另一點8；

③連接并延長BA與0A交于點C：

④作直線PC；

⑤取8P的中點。；

⑥連接AD.

則直線PC、AO即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：是04的直徑，

...N3PC=90°（）（填推理的依據(jù)）

:.OP1PC

又???0P是。。的半徑

???PC是。。的切線（）（填推理的依據(jù)）

又???￡）是8P的中點

???AD.LPB（）（填推理的依據(jù)）

/.ZADP=90。

/./BPC=ZADP

，AD//PC.

18.隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表.如圖是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫

出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為AB.橋的跨度（弧所對的弦長）約為40m,設(shè)Ag所

在圓的圓心為O,半徑OCLAB,垂足為O.主拱高（弧的中點到弦的距離）8約為10m.連接

OB.求這座石拱橋主橋拱AB所在圓的半徑長.

19.把關(guān)于x的一元二次方程2%2一4%+m=0配方，得至U（x+P）2=g.

（1）寫出完整的配方過程，并求常數(shù)，"與0的值；

（2）求此方程的解.

（1）求二次函數(shù)解析式：

（2）在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象;

（3）當(dāng)—3WxW2時，y的取值范圍是.

21.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，448C的頂點均在格點上，點C的坐標(biāo)為（4,-1）.

（1）畫出與AABC關(guān)于原點o中心對稱的△AMG，點4的坐標(biāo)是；

（2）畫出將AABC繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的AA與G.

22.隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢日漸好轉(zhuǎn)，各地開始復(fù)工復(fù)學(xué)，某校復(fù)學(xué)后成立“防疫志愿者服務(wù)

隊”，設(shè)立四個“服務(wù)監(jiān)督崗”：①洗手監(jiān)督崗，②戴口罩監(jiān)督崗，③就餐監(jiān)督崗，④操場活動監(jiān)督

崗.李老師和王老師報名參加了志愿者服務(wù)工作，學(xué)校將報名的志愿者隨機分配到四個監(jiān)督崗（每個崗位

只設(shè)置一位教師）.

（1）李老師被分配到“洗手監(jiān)督崗”的概率為；

（2）用列表法或畫樹狀圖法，求李老師和王老師被分配到洗手監(jiān)督崗和戴口罩監(jiān)督崗的概率（無序）.

23.關(guān)于x的方程f一7nx+〃?_]=0.

（1）不解方程，判斷根的情況；

（2）若x=2加是方程的一個根，求W+iy+3（"-1）的值.

24.第二十四屆冬季奧林匹克運動會已于2022年在北京成功舉辦，跳臺滑雪是北京冬奧會的比賽項目之

一，近些年來冰雪運動也得到了蓬勃發(fā)展.如圖是某跳臺滑雪場地的截面示意圖.平臺A8長1米（即

AB=l），平臺A8距地面18米.以地面所在直線為x軸，過點8垂直于地面的直線為y軸，取1米為單

位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，己知滑道對應(yīng)的函數(shù)為y=0.4f-4x+c（xNl）.運動員（看成點）在

BA方向獲得速度丫米/秒后，從4處向右下飛向滑道，點M是下落過程中的某位置（忽略空氣阻力）.設(shè)

運動員飛出時間為“少，運動員與點A的豎直距離為〃米，運動員與點A的水平距離為/米，經(jīng)實驗表

明：h~6r-l=vt.

(1)求滑道對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)u=5,7=1時，通過計算判斷運動員此時是否已落在滑道上；

(3)在試跳中，運動員從A處飛出，運動員甲飛出路徑近似看做函數(shù)y=+U吆圖像的一

636

I289

部分，著陸時水平距離為4,運動員乙飛出的路徑近似看做函數(shù)圖像丁=-^/+1工+彳的一部分，著

陸時水平距離為則4d2(填或

25.已知：如圖，點A、B、M在。。上，且滿足NM=45°,連接Q4,AB.過點B作直線

BC//OA,交延長線于點C.

(1)求證：8c是0。的切線；

(2)如果。4=5,AM=6,求8M的長.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(一1,加)，(5,“)在拋物線y=加+/?x+c(a<0)上，設(shè)拋物線的對稱軸

為直線*=/.

(1)當(dāng)c=T,t=-3時，求拋物線與y軸交點坐標(biāo)，并直接寫出孫〃的大小關(guān)系；

(2)若機<c<〃，求r的取值范圍；

(3)若點(事,加)在拋物線上，且滿足-4</<一3,比較相，〃，c的大小，并說明理由.

27.如圖，已知等腰直角“WC，AB^AC,N84C=90°,將線段A8繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

<z(00<a<90°),得到線段AO,連接05,DC.

備用圖

（1）求NBDC的度數(shù)；

（2）作/D4c的平分線AE交CD于點尸，交的延長線于點E，連接CE,補全圖形，用等式表示

線段A￡、BE、EE之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）若AB的長為4，取8。中點P，請直接寫出線段CP的最大值.

28.在在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點A,記線段OA的中點為M.若點A,M,P,。按逆時針方向排

列構(gòu)成菱形AMPQ,其中NQAM=a,（0°<?<180°）,則稱菱形AMPQ是點A的“a-旋半菱形”，

稱菱形AMPQ邊上所有點都是點A的“a-旋半點”.已知點A（0,4）.

圖1備用圖

（1）在圖1中，畫出點A的“30。-旋半菱形"AMPQ,并辜掾?qū)懗鳇cP的坐標(biāo)；

（2）若點8（1,1）是點A的“a-旋半點”，求a的值；

（3）若存在。使得直線y=-走x+。上有點4的“a-旋半點”，直接寫出人的取值范圍.

3

參考答案

一、選擇題（以下每題只有一個正確的選項，每小題2分，共16分）

1.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，中國古老的漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨特，能

夠營造歡樂喜慶的節(jié)日氣氛.下列剪紙不是中心對稱圖形的是（）

尊

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念”把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形”進(jìn)行依次判斷，即可得.

【詳解】解：A、不是中心對稱圖形,選項說法正確，符合題意;

B、是中心對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意;

C、是中心對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意;

D、是中心對稱圖形，選項說法錯誤，不符合題意;

故選：A.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵是掌握中心對稱圖形.

2.將拋物線y=-3（x+l『先向右平移2個單位，再向下平移5個單位得到的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為

（）

A.y=—3（x+3）--5B.y=—3（》+3）一+5

C.y=-3（x-l）2+5D.y=-3（%-l）2-5

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律“上加下減，左加右減”即可求解.

【詳解】將拋物線y=-3（x+l）2向右平移2個單位，得到的拋物線解析式為丫=-3（元+1-2）2,即為

y=-3（x-i）2.

將拋物線y=-3（x-向下平移5個單位，得到的拋物線解析式為y=-3（》-1）2-5.

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移.掌握其平移規(guī)律“上加下減，左加右減”是解題關(guān)鍵.

3.如圖，正六邊形A8CDEF內(nèi)接于O。，的半徑為3,則這個正六邊形的邊心距的長為

()

3百

A.6DR.---C.2百D.3g

2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出NBQW,利用銳角的余弦計算即可.

【詳解】解:連接。8,

???六邊形ABCDEF是。。內(nèi)接正六邊形，

1360°

ZBOM=-x^-=30°

26

：.OMOBcosZBOM=3x^=速

22

故選：B

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)計算，掌握正多邊形的中心角的計算公式、熟記余弦的概念是

解題的關(guān)鍵.

4.下列事件為必然事件的是（）

A.正方形的內(nèi)角和是180°；

B.平面內(nèi)三個點確定一個圓；

C.相等的圓心角所對的弦也相等；

D.不透明的口袋中裝有除顏色以外完全相同的2個紅球和4個白球，從中摸出3個球，其中有白球.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)必然事件和隨機事件的定義，對選項一一進(jìn)行分析，即可得出答案.

【詳解】A.正方形的內(nèi)角和是18()。，是不可能事件，不符合題意；

B.平面內(nèi)三個點確定一個圓是隨機事件，不符合題意；

C.相等的圓心角所對的弦也相等，是隨機事件，不符合題意；

D.不透明的口袋中裝有除顏色以外完全相同的2個紅球和4個白球，從中摸出3個球，其中有白球，是必

然事件，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了判斷事件發(fā)生的可能性的大小，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握必然事件和隨機事件的定

義.必然事件的定義：在一定條件下重復(fù)進(jìn)行試驗時，有的事件在每次試驗中必然會發(fā)生，這種事件叫必

然發(fā)生的事件，簡稱必然事件；隨機事件的定義：有的事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，這樣的事件叫做隨機

事件.

5.如圖，直徑為4cm的圓內(nèi)有一個圓心角為90°的扇形，則6C與弦3C圍成的弓形面積為()

cm2.

A.4〃-8B.27r—8C.2〃一4D.乃一4

【答案】C

【解析】

［分析］根據(jù)題意可得AB=AC=2&cm，再根據(jù)§陰影=S扇形ABC-即可得到解答?

【詳解】解：???扇形ABC,

AB=AC，

又???N84C=90°,

8C為大圓的直徑，

BC-4cm，

AB=AC=2>f2cm<

90°x乃x(2及『

=2萬一4,

故選C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)和扇形面積公式，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)

鍵.

6.已知二次函數(shù)丁=公2+法+。的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①b>0；②4"c<〃；③

4a+2b+c>0；④2a=b.其中錯誤結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】

【分析】由拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，可確定“<0,oo,再根據(jù)對稱軸是直線x=i,即

K=--=1,可確定/?=—2。>0,從而可判斷①正確，④錯誤；根據(jù)圖象可知二次函數(shù)與X軸有兩個交點，

2a

進(jìn)而可判斷②正確，由圖像可知當(dāng)x=2時，y>0,即可判斷③.

【詳解】解：；拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，

??4<0,C>0,

??,對稱軸是直線x=l,

b1

X=----=11

2a

/.h=一%>0,

故①正確，④錯誤；

??,圖象可知二次函數(shù)與x軸有兩個交點，

b2-4ac>0-BP4ac<b2>

故②正確，

?.?當(dāng)x=2時，y>0,

/.4a+2b+c>0,故③正確，

綜上可知錯誤結(jié)論的個數(shù)是1個.

故選：A.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)圖象的特點，運用數(shù)形結(jié)合的

思想，找出所求問題需要的條件.

7.以。為中心點的量角器與直角三角板A8C按如圖方式擺放，量角器的0刻度線與斜邊A6重合.點。

為斜邊A8上一點，作射線CO交弧A8于點E，如果點E所對應(yīng)的讀數(shù)為52°,那么N5CP的大小為

C.64°D.69°

【答案】C

【解析】

【分析】由圓周角定理得出/4CE=26。，進(jìn)而得出NBCD=64°即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接0E,

???點E所對應(yīng)的讀數(shù)為52。，

ZAOE=52。，

?.?43為直徑，ZACB=90°,

，點C在OO上，

ZACE=-ZAOE=-x52°=26°,

22

ZBCD=90°-26°=64°,

故選：C.

【點睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是運用圓周角定理得出/AOE與NACE的關(guān)系.

8.線段AB=5,動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿線段A3運動至點8.以點A為圓

心、線段AP長為半徑作圓心角為90°的扇形P4C，以線段PB為邊作等邊.設(shè)點P的運動時間

為f,扇形P4C的弧C尸的長為y,等邊△P8D的面積為S,則y與，，S與，滿足的函數(shù)關(guān)系分別是

()

D

c

APB

A.正比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.一次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別列出了與f,S與「的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：設(shè)點P的運動時間為r,則AP=r,BP=5-t,

901

則nly=---itxt=—Tit,

-1802

S=—（5-z）2=—（25-10z+r2）=—+

4',4'7424

y與九S與r滿足的函數(shù)關(guān)系分別是正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系，

故選：B.

【點睛】本題考查了列函數(shù)表達(dá)式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的識別，根據(jù)題意列出函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)

鍵.

第n卷（非選擇題共84分）

二、填空題（每小題2分，共16分）

9.寫出一個函數(shù)值有最大值，且最大值是2的二次函數(shù)解析式.

【答案】y=-x2+2（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)值有最大值可得二次項系數(shù)小于0,再根據(jù)最大值是2利用二次函數(shù)頂點式即可求解.

【詳解】解：；二次函數(shù)解析式函數(shù)值有最大值，

...二次函數(shù)解析式二次項系數(shù)“<0,

又最大值是2,

???符合條件的二次函數(shù)解析式可以是：y=-x2+2（答案不唯一），

故答案為：y=-x2+2（答案不唯一）

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和頂點式.

10.某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：

射擊次數(shù)20801002004001000

中九環(huán)以上次數(shù)186881170327833

中九環(huán)以上頻率0.900.850.810.850.820.83

根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約是.（保留兩位小數(shù)）

【答案】0.83

【解析】

【分析】大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個

頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

【詳解】解：由表格可知：當(dāng)大量試驗時，頻率穩(wěn)定在0.83,

估計這名運動員射擊一次時“射中九環(huán)以上”的概率約是：0.83；

故答案為：0.83.

【點睛】本題考查利用頻率估計概率.熟練掌握概率是頻率的穩(wěn)定值是解題的關(guān)鍵.

11.代數(shù)式3x+l的最小值為.

【答案】［

【解析】

【分析】利用配方法，結(jié)合平方的非負(fù)性解答

3QQ5

［詳解】解：X2-3x4-1=（X--）~----F1=（X---）2---

2424

U-T）＞0

244

代數(shù)式xlx+l的最小值為：一引

【點睛】本題考查代數(shù)式的最值，涉及配方法，平方的非負(fù)性，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

12.如圖，AB是的直徑，C、。在0。上，若N￡>=110。，則NC4B

【答案】20°##20度

【解析】

【分析】利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出N5,再利用圓周角定理求出NC43即可.

【詳解】解：：ZAZ）C+ZB=180°,ZD=110°,

；?ZABC=1Q°,

,/A5是直徑，

ZACB=90°,

N0LB=2O。.

故答案為：20°.

【點睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（圓內(nèi)接四邊形對角互補）等知識，屬于中考?？碱}

型.

13.如圖，半徑為6的。。與邊長為8的等邊三角形A8C的兩邊AB、8c都相切，連接OC,則OC=

【答案】2幣

【解析】

【分析】連接OB,作ODJ_BC于D,由等邊三角形的性質(zhì)得NABC=60。，BC=8,由。O與等邊三角形

ABC的兩邊AB、BC都相切，得出OD是。O的半徑，ZOBC=ZOBA=30°,應(yīng)用三角函數(shù)求出BD=

3,CD=BC-BD=5,由勾股定理得出OC,即可得出答案.

【詳解】連接OB,作ODLBC于D,

,/AABC是邊長為8的等邊三角形，

AZABC=60°,BC=8,

?.?。0與等邊三角形ABC的兩邊AB、BC都相切，

AOD是。O的半徑，ZOBC=ZOBA=|ZABC=30°,

OD

VtanZOBC=——，

BD

OD3

，BD=----------=8=3,

tan300巨

3

???CD=BC-BD=8—3=5,

℃=7OD2+CD2=+52=2V7,

故填：2s.

【點睛】本題考查了切線性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握切線的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)a。，得到到VA￡>￡，點c在線段QE上，則/BCQ的度數(shù)是

.（用含a的式子表示）

【答案】a

【解析】

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NE=NAC8,ZCAE=a°,由外角的性質(zhì)可得NACD=NC4E+NE,進(jìn)而

即可求解.

【詳解】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：NE=ZACB,NC4E=a°,

???ZACD=ZACB+/BCD=ZCAE+NE,

，/BCD=/CAE=a°.

故答案為：a.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和外角的性質(zhì).

15.某公司的近三個月的銷售收入和利潤如下表所示：

9月10月II月

銷售收入（萬元）8095108

利潤（萬元）506372

該公司近三個月的利潤平均增長率為.

【答案】20%

【解析】

【分析】設(shè)該公司近三個月利潤平均增長率為X,則11月利潤為50（1+x）2萬元，根據(jù)11月利潤為72萬

元，可列方程，解方程取正值即可.

【詳解】解：設(shè)該公司近三個月利潤平均增長率為x,根據(jù)題意，得：

50（1+4=72

解得：X,=0.2=20%,x2=-2.2（不合題意，舍去），

...該公司近三個月利潤平均增長率為20%,

故答案為：20%.

【點睛】本題考查一元二次方程的運用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出有關(guān)利潤增長率的

一元二次方程.

16.如圖，在中，ZACB=90°,ZABC=3O°，AC=6,點E是邊4C的中點，將&48C繞

點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C,點。是邊48'上的一動點，則PE長度的最大值與最小值的差為

【答案】36+6##6+36

【解析】

【分析】由直角三角形的性質(zhì)可得BC=66，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A'C=6,可得CE=2,即點E

在以C為圓心，CE為半徑的圓上，則當(dāng)點C,點E，點尸共線，且PC,A3時，PE長度最小,當(dāng)點

P與點8'重合，且點￡在PC的延長線上時，PE長度最大，然后求得最大值與最小值的差即可求解.

【詳解】解：?.?NC=90。，ZABC=3O°,AC=6,

BC=6瓜,

???將AABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到AAAC,點E是邊AC的中點，

AC=A'C—6,B'C'=BC=6-73CE=AE=3,

，點E在以C為圓心，CE為半徑的圓上，

如圖，當(dāng)點C,點￡,點P共線，且時，長度最小,

\PC1AB,ZABC=30°

P'C'=-B'C'=3>/3,

2

.?.PE最小值為3百-3.

當(dāng)點P與點B'重合，且點E在PC的延長線上時，PE長度最大,

則最大值為6石+3

PE長度的最大值與最小值的差為66+3-38+3=+6

故答案為：36+6.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、圓的基本認(rèn)識，確定點E的軌跡是本題的關(guān)鍵.

三、解答題（共68分）

17.已知：如圖，點尸在上，點A在。外.

求作：過點P的。。的切線及過點4作CP的平行線.

作法：如圖，

①作射線0P；

②在直線0P外任取一點A,以點A為圓心，AP為半徑作OA,與射線0P交于另一點8；

③連接并延長BA與交于點C；

④作直線PC；

⑤取3P的中點。；

⑥連接AD.

則直線PC、即為所求.

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：:BC是0A的直徑，

/.ZBPC=90°（）（填推理的依據(jù)）

OPLPC

又???OP是0。的半徑

???PC是OO的切線（）（填推理的依據(jù)）

又?.?。是3P的中點

AD±PB（）（填推理的依據(jù)）

ZA￡）P=90°

/.ZBPC=ZADP

AD//PC.

【答案】（1）見解析（2）直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓

的切線；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

【解析】

【分析】（1）根據(jù)作法畫出圖形即可；

（2）根據(jù)圓周角定理得到N3PC=90。，根據(jù)切線的判定定理即可得到PC是。。的切線，然后根據(jù)垂

徑定理即可得到AD±PB，進(jìn)而得到AD//PC.

【小問1詳解】

補全圖形如圖所示，則直線PC、AO即為所求.

【小問2詳解】

證明：是0A的直徑，

，N3PC=90°（直徑所對的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）

OPLPC

又,:0P是。。的半徑

，PC是。。的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）

又：。是5P的中點

：.AD±PB（平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧）（填推理的依據(jù)）

，ZADP^9Q°

???ZBPC^ZADP

，AD//PC.

【點睛】此題考查了切線的判定，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形.

18.隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表.如圖是根據(jù)某石拱橋的實物圖畫

出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為A8.橋的跨度（弧所對的弦長）AB約為40m,設(shè)A8所

在圓的圓心為。，半徑垂足為O.主拱高（弧的中點到弦的距離）C。約為10m.連接

OB.求這座石拱橋主橋拱AS所在圓的半徑長.

【答案】25m

【解析】

【分析】根據(jù)垂徑定理得出BD=LAB=20m,設(shè)OB=r,則。D=r—1（）,根據(jù)勾股定理可得

2

OD2+BD2^OB2>求出，即可.

【詳解】解：?.?半徑OC_L他，AB=40m,

BD=-AB^20m,

2

設(shè)OB=r,則?！辏┒S一10,

???在RSBOO中，OD?+BD?=0B?，

.,?（r-10）2+202=r2,

r=25,

???圓的半徑長為25m.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和垂徑定理.

71

19.把關(guān)于x的一元二次方程2/—4x+m=0配方，得到（x+p）-=5.

（1）寫出完整的配方過程，并求常數(shù)加與夕的值；

（2）求此方程的解.

【答案】（1）m=1,P=-l

⑵寸彩，寸”立

212

【解析】

【分析】（1）把2/—4x+機=0配方即可得出〃?=1，P=7;

（2）配方得出（x—l『=g,開方得出X一1=±孝，求出即可.

【小問1詳解】

解：2/-4%=

X2-2X=-—

2

m.

x2—2x+1=----F1

2

m-\>p=-l

【小問2詳解】

解：???(I):；

.2+V22-V2

?"—-----'x,=------

12,2

【點睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，題目是一道基礎(chǔ)題，難度適中，主要考查學(xué)生的計算能力.

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖象；

(3)當(dāng)一3WXW2時，V的取值范圍是.

【答案】(1)y=-x?+2x+3

(2)畫圖見詳解(3)-124y?4

【解析】

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)根據(jù)函數(shù)解析式，用描點法即可求解；

(3)根據(jù)自變量的取值范圍，結(jié)合圖示，即可確定函數(shù)值的取值范圍.

【小問1詳解】

解：當(dāng)x=—2時，y=-5；當(dāng)％=—1時，y=0；當(dāng)x=0時，y=3,

4a-2b+c--5a=-\

：.<a-b+c=O解方程得<8=2,

c=3c-3

，二次函數(shù)解析式為y=—V+2x+3.

【小問2詳解】

解：二次函數(shù)解析式為y=-V+2x+3,圖像如圖所示,

函數(shù)與無軸交點是(一1,0),(3,0),與y軸的交點是(0,3),對稱軸為x=l,符合題意.

【小問3詳解】

解：當(dāng)一3WxW2時，根據(jù)(2)中圖示可知，

當(dāng)％=-3時，y=-(-3)2+2x(-3)+3=-12；當(dāng)當(dāng)x=l時，y=-12+2xl+3=4：當(dāng)x=2時，

y=-22+2x2+3=3.

...當(dāng)一3WxW2時，-12?y44.

【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式畫函數(shù)圖形，根據(jù)函數(shù)自變量求函

數(shù)取值范圍，掌握待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式，函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，“RC的頂點均在格點上，點C的坐標(biāo)為(4,-1).

（1）畫出與"3C關(guān)于原點。中心對稱的△A4C，點4的坐標(biāo)是；

（2）畫出將AABC繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的AAB3G.

【答案】（1）圖見解析;（-1,4）

（2）圖見解析

【解析】

【分析】（I）分別找到點A、點8、點C關(guān)于原點對稱的點4、點5、點G，順次連接即可，根據(jù)坐標(biāo)

系寫出點4的坐標(biāo)；

（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出8,C的對應(yīng)點為、即可.

【小問1詳解】

解：如圖所示，即為所求；點4的坐標(biāo)是（一1,4）；

【小問2詳解】

解：如圖所示，A482c2即為所求.

y

n-TT-r-)

【點睛】本題主要考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的

對應(yīng)點.

22.隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢日漸好轉(zhuǎn)，各地開始復(fù)工復(fù)學(xué)，某校復(fù)學(xué)后成立“防疫志愿者服務(wù)

隊”，設(shè)立四個“服務(wù)監(jiān)督崗”：①洗手監(jiān)督崗，②戴口罩監(jiān)督崗，③就餐監(jiān)督崗，④操場活動監(jiān)督

崗.李老師和王老師報名參加了志愿者服務(wù)工作，學(xué)校將報名的志愿者隨機分配到四個監(jiān)督崗（每個崗位

只設(shè)置一位教師）.

（1）李老師被分配到“洗手監(jiān)督崗”的概率為：

（2）用列表法或畫樹狀圖法，求李老師和王老師被分配到洗手監(jiān)督崗和戴口罩監(jiān)督崗的概率（無序）.

【答案】（1）-

4

【解析】

【分析】（1）直接根據(jù)隨機事件的概率公式計算即可；

（2）先畫出樹狀圖，然后從樹狀圖中數(shù)出所有的可能性的結(jié)果數(shù)與李老師和王老師被分配到洗手和戴口罩

的監(jiān)督崗的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算即可.

【小問1詳解】

解：???李老師被分配到某個監(jiān)督崗的所有可能性的結(jié)果數(shù)是4,被分配到“洗手監(jiān)督崗”的結(jié)果數(shù)為1,

，李老師被分配到“洗手監(jiān)督崗”的概率為二；

故答案為：一：

4

【小問2詳解】

解：畫樹狀圖如下:

共有12種等可能結(jié)果，其中李老師和王老師被分配到洗手監(jiān)督崗和戴口罩（記為事件A）有2種結(jié)果,

答：李老師和王老師被分配到洗手監(jiān)督崗和戴口罩監(jiān)督崗的概率二.

【點睛】此題考查了隨機事件的概率，熟練掌握概率公式和運用畫樹狀圖或列表法求概率是解答此題的關(guān)

鍵.

23.關(guān)于x的方程x?-〃zx+〃?—1=0.

(1)不解方程，判斷根的情況；

(2)若x=2m是方程的一個根，求(，〃+iy+3(加一1)的值.

【答案】(1)有兩個實數(shù)根

(2)0

【解析】

【分析】(1)計算一元二次方程根的判別式，得出A20,即可求解；

(2)根據(jù)一元二次方程根的定義，將尤=2機代入原方程，得出2〃5+加=1，然后化簡代數(shù)式，整體代入

即可求解.

【小問1詳解】

解：X2=0

丁a=\,b=-m,c=m-\,

A=/?2-4tzc=(-m)2-4xlx(m-l)

=/n2—4m+4

=(m-2)2>0；

???方程有兩個實數(shù)根

【小問2詳解】

2

解：把x=2加代入方程九之一7nx+加一1=。得，(2m)-mx2m+m-l=0

艮12m2+m-1

(m+1)**+3(〃i2-1)

=nr+2m+1+3m2—3

=4m2+2m-2

=2(2>+對一2

=2-2

=0.

【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的定義，掌握一元二次方程根的判別式是

解題的關(guān)鍵.

24.第二十四屆冬季奧林匹克運動會已于2022年在北京成功舉辦，跳臺滑雪是北京冬奧會的比賽項目之

一，近些年來冰雪運動也得到了蓬勃發(fā)展.如圖是某跳臺滑雪場地的截面示意圖.平臺4B長1米(即

43=1),平臺AB距地面18米.以地面所在直線為x軸，過點8垂直于地面的直線為y軸，取1米為單

位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，已知滑道對應(yīng)的函數(shù)為y=0.4f—4x+c(xil).運動員(看成點)在

BA方向獲得速度丫米/秒后，從4處向右下飛向滑道，點M是下落過程中的某位置(忽略空氣阻力).設(shè)

運動員飛出時間為f秒，運動員與點4的豎直距離為/z米，運動員與點A的水平距離為/米，經(jīng)實驗表

(1)求滑道對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)當(dāng)u=5,f=l時，通過計算判斷運動員此時是否已落在滑道上；

(3)在試跳中，運動員從A處飛出，運動員甲飛出的路徑近似看做函數(shù)y=V+,x+WZ圖像的一

636

I289

部分，著陸時水平距離為4,運動員乙飛出的路徑近似看做函數(shù)圖像y=-《/+二》+1_的一部分，著

陸時水平距離為4，則4d2(填”或

【答案】(1)y=0.4Y-4x+2L6

(2)落在滑道上(3)>

【解析】

【分析】(1)將41，18)代入y=0.4f—4x+c(x?l),求出c即可；

(2)先計算出〃和/,求出x=/+l時y的值，與OB—h進(jìn)行比較即可判斷；

(3)分別將兩個運動員飛出路徑對應(yīng)的函數(shù)與滑道對應(yīng)的函數(shù)聯(lián)立，求出著陸時的x值，進(jìn)而求出《與

d2,即可判斷.

【小問1詳解】

y=0.4x2-4x+c過(1,18)

c=21.6

y=0.4尤2-4X+21.6

【小問2詳解】

?-,u=5,t-\

---I=vt=5,h=6r-6

當(dāng)x=5+l=6時，y=0.4x62-4x6+21.6=12

V18-6=12

，落在滑道上.

【小問3詳解】

解：將y=0.4d—4x+21.6（x21）與y=—I/+lx+!￡Z聯(lián)立,

636

得：0.4f—4x+21.6=-入+與+河，

636

化簡得：17/-130X+113=0，

113

解得：西=1,工2=三

―-H3,96

可知4=----1

'1717

12289-

同理，將將y=0.4x2-4x+21.6（x?l）與y---XH-XH-------聯(lián)立，

555

]2X9

得：0.4x2-4x+21.6=——x2+—XH——

555

化簡得：3/-22》+19=0

解得：X]=1,x2=—,

16

可知《=一一1T

9616

一>一

173

因此4>d2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，讀懂題意，掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)圖像

上點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

25.已知：如圖，點A、B、M在。。上，且滿足NM=45°,連接04,AB.過點3作直線

BC//0A,交的延長線于點C.

M

MJ

CB

（1）求證：8C是OO的切線；

（2）如果。4=5,AM=6,求8M的長.

【答案】（1）見解析（2）772

【解析】

【分析】（1）連接。8,根據(jù)圓周角定理可得NAO8=2NM=90°,繼而根據(jù)切線判定定理即可求證結(jié)

論；

（2）過點A作4VJ.BM交于點N,在R34VM中求得AN=MN=38，在RtA4OB中，利

用勾股定理可得A3=50，在Rtz\4V8中，利用勾股定理可得3N=40，進(jìn)而即可求解.

【小問1詳解】

連接QB,

VAM=45°,AB=AB>

：.ZAOB=2ZM=90°,

BC//OA,

：.ZOBC=180?！猌AOB=90°,

半徑OB_LBC,

8。是O。的切線；

【小問2詳解】

如圖，過點A作AN交于點N,

：.ZANM^90°,

?..在RtZkATVM中，ZANM-90°，NM=45°,AM=6,

AN=MN=3五,

又?.?Q4=OB=5,ZAOB^90°,

...在RtZVIQB中，AB=5叵,

.,.在RtZvWB中，

BN=《AB?-AN?=472，

BM=MN+BN=7應(yīng).

CB

【點睛】本題考查了切線的證明、圓周角的性質(zhì)、解直角三角形，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握題意，構(gòu)建直角三角

形解決問題.

26.在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，點(-1,〃。，(5,〃)在拋物線〉=加+Z?x+c(a<0)上，設(shè)拋物線的對稱軸

為直線.

(1)當(dāng)c=T,，=一3時，求拋物線與y軸交點坐標(biāo)，并直接寫出〃?，〃的大小關(guān)系；

(2)若機<c<〃，求，的取值范圍；

(3)若點(A0M)在拋物線上，且滿足-