2023年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)立達中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2023年江蘇省蘇州市姑蘇區(qū)立達中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的

一項）

1.下面幾個數(shù)中最大的是（）

A.nB.3C.1—71D.-7T2

2.茗=1,則a=（）

A.-1B.1C.±1D.0

3.近日從國家統(tǒng)計局獲悉，2022年，蘇州全體居民人均可支配收入首邊突破7萬元大

關(guān)，達到70819元，則數(shù)據(jù)70819用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.7.0819x103B.0.70819x10sC.7.0819x104D.70.819x103

4.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣：連續(xù)拋4次，硬幣落地時都是正面朝上，如果第5次拋拋擲

這枚硬幣，那么正面朝上的概率為（）

A.JB.1C.ID.1

5.已知一個圓錐側(cè)面展開圖是一個半圓，其底面圓半徑為1,則該圓錐母線長為（）

A.1B.2C.3D.4

6.關(guān)于％的方程（％—1）（%-2）-ni?=o的根的情況是（）

A.有一正一負兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個正的不相等實數(shù)根

C.至多有一個正的實數(shù)根D.至少有一個正的實數(shù)根

7.如圖，直線y=kx+4分別交坐標軸于點C、D,x軸上一點4關(guān)于直線CD的對稱點4

坐標為年,4）,則k的值為（）

A.B.-2C.D.

534

8.如圖，一塊正方形地磚的圖案是由4個全等的五邊

形和1個小正方形組成的，已知小正方形的面積和五邊

形的面積相等，并且圖中線段a的長度為「百-2,則這塊地磚的面積為（）

A.50

B.40

C.30

D.20

二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）

9.-3的相反數(shù)是.

10.因式分解：a2—2a=.

11.下列一組數(shù)據(jù)5,6,5,6,4,4的平均數(shù)是.

12.方程組的解是.

13.已知正六邊形的內(nèi)切圓半徑為C，則它的周長為.

14.已知點P是半徑為4的。。上一點，平面上一點Q到點P的距離為2,則線段OQ的長

度a的范圍為.

15.如圖，。、B兩點是線段AC的三等分點，以AB為直徑作。。，點E為。。上一點，

連接CE,交。。于點。，連接8C,若點。恰為線段CE中點，則tanzABD為.

16.如圖，已知RtAZBC的兩條直角邊4C=4,BC=3,

將RtaABC繞著直角邊AC中點G旋轉(zhuǎn)，得到ADEF,若A

OEF的銳角頂點。恰好落在AABC的斜邊4B上，斜邊DE與

AC交于點H,貝UCH=.

三、解答題（本大題共11小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步

驟）

17.（本小題5.0分）

計算：-11-0+1）0+5（-3）2.

18.（本小題5.0分）

解不等式組

19.（本小題6.0分）

先化簡再求值：（1+々）.與，其中x=C—2.

20.（本小題6.0分）

小明將三張正面分別印有“范”、“文”、“正”字樣的卡片（卡片的顏色、形狀、大

小、質(zhì)地都相同）背面朝上、洗勻.

（1）若從中任意抽取1張，抽得卡片上的字樣恰好為“文”的概率是.

（2）若先從中任意抽取1張，記錄后放回，洗勻，再從中任意抽取1張，求兩次抽取的卡

片字樣不同的概率.（請用樹狀圖或列表的方法求解）

21.（本小題6.0分）

2023年蘇州文博會于4月17日至4月28日在蘇州國際博覽中心舉行，我校氣象興趣小組

的同學(xué)們想估計一下蘇州今年4月份日平均氣溫情況他們收集了蘇州市近五年來4月份

每天的日平均氣溫，從中隨機抽取了60天的日平均氣溫，并繪制成如下統(tǒng)計圖：

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（2）若日平均氣溫在18K至21國的范圍內(nèi)（包括18汽和21冤）為“舒適溫度”，請估計蘇

州今年4月份日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù).

22.（本小題6.0分）

如圖，點4、B、C、D在一條直線上，EA//FB,EC//FD,4B=CD.求證：EF//AD.

E

23.(本小題8.0分)

如圖，從燈塔C處觀測輪船4、B的位置，測得輪船4在燈塔C北偏西a的方向，輪船B在

燈塔C北偏東S的方向，且AC=2/2海里，=海里，已知cosa=?、sinp=

如圖，以x軸上長為1的線段為寬作矩形4BCD,矩形長4。、BC交直線y=—x+3于

點八E,反比例函數(shù)y=；(x>0)的圖象正好經(jīng)過點F、E.

(1)線段EF長為；

(2)求k值.

25.(本小題10.0分)

我們給出定義：如果三角形存在兩個內(nèi)角a與/?滿足2a+夕=90。，那么我們稱這樣的三

角形為“準互余三角形”.已知AaBC為“準互余三角形”，并且乙4>NB>ZC.

(1)如圖①，若NB=60。且4B=/3,求邊BC的長；

(2)如圖②，>45°,以邊4c為直徑作。0,交BC于點。，若BD=2,BC=7,試

26.(本小題10.0分)

如圖，二次函數(shù)的圖象分別交x軸于點4(—1,0)、點8(碼0),交y軸于點C(0,/n)(其中m>

1),連接AC、BC,點D為△ABC的外心，連接力D、BD、CD.

(1)這條拋物線的表達式為(用m的代數(shù)式表示)；

(2)若△CDB的面積為.，請求出ni的值；

(3)在(2)的條件下，連接OD,在直線BC上是否存在一點P,使得以點B、D、P為頂點

的三角形和△4。。相似，若存在，求出點P的縱坐標，若不存在，請說明理由.

27.(本小題12.0分)

如圖①，點E為矩形4BCD中較短邊AB上一任意點，連接DE,在4。上方以DE為邊作正

方形DEFG,分別連接CE、CF、CG,F與BC交于點H,若△ECD的面積y1與BE的長度x

的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖②中直線的一部分，正方形DEFG的面積丫2與BE的長度x的函數(shù)

關(guān)系的圖象如圖②中拋物線的一部分.

⑴①矩形4BCD的面積=:

②求出矩形4BCD的周長；

(2)E、C、G三點能否共線，若能，求出此時x的值，若不能，請說明理由；

(3)連接FB,令^BFE的面積為Si，4CEF的面積為S2，當x為間值時，弱取得最大值?

此時NFCB和NCGC是否相等？請說明理由.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：3<7T<4,

—4<—7T<—3,9<兀2<16,

-3<1―71<—2,—16<—兀？<—9,

7T>3>1—7r>—n2,

???所給的幾個數(shù)中最大的是兀.

故選：A.

首先比較出兀、1-兀、-*的取值范圍，然后根據(jù)有理數(shù)大小比較的方法判斷即可.

此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①正數(shù)都大于0;②負

數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小.

2.【答案】B

【解析】解：???，7=1,

???a=I2=1.

故選：B.

根據(jù)a=（，W）2,求出a的值即可.

此題主要考查了算術(shù)平方根的含義和求法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：a=（，W）2.

3.【答案】C

【解析】解：70819=7.0819x104.

故選：C.

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axIO71的形式，其中1<⑷<io,正為整數(shù).確定n的值時，要看

把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對

值210時，九是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，n是負整數(shù).

此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式，其中1<|a|<

10,n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.

4.【答案】D

【解析】解：?.?概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，在大量重復(fù)實驗中，如果事件4發(fā)生的頻率

:會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件4的概率，

.??拋擲硬幣4次的結(jié)果不是事件的概率，

???拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣只有兩種情況：正面朝上或反面朝上，

???硬幣正面朝上的概率都是今

故選：D.

直接利用概率的意義分析得出答案.

此題考查了概率的意義以及概率公式，明確概率的意義以及概率的計算方法是解答的關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】解：設(shè)該圓錐母線長為E,

根據(jù)題意得27rxi=嚓手，

loU

解得2=2,

即該圓錐母線長為2.

故選：B.

設(shè)該圓錐母線長為I,由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周

長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)弧長公式得到27rxi=竺寒型，然后解方程即

loU

可.

本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長,

扇形的半徑等于圓錐的母線長.

6.【答案】D

【解析】解：方程整理得：x2-3x+2-m2=0,

4=9—4(2—m2)—4m2+1>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根，

???方程的兩個根和為3>0,

...至少有一個正的實數(shù)根，

故選：D.

方程整理后，表示出根的判別式，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷即可.

此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解：連接44',交于點P,連接4。、4。、

A'C,

??,直線y=kx+4分別交坐標軸于點C、D,

■■■D(0,4),

???點4坐標為年,4),

：.A'D//AC,

1o

AA'D=y,OD=4,乙A'DP=4ACP,

由題意可知，AD=A'D,AC=A'C,CD垂直平分44',

PA=PA',

?:Z.A'PD=乙APC,

-.AA'PD^^APC(ASA),

.-.A'D=AC,

???四邊形4n4'C是菱形，

13

vAD^AC=y,

???OA=VAD2-OD2=I，

???0C=O4+54C13=/￥=6,

???C(6,0),

??,直線y=kx+4分別交坐標軸于點C、D,

???6k+4=0,

解得k=_宗

故選：c.

連接44',交CD于點P,連接2D、AD、AC,與4'、D的坐標可知AD〃4C,即可得到A。=y,

OD=4,乙4'0P=乙4CP,與對稱的性質(zhì)得到4。=A'D,AC=A'C,CD垂直平分44',證

得△4'PD三△APC(4S4),即可證得四邊形ALM'C是菱形，得到ZD=4C=苧，利用勾股定

理求得04,即可求得點C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求得k的值.

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，坐標與圖形變化-對稱，菱形的判定和性質(zhì)，勾

股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求得點C的坐標是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：如圖,

根據(jù)題意易知，點。為正方形4BCD,EFGH的中心,

AS〉EOF=4$正方形石尸6”，口近方磔FGH=4sAEOF,

S正方形ABCD=正方形EFGH，

,?S五邊形AMFEP=S正方^^EFGH，

???S五邊形AMFEP=4sAEOF，

1

vS五邊形AMFEP~正方形ABCD—S&EOF'

：?aS正方形ABCD=5sAEOF，

設(shè)正方形/BCD的邊長為2x,則OF=OE=X-Q,

A-2x-2%=I(%—a)2,

解得：x=(5±登氏

va—y/10—2，

X=E或7飛-20,

???Z￡^0<a=/w-2，

???x=V10,

S正方形ABCD=2V~inx2V_10=40.

故選：B.

如圖，根據(jù)題意易知，點。為正方形4BCD,EFGH的中心，利用圖中的面積關(guān)系最終可推出

[s正方形ABCD=5SAEOF，設(shè)正方形4BCD的邊長為2%,則OF=OE=x-a,以此可得方程"?

2x-2x=l(x-a)2,借此方程，再將a的值代入即可求解.

本題主要考查全等圖形、正方形的性質(zhì)、二次根式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，利用已知

條件，得到各部分圖形之間的面積關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵.

9.【答案】3

【解析】

【分析】

本題考查了相反數(shù)的意義，一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號.一個正數(shù)的相反

數(shù)是負數(shù)，一個負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，。的相反數(shù)是0.

一個數(shù)的相反數(shù)就是在這個數(shù)前面添上“-”號.根據(jù)此解答即可.

【解答】

解：一(一3)=3,

故-3的相反數(shù)是3.

故答案為：3.

10.【答案】a(a—2)

【解析】

解：a?-2a=a(a—2).

故答案為：a(a—2).

【分析】本題考查提公因式法-因式分解，較為簡單，找準公因式是解題的關(guān)鍵.

先確定公因式是a,然后提取公因式即可.

11.【答案】5

【解析】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5+6+5券+4+4=5.

故答案為：5.

求出這組數(shù)據(jù)的和，再除以6即可.

本題考查了算術(shù)平均數(shù)，掌握算術(shù)平均數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵.

12.【答案北：j

【解析】解：I、2y=然

出+y=4②

①+②X2得：5%=10,

解得：%=2,

將％=2代入①得2—2y=2,

解得：y=0,

則方程組的解為zI，

故答案沏U：o.

方程組利用加減消元法求出解即可.

此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元

法.

13.【答案】12

【解析】解：如圖，連接。力、OB,0G；

???六邊形4BCDEF是邊長等于正六邊形的半徑，設(shè)正六邊形的半徑為

a,

0AB是等邊三角形，

0A=AB=a,

0G=0A-sm60°=ax/=C，解得a=2,

二它的周長=6a=12.

故答案為：12.

根據(jù)題意畫出圖形，利用正六邊形中的等邊三角形的性質(zhì)求解即可.

此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)已知得出六邊形

力BCDE尸是邊長等于正六邊形的半徑是解題關(guān)鍵.

14.【答案】2<a<6

【解析】解：如圖，當點Q在圓外且。，Q,P三點共線時，線

段0Q的長度的最大，最大值為4+2=6；/「X''1

當點Q在圓內(nèi)且0,Q,P三點共線時，線段。Q的長度的最小，/

最小值為4一2=2,IO2]

所以，線段。Q的長度a的范圍為2WaW6.\/

故答案為：2WaW6.7----------'

如圖，當點Q在圓外且0,Q,P三點共線時，線段0Q的長度的最大，當點Q在圓內(nèi)且0,Q,

P三點共線時，線段0Q的長度的最小，據(jù)此得到結(jié)論.

本題考查了點與圓的位置關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】/I5

【解析】解：連接0E、AD,如圖,

設(shè)。。的半徑為r,

???。、B兩點是線段4c的三等分點,

OB=CB,

???點。恰為線段CE中點，

??.BD為A0CE的中位線，

???BD=；0E=%,

???4B為直徑,

???AADB=90°,

在Rt△ABD中，4。=VAB2-BD2=J(2r)2-(ir)2=^r，

???tanz.ABD=d=-i—=V15.

DD_->?

2

故答案為：V15.

連接。￡、AD,如圖，設(shè)。。的半徑為r,先證明BD為AOCE的中位線，貝再根

據(jù)圓周角定理得到NADB=90°,再利用勾股定理計算出4。=警r,然后根據(jù)正切的定義

求解.

本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所

對的圓心角的一半.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.也

考查了解直角三角形.

16.【答案】||

【解析】解：連接CD,

■：AC=4,BC=3,

由勾股定理得，AC=5,

???點G為4C的中點,

???AG=CG,

???△DEF的銳角頂點D恰好落在4/8C的斜邊上,

：?AG=DG,

Z.A=Z.ADG,(GCD=乙GDC,

/.z^DC=ixl80°=90°,

ADAC

cosA

AC~AB

AD4

'T=5?

??.AD=y,

VZ.AHD=Z.DHG,乙HDG=LHAD,

HDG~bHAD,

.DG_PH_HG_2_5

??通=源—而一亙二不

5

設(shè)GH=5%,則DH=8%,AH=5x+2,

.8x_5

'5x+2=8,

解得X=蔡，

經(jīng)檢驗，x=|^是方程的解，

AH=5%+2=甯，

...12828

■■ruCH=ArC-AHu=4-—=~,

故答案為:

連接CD,根據(jù)4G=GD=CG,可說明乙4DC=90°,從而求出AD的長，再利用△HDGfHAD,

DGDHHG25,

得而=無？=而=逅=由設(shè)GH=5x,貝ijDH=8x,AH=5x+2,進而得出％的值?

5

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，證明△HDGSA

H4D是解決問題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：|「_1|_(兀+1)。+J(-3)2

=<7-1-1+3

=V-2+1.

【解析】首先計算零指數(shù)事、開平方和絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可.

此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算

一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號

里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

18.【答案】解：卜為j幺,

(2%-5>0(2)

解不等式①得：x〈一2,

解不等式②得：%>2.5,

二原不等式組無解.

【解析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答.

本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：原式=七號,(x+2)(：-2)

x-2x-1

=X+2,

當x=，^一2時，

原式=0-2+2=y/~3.

【解析】先計算括號內(nèi)的，再算乘法，最后約分即可化簡原式，將X的值代入可得答案.

本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】:

【解析】解：(1)若從中任意抽取1張，抽得卡片上的字樣恰好為“文”的概率是今

故答案為：：；

(2)將三張正面分別印有“范”、“文”、“正”字樣的卡片分別記為A、B、C,

畫樹狀圖如下：

開始

ABC

小人小

ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片字樣不同的結(jié)果有6種，

???兩次抽取的卡片字樣不同的概率為，=

(1)直接由概率公式求解即可；

(2)畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次抽取的卡片字樣不同的結(jié)果有6種，再由概

率公式求解即可.

本題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合

兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.【答案】19.519

【解析】解：⑴這60天的日平均氣溫的中位數(shù)為史羅=19.5,

眾數(shù)為19,

故答案為:19.5,19；

12+13+9+6x30=20(天),

(2)???60

???估計蘇州今年4月份日平均氣溫為“舒適溫度”的天數(shù)大約為20天.

(1)根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念求解即可；

(2)用樣本中氣溫在18冤?21冤的范圍內(nèi)的天數(shù)所占比例乘以4月份的天數(shù)即可.

本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、樣本估計總體，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)

叫做眾數(shù)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則

處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

22.【答案】證明：???EA//BF,EC//FD,

???Z.A=乙FBD,Z-ACE=乙D,

???AB=CD,

:.AB+BC=CD+BC,

即4c=BD,

在△AEC和中，

Z-A=Z.FBD

AC=BD,

Z-ACE=乙D

???EC=FD,

-EC//FD,

???四邊形EFDC為平行四邊形，

:.EF//CD,

???EF//AD.

【解析】由平行線的性質(zhì)得=Z/1CE=ZD,再證AC=BO,然后證

8FDQ4S4),然后利用平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論.

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角

形的判定方法，屬于中考?？碱}型.

23.【答案】解：過點4、B分別作東西方向的垂線

于點E、D,作8FLAE于點F,

-.AE//CH//BD,

???Z.CAE=Z.ACH=a,乙CBD=乙BCH=0,

則四邊形尸ED8為矩形，

.??EF—BD,FB=ED,

在RtZkAEC中，Z-CAE=a,

???a=45°,

"AC=2n海里，

AE=CE=94c=2(海里)，

在RtABCC中，乙CBD=B，=海里，

CD=sinp-BC=與尸x=3(海里)，

由勾股定理得，BC2=BD2+CD2,即(nU)2=8。2+32,

解得，BD=1,

AF=AE-EF=1(海里)，BF=EC+CD=2+3=5(海里)，

則AB=VAF2+BF2=VI2+52=726(海里),

答：A,B兩艘輪船之間的距離為中海里.

【解析】過點4、B分別作東西方向的垂線于點E、D,作BF14E于點F,根據(jù)等腰直角三

角形的性質(zhì)分別求出4E、CE,根據(jù)正切的定義分別求出BD、CD,根據(jù)勾股定理計算，得

到答案.

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的

定義是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】y/~2

【解析】解：(1)：點八E在直線y=—x+3圖象上，

設(shè)尸(m,-m+3),則E(m+1,—(m+1)+3),即(m+1,-m+2)

EF—yj(m+1—m)2+(—m+2+m—3)2—y/~2.

故答案為：A/-2：

(2)?.?反比例函數(shù)y=5(x>0)的圖象正好經(jīng)過點F、E,

???k=m(—m+3)=(m+1)(—m+2),

解得m=1,

???k=m(—m+3)=1x2=2.

(1)表示出E、F的坐標，然后利用勾股定理即可求得EF的長度；

(2)根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到k=m(-m+3)=(m+1)(—m+2),解得即

可.

本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)

法求反比例函數(shù)的解析式，求線段的長度，正確表示出點的坐標是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】解：(1)：NBAC>4B>44CB,A/IBC為“準互余三角形”，

2zC+Z.B=90°,

即2乙4cB4-60°=

AAH=y/-3BH=|,

v乙BCD=90°一乙B=30°,

ca平分NBCD,

3

???AD=AH=P

???BD=q+1，

在Rt△BCD中，???乙BCD=30°,

BC=2BD=2/3+3;

(2)延長84交。。于E點，連接CE、AD,如圖②，

AC為直徑，

4AEC=^ADC=90°,

v乙B>45°,△ABC為“準互余三角形”，

244cB+ZB=90°,

Z.B+乙BCE=90°,

???Z-ACB=Z.ACEy

即C4平分NBCE,

???AE=AD,

vBD=2,BC=7,

CD=5,

v/.CAE=Z.CAD,

???CE=CD=5,

在Rt△BCE中，BE=VBC2-CE2=V72-52=2/7,

設(shè)AE=x,貝“AB=2V~^—x,AD=x,

在RtAABD中，???BD2+AD2=AB2,

:.22+x2=(2AA~6-x)2?

解得X=亨，

O

在&△ACD中，=52+(毛)2=與，

???O0的面積=7TX^AC2=號九

【解析】(1)利用新定義計算出乙4cB=15°,過4點作4"1BC于H點，過C點作CD1AB于

D點,如圖①,先計算出BH=?,則4H=CBH=I，再證明/BCD=30°,CA平分4BCD,

根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AD=A"=|，所以BD=<3+|,然后在Rt△BCD中利用含30度

直角三角形三邊的關(guān)系得到BC的長；

(2)延長BA交。。于E點，連接CE、AD,如圖②，利用圓周角定理得到AC為直徑，再利用

新定義計算出乙4cB=N4CE,即C4平分NBCE,所以4E=4D,接著證明NC4E=4C4D得

到CE=CD=5,于是利用勾股定理可計算出BE=2，石，設(shè)4E=x,則4B=24一x，

AD=x,在Rt△4BD中得到22+久2=(2<6-久下，解方程得到4。=芽,然后在Rt△ACD

中利用勾股定理計算出/C,從而得到。。的面積.

本題考查了圓周角定理：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直

徑.也考查了角平分線的性質(zhì)和勾股定理.

26.［答案］y=—x2+(m—l)x+m

【解析】解：(1)設(shè)拋物線的表達式為y=Q(x+l)(%—m),將C(0,m)代入得：

m=—ma,

vm>1,

??a=—lf

：?y=—(x+1)(%—m)=—x24-(m—l)x+m；

?,?拋物線的表達式為y=-%2+(m-l)x+m；

故答案為：y——x24-(m—l)x+m；

(2)連接。。并延長交8C于E,過。作DH1OB于H,如圖：

vB(m,0),C(0,m),

OB=OC=m,ABOC是等腰直角三角形,

???。在線段BC的中垂線上，

v。為△4BC的外心，

BD=CD,

。在線段BC的中垂線上，

二直線OE是線段BC的中垂線，

:?BE=CE,OE1BC,B與。關(guān)于直線OE對稱，

:ABOE,△ODH是等腰直角三角形，S^BDE=|SABCD=

???OH=DH,

D的橫坐標與縱坐標相等，

二直線OE解析式為y=x,

■■。為△力BC的外心，

:.AD=BD,

?,?”是的中點，

???/(-1,0)、B(mf0),

即。”=喂

c/m—1m-1.

'??S^BDE=S^BOE~S^BOD—2^^BOC—S^BOD，

\T5111m-1

:，——=-x-mz7--m----?

42222

解得m=V~~5;

(3)在直線BC上存在一點P,使得以點8、D、P為頂點的三角形和△A。。相似，理由如下:

由(2)知=45°=乙CBO,m=

???B(C0),C(0,H)

???直線BC解析式為y=—%+口,/-DAO+^ADO=乙DBO+乙DBC=45°,

???AD=BD,

：?Z-DAO=乙DBO,

???Z-ADO=乙DBC,

要使以點B、D、P為頂點的三角形和△力。。相似，只需黑=黑或黑=黑且P在射線BC上,

DUCDCDDU

嘲嚙時，如圖：

y

設(shè)P（t,—t+>/~~5）,tVV_5>

B（C,O）,0（話口與》

■■AD=y/~3,BD=y/~3,DO=丫。葭1J（_仁）2（_門）2=「（仁-t）,

pB=t+t

.6:2.

"口QC-t）

解得t=空口，

p的縱坐標為與1;

^=3￡5+3；

.-.p的縱坐標為畔2;

4

綜上所述，P的縱坐標為壬1或紅藥.

24

(1)設(shè)拋物線的表達式為y=a(x+l)(x-m),將C(0,m)代入可求出拋物線的表達式為y=

-x2+(m-l)x+m；

(2)連接。。并延長交BC于E,過。作。HJ.。8于"，由B(m,0),C(0,m),。為AABC的外心，

可得直線0E是線段BC的中垂線，即可得ABOE,A00H是等腰直角三角形，S?E=

gS.C0=?，從而知直線OE解析式為y=，由4(一1,0)、B(?n,0),得H(9,0),即°"=

—故。(三可得=Jx即可解得m=/可；

，乙乙42222

(3)由(2)知4。。8=45。=4(78。，m=<5，得直線BC解析式為y=-x+仁，44)0=

乙DBC,要使以點B、。、P為頂點的三角形和△AOD相似，只需黑=卷或若=黑且P在射

DUrDrDDU

線BC上，當器=需時，設(shè)P(t,T+0t<仁，育=-7=￡￡_,可得P的縱坐標為告L；

當?shù)?黑時，同理可得P的縱坐標為紅

rDDU4

本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，三角形外心，三角形相似的

判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點坐標和相關(guān)線段的長度.

27.【答案】12

【解析】解：(1)①由圖②知，△ECD的面積為6,

：.^CD-AD=6,

CDAD=12,

???矩形4BCD的面積為12；

故答案為：12；

②由圖②知，正方形DEFG的面積最大為25,此時邊DE最大，E與B重合，

.-.AB2+AD2=25,

由矩形4BCD,結(jié)合①可知4B?AD=CC?AD=12,

???AB+AD=VAB2+AD2+2AB-AD=V25+2X12=7.

矩形4BCD的周長為14；

(2)E、C、G三點不能共線，理由如下：

由(1)知AB+AD=7,AB-AD=12,

AB=3,AD=4Q4B為矩形ABCD的較短邊，AB=4,AD=3已舍去)，

以4為原點，4。所在直線為x軸建立直角坐標系，過G作GK1CC交OC延長線于K,如圖:

???Z-KDG=90°-乙EDC=Z.EDAf乙K=90°=Z.EAD,DE=DG,

???△DKG三△ZX4E(44S),

DK=AD=4,KG=AE9

設(shè)4E=m,則KG=m,

:.E(0,m),G(4+?n,4),

?,?直線EG函數(shù)表達式為y=+m,

若C(4,3)在直線EG上，則3=W^x4+m,

變形整理得：m2-3m+4=0,

???/=(-3)2—4X4=-7V0,

???C(4,3)不可能滿足y=籍+m,

???C不可能在直線EG上，故&C、G三點不能共線;

(3)過F作/Tly軸于T,于如圖：

???A.TEF=90°-/.AED=Z.ADE,乙ETF=90°=^LEAD,EF=ED,

EFT=LDEALAAS')f

/.TF=AE,TE=AD=4,

vBE=x,

：.AE=AB-BE=3—x=TF,

vBH//TF,

BHBEBHx

—=—即nn---=—,

TFTE3-x4

y23

???BH=-7+a，