空間幾何向量法之點(diǎn)到平面的距離

空間幾何向量法之點(diǎn)到平面得距離1、要求一個(gè)點(diǎn)到平面得距離，可以分為三個(gè)步驟:找出從該點(diǎn)出發(fā)得平面得任意一條斜線(xiàn)段對(duì)應(yīng)得向量；求出該平面得法向量;求出法向量與斜線(xiàn)段對(duì)應(yīng)得向量得數(shù)量積得絕對(duì)值，再除以法向量得模，這就就是該店到平面得距離。例子：點(diǎn)到面得距離（注：AB為點(diǎn)Ａ得斜向量，就是面得法向量，點(diǎn)就是面內(nèi)任意一點(diǎn)。）2、求立體幾何體積(向量法)體積公式：1、柱體體積公式：2、椎體體積公式:3、球體體積公式:課后練習(xí)題zOADCBxyM例題:在三棱錐ＢzOADCBxyM要求平面外一點(diǎn)P到平面得距離，可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,則點(diǎn)Ｐ到平面得距離即為d＝建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A（)，B（)，Ｃ（），Ｄ(∴，，設(shè)＝(x,ｙ,ｚ）為平面得一個(gè)法向量,則∴,可取代入得,，即點(diǎn)D到平面ABC得距離就是。1、已知A（2,3,1）、B（4，1,２）、C（6,３，7）、D（－５，—4,8）就是空間不共面得四點(diǎn),求點(diǎn)D到平面ABC得距離、解：設(shè)就是平面ＡBC得一個(gè)法向量，則由及，得，取x=３，得，于就是點(diǎn)Ｄ到平面ＡＢＣ得距離為ｄ===、2、已知四邊形ABCＤ就是邊長(zhǎng)為4得正方形,E、F分別就是AＢ與ＡD得中點(diǎn)，GC⊥平面ABＣD，且GＣ=2，求點(diǎn)B到平面EＦＧ得距離、解：建立如圖2所示得空間直角坐標(biāo)系C—xyｚ，則G(0，0，2），E（2,4,０），B（0,４，0)，F(xiàn)（４，2,0），∴＝(2，4,—２)，=(４，2,—2)，=（2，0,0）、設(shè)平面EFG得一個(gè)法向量為,則由及，得，?。?1，得,于就是點(diǎn)B到平面EFG得距離為d＝=、3、在棱長(zhǎng)為１得正方體ＡBCD－ＡBCD中,求點(diǎn)C到平面ABD得距離。解:建立如圖3所示得空間直角坐標(biāo)系D－xｙｚ，則A（1,0,1)，B(1,1,０），Ｃ(０，１，1）、設(shè)平面ABD得一個(gè)法向量為，則由及,得，?。?—1，得=（—1,1，１）,于就是點(diǎn)C到平面ＡBＤ得距離為d=＝=、4、如圖4，四面體ＡBＣＤ中，O、Ｅ分別就是BD、ＢＣ得中點(diǎn)，ＣA=CB=CＤ=BＤ=2，AＢ=AD=，求點(diǎn)E到平面ＡCD得距離、解：由題設(shè)易知AO⊥BD，OＣ⊥BＤ，∴OA=1,OC=,∴OA+ＯC=AC，∴∠AOC＝90,即ＯA⊥OC、以O(shè)為原點(diǎn)，OＢ、OC、OＡ所在直線(xiàn)為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(0，0，1），B（1，0,0）,C（0,,0)，D(—1,０，0）,∴E(，,0)，=（-1,0，-1），=（０,，-1），=（—，-,０)、設(shè)平面AＣＤ得一個(gè)法向量為，則由及,得，取z=,得＝(－,１，),于就是點(diǎn)E到平面ＡCD得距離為d=＝=、5、如圖,在直三棱柱ABC－A1B1Ｃ1中，∠ABC=9０°，AB＝BC=AA1＝2,Ｍ、N分別就是A1Ｃ１、BC1得中點(diǎn)．（Ⅰ）求證:BＣ１⊥平面Ａ1Ｂ1C；(Ⅱ）求證:MＮ∥平面A1ＡＢＢ1；（Ⅲ）求三棱錐M－BC１B1得體積。(Ⅰ)∵ＡＢC－A1B1C1就是直三棱柱,∴BB1⊥平面A1Ｂ1C1,∴B1Ｂ⊥A1B1．又B1C1⊥Ａ１B1,∴A１Ｂ1⊥平面BCＣ1B1，∴BC1⊥A1B1.∵BB１=ＣB=2,∴BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面Ａ1Ｂ1Ｃ。(Ⅱ)連接A1Ｂ,由Ｍ、N分別為A１C1、BＣ1得中點(diǎn)，得MＮ∥Ａ1B,又Ａ１B平面A1ＡBB１,MN平面A1ＡＢB１,∴MN∥平面A1AＢB1。(Ⅲ）取Ｃ1B１中點(diǎn)Ｈ,連結(jié)ＭH.∵M(jìn)就是A1Ｃ1得中點(diǎn)，∴ＭH∥A1B１,又Ａ1B１⊥平面BCC1B1,∴MH⊥平面BCC1B1,∴ＭH就是三棱錐M—BC1B1得高,∴三棱錐Ｍ—ＢC1Ｂ1得體積6、如圖，在三棱柱中，,，