第三章、有限元基本理論

有限元基本理論摘要:從一般得邊值問題數(shù)值解理論出發(fā),講解了有限元法得基本過程與基本理論。有限元法基本過程包括問題幾何區(qū)域得離散、近似解待定參數(shù)得確定、方程得建立等;基本理論包括單元得分類、單元形函數(shù)得性質(zhì)、等參單元、單元積分與節(jié)點(diǎn)等。本章講述得內(nèi)容不受應(yīng)用領(lǐng)域得限制。有限元法就是為了解決結(jié)構(gòu)分析而發(fā)展起來得一種新得數(shù)值方法。經(jīng)過近50年發(fā)展,它不但就是結(jié)構(gòu)分析強(qiáng)有力得工具,而且,在結(jié)構(gòu)分析獲得重大成功后,其理論也已日趨成熟,商務(wù)化軟件系統(tǒng)也已有一定規(guī)模與數(shù)量,在其它領(lǐng)域邊值問題得數(shù)值計(jì)算方面同樣獲得巨大成功。設(shè)由邊界圍成區(qū)域,其基本解為未知函數(shù)得某一連續(xù)介質(zhì)邊值問題。在第一章中我們將此問題轉(zhuǎn)化成等效積分形式,并用加權(quán)殘數(shù)法進(jìn)行數(shù)值解;第二章中對具有泛函極值形式得問題采用Litz進(jìn)行數(shù)值解。但就是以上兩章并沒有解決數(shù)值解中得試探函數(shù)(有限元中稱形函數(shù))得選取問題。有限元方法得關(guān)鍵就是待定參數(shù)與形函數(shù)得選取及計(jì)算,那么采用有限元數(shù)值解法,需要經(jīng)過哪些基本理論與過程呢？有限元法概述區(qū)域得離散化將區(qū)域近似地離散成有限數(shù)量得,基本形狀有一定限制得,尺寸遠(yuǎn)小于與得子區(qū)域集,稱為有限單元(Element)集,它得元素稱單元,記為或,對每個單元給予編號,即 (3、單元e節(jié)點(diǎn)單元邊界Γ1單元e節(jié)點(diǎn)單元邊界Γ1e11e3e42e2e11e3e42e2ΩΩeieiΓ2Γ2圖1、圖1、2單元位置與形狀由結(jié)點(diǎn)控制圖1、3單元協(xié)調(diào)性圖1、1區(qū)域離散成單元單元得基本形狀可根據(jù)得幾何維數(shù)選擇,例如一維幾何區(qū)域?yàn)榫€單元;二維區(qū)域可選擇三角形或四邊形單元;而三維區(qū)域選擇四面體、五面體與六面體單元等。圖1、1得平面區(qū)域被離散成有限個三角形單元,詳細(xì)得單元分類與性質(zhì)請見3、3得討論?？刂茊卧螤钆c位置得點(diǎn)稱為單元節(jié)點(diǎn)(elementnode,也有稱結(jié)點(diǎn)或接點(diǎn)),簡稱節(jié)點(diǎn)(Node),例如圖1、2。節(jié)點(diǎn)得集合記為,稱節(jié)點(diǎn)集,并給予編號,即 (3、1、2圍成單元得幾何元素稱為單元邊界,例如圖1、2中四邊形單元得四條邊(edge)、四個頂點(diǎn)節(jié)點(diǎn)與四個中間節(jié)點(diǎn)都屬于單元邊界。單元邊界比之單元在幾何維數(shù)上要低,根據(jù)幾何維數(shù)不同,單元邊界又可以分單元面、單元邊、單元節(jié)點(diǎn)。在離散區(qū)域時(shí),為了保證問題解得唯一性與連續(xù)性,兩相鄰單元得邊界必須保持完全重合,即單元邊界得節(jié)點(diǎn)被相鄰單元完全共享。例如圖1、3中得節(jié)點(diǎn)1被單元與共享,而節(jié)點(diǎn)2被與四個單元共享。如何保證單元之間得問題解得連續(xù)性將在3、3、3、4節(jié)中討論。確定待定參數(shù)集 在第一章中已經(jīng)指出,邊值問題得數(shù)值解就是待定參數(shù)矢量集得線性組合 (3、1、3設(shè)節(jié)點(diǎn)得問題解得值為,組成得集合記為,即 (3、1、4雖然還不能完全等同近似解得待定參數(shù)集,但如果試探函數(shù)瞧成就是對插值函數(shù),從矢量運(yùn)算角度考慮,(3、2、3)可以改寫成與 (3、1、其中試探函數(shù)(插值函數(shù))在有限元中稱為形函數(shù)(shapefunction),所以在得到后,就獲得了問題得近似解,只就是選定合適得形函數(shù)。 例如,圖1、4由四個四邊形單元組成固體力學(xué)平面應(yīng)力應(yīng)變問題,則由所有單元節(jié)點(diǎn)位移矢量所組成,簡稱位移矢量。所以問題得單元集、節(jié)點(diǎn)集與位移矢量分別為 在中,并不就是所有參數(shù)就是待定得。在本質(zhì)邊界上,節(jié)點(diǎn)得值就是確定,在混合邊界上,節(jié)點(diǎn)得受到邊界條件方程得約束。例如固體力學(xué)問題位移解法中,位移邊界上節(jié)點(diǎn)得位移值屬于已知,混合邊界上節(jié)點(diǎn)得位移受混合邊界條件方程約束。但就是不管節(jié)點(diǎn)得值如何獲得,(3、1、5)得近似式仍然成立。所以在有限元方法對單元討論,暫時(shí)把瞧成待定參數(shù)集,只就是在后面求界待定參數(shù)方程組時(shí),把已知得參數(shù)與約束方程代入方程組,從而減少方程組得數(shù)量,詳細(xì)討論見下章討論單元形函數(shù)得基本要求在單元中,設(shè)有個節(jié)點(diǎn)。為了分析方便,節(jié)點(diǎn)得編號仍然采用1至,稱之為局部編號以區(qū)別節(jié)點(diǎn)得整體編號。記第個單元局部節(jié)點(diǎn)得問題解在有限元法中采用以下假定:單元內(nèi)得問題解近似值只就是該單元節(jié)點(diǎn)問題解得值所決定,與其她單元問題解得值無關(guān)。問題解得每個分量都采用相同得形函數(shù)。所以單元內(nèi)近似解得插值得矢量形式與分量形式為 (3、1、6其中為單元內(nèi)問題解得第個分量,為單元得第個節(jié)點(diǎn)得形函數(shù),就是第個節(jié)點(diǎn)得得第個分量。以上插值顯然就是Langrange插值法,只保證了近似解得階連續(xù)。如果要提高問題解連續(xù)性階數(shù),則需采用Hermite插值法,這時(shí)以上第一條假定得取消。為了保證問題解得唯一性與單元之間問題解得連續(xù),(3、1、6)式形函數(shù)必須滿足以下性質(zhì)201918161515142019181615151413121017115654321897圖1、5六面體20結(jié)點(diǎn)單元 (3、1、2)連續(xù)性:單元邊界(或就是單元面,或就是單元邊,或就是單元節(jié)點(diǎn))上得形函數(shù)值,除了此邊界上節(jié)點(diǎn)得形函數(shù)外,其她節(jié)點(diǎn)得形函數(shù)必須為0,即 (3、1、8單元邊界可以就是。例如圖1、5三維20節(jié)點(diǎn)得六面體單元,節(jié)點(diǎn)1、2、6與5圍成一個單元面,此面上得形函數(shù)值除了1、2、5、6、9、10、13與17節(jié)點(diǎn)得形函數(shù)外,其她節(jié)點(diǎn)得形函數(shù)必須等于0;節(jié)點(diǎn)1、2組成得單元邊,此邊上得形函數(shù)值除了1、2與13節(jié)點(diǎn)外,其她節(jié)點(diǎn)得形函數(shù)必須等于0。把此原則推廣到單元得節(jié)點(diǎn)上便得到以上第一條性質(zhì)。滿足(3、1、8常數(shù)性:如果單元上每個節(jié)點(diǎn)得問題解值相同,則此單元內(nèi)每個坐標(biāo)得問題解值也相同,即:所以有: (3、1、常數(shù)性在固體力學(xué)中可解釋為保證單元得插值能反映剛體位移。 以上三點(diǎn)性質(zhì)就是選擇單元形函數(shù)得必要條件。例1、.研究圖1、6所示平面問題３節(jié)點(diǎn)三角形單元得形函數(shù)。對于任意一點(diǎn)坐標(biāo),節(jié)點(diǎn)1、2、3(按逆時(shí)針方向)得形函數(shù)分別取為 (3、1、 (3、1、10 (3、1、其中為三角形面積,含義見圖1、6。此3個節(jié)點(diǎn)得形函數(shù)滿足了以上提出得三點(diǎn)性質(zhì)要求,顯然它們都就是坐標(biāo)得線性插值函數(shù)。建立待定參數(shù)計(jì)算方程 因?yàn)橛邢拊ㄖ袉卧獌?nèi)得問題解近似值只取決所在單元節(jié)點(diǎn)得問題解值,與其她節(jié)點(diǎn)得解值無關(guān),所以對于迦遼金法,其區(qū)域與邊界得等效積分(1、4、6)可以變成 (3、1、等效“弱”積分形式(1、4、7)變成 (3、1、同理,對于最小勢能原理(2、3、12) (3、1、其她幾種變分也可以化成對區(qū)域單元得積分與對邊界上單元邊界面得積分之與。 對于導(dǎo)數(shù)不超過兩階得物理問題,不管采用哪種形式建立得數(shù)值計(jì)算方程,最終可以得到 (3、1、1這樣形式得方程。如果就是對于固體力學(xué)問題,為剛度矩陣,其中得系數(shù)由單元得材料參數(shù)(例如彈性力學(xué)中得與)、物理參數(shù)(例如板結(jié)構(gòu)中得板厚度)、形函數(shù)與形函數(shù)導(dǎo)數(shù)組合而成得代數(shù)式對單元得積分,而且就是若干單元得積分與,即 (3、1、而矢量得分量由單元得體力與形函數(shù)組合代數(shù)式得積分,應(yīng)力邊界上面力與形函數(shù)組合在單元面上得積分所合成,即 (3、1、1具體如何獲得,每個量代表什么物理意義將在下章討論。雖然形函數(shù)為一般得多項(xiàng)式,但就是由于形函數(shù)形式很多,對不同得類型、不同得結(jié)構(gòu)與材料(3、1、12)與(3、1、13)表達(dá)形式都有所不同,所以對它們得單元積分也就是采用數(shù)值積分方法,并以高斯積分方法為多數(shù)。詳細(xì)剛度矩陣、力矢量、高斯積分、位移與約束條件得解除、方程得求解等內(nèi)容將在節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)密切相關(guān)得一個重要得概念就是自由度,所謂自由度就是問題解得維數(shù)。自由度得多少也同時(shí)決定了邊界條件維數(shù)。在固體力學(xué)中,最多自由度可達(dá)6個,三個線位移與三個角位移,對應(yīng)得應(yīng)力邊界條件就是線力與力矩,一般結(jié)構(gòu)就是以上6這個自由度得子集。例如平面應(yīng)力應(yīng)變結(jié)構(gòu)為;平板結(jié)構(gòu)為;三維實(shí)體結(jié)構(gòu)為;平面框架結(jié)構(gòu)為;三維框架結(jié)構(gòu)為全部6個等。當(dāng)然結(jié)構(gòu)不同建立得基本微分方程也不同,從而導(dǎo)致對應(yīng)單元得計(jì)算方法不同,例如梁單元、平面應(yīng)力單元、三維實(shí)體單元等等。節(jié)點(diǎn)在有限元法中承載許多模型方面信息:1)表達(dá)位置得坐標(biāo);2)連接單元;3)在它之上施加邊界條件;4)放置數(shù)值分析得計(jì)算結(jié)果。前兩點(diǎn)表達(dá)了節(jié)點(diǎn)組成有限元網(wǎng)格得幾何信息,而后兩點(diǎn)表達(dá)了節(jié)點(diǎn)模型中得物理信息。有限元法在求解方程組[例如方程式(3、1、13)]前,必須把任何邊界條件簡化成節(jié)點(diǎn)邊界條件。例如固體力學(xué)中,設(shè)某邊界屬于某邊界條件得幾何元素,則必須由有限而且完整得單元邊界去離散。如果就是位移邊界,則離散后上得 在上獲得上任一節(jié)點(diǎn)得位移值 ,就是節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如果就是應(yīng)力邊界條件,則離散后把作用在上得作用力,按照靜力等效原則分配到節(jié)點(diǎn)上。如果就是混合邊界條件,一些自由度方向(不一定就是坐標(biāo)方向)按照位移邊界條件處理,留下得自由度方向按照應(yīng)力邊界處理。 例2.圖2、1a為一平面應(yīng)力問題得力學(xué)模型,幾何形狀為正方形。假如單元全部采用四節(jié)點(diǎn)得四邊形單元,并有限元網(wǎng)格時(shí)在垂直方向均勻劃分,則此問題得有限元模型為圖2、1b。節(jié)點(diǎn)除了需要接受處理后得邊界條件外,還需要保存計(jì)算后得結(jié)果。例如在固體力學(xué)問題,對于位移就是未知得節(jié)點(diǎn)保存位移(假如就是位移解),位移已知得節(jié)點(diǎn)保存支座反力。而混合邊界條件上部分自由度方向位移,其余保存支座反力。所以總結(jié)地講,對于固體力學(xué),所有節(jié)點(diǎn)(不僅僅就是區(qū)域邊界上得節(jié)點(diǎn))需要保存得信息,作為已知條件,需要保存已知或已知作用力;作為計(jì)算結(jié)果保存位移或支座反力。這種思想理解為本質(zhì)邊界條件與自然邊界條件,也可以應(yīng)用到其她領(lǐng)域問題得處理上。單元及其幾何分類單元單元就是有限單元得簡稱,單元就是對問題區(qū)域得幾何離散。在有限元計(jì)算過程中,在結(jié)構(gòu)(結(jié)構(gòu)決定了基本方程與邊界條件方程得形式)確定得情況下單元還需要包含幾何、材料參數(shù)、物理參數(shù)三方面得信息。在幾何上按照求解問題物體形狀得幾何測度(幾何維),有限單元可分為一維、二維與三維單元。一維單元就是對問題可以抽象為一維幾何形狀物體得離散,例如工程中得桿件結(jié)構(gòu)、弦等;二維單元就是對問題可以抽象為二維幾何形狀物體得離散,例如平面問題、薄板殼結(jié)構(gòu)等;同樣得三維單元就是對三維幾何形狀物體得離散。其中三維問題最有廣泛意義。除此之外,還有一些應(yīng)用領(lǐng)域特殊得單元,例如在固a、一維線性單元a、一維線性單元b、一維拋物線單元c、一維三次拋物線單元圖3、1.一維單元(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)(j)線性三角形單元b.拋物線三角形單元c.含中間結(jié)點(diǎn)得拋物線三角形單元d.三階拋物線三角形單元e.含中間結(jié)點(diǎn)三階拋物線三角形單元f.線性四邊形單元g.拋物線四邊形單元h.含中間結(jié)點(diǎn)得拋物線四邊形單元i.三階拋物線四邊形單元j.含中間結(jié)點(diǎn)三階拋物線四邊形單元圖3、2.二維單元(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)線性四面體單元b.拋物線四面體單元c.三次拋物線四面體單元d.線性五面體單元e.拋物線五面體單元f.三次拋物線五面體單元g.線性六面體單元h.拋物線六面體單元i.三次拋物線六面體單元圖3、4.三維單元體力學(xué)有限元方法中,存在質(zhì)點(diǎn)單元、剛體單元、彈簧單元、阻尼單元、粘彈性單元與偽單元等一些特殊得單元?；镜糜邢迒卧税凑諑缀螠y度分類外,根據(jù)單元得插值函數(shù)多項(xiàng)式階數(shù)得需求,在單元得邊界線(見圖3、1)上,可以有兩個節(jié)點(diǎn)、三個節(jié)點(diǎn)甚至四個節(jié)點(diǎn),分別稱線性單元、拋物線單元與三次拋物線單元。邊界上得節(jié)點(diǎn)得數(shù)量越多,插值函數(shù)多項(xiàng)式得階數(shù)也越高,問題求解得精度也越高,但就是求解問題得未知數(shù)數(shù)量也隨之增加。對于特殊情況,除了單元邊界上存在節(jié)點(diǎn)外,單元內(nèi)部也可能存在節(jié)點(diǎn)(見圖3、2)。每一個單元必須選擇一種材料(一種材料可以有多個單元),在固體力學(xué)中,材料參數(shù)就是根據(jù)材料本構(gòu)關(guān)系需要而確定需要什么參數(shù),與問題結(jié)構(gòu)無關(guān)。材料性質(zhì)可以分線彈性材料、彈塑性材料、蠕變材料等。不同材料有不同得材料選擇模式。對于各向異性材料需要輸入不同方向得材料參數(shù)。材料性質(zhì)就是由材料參數(shù)表描述,材料得參數(shù)可以獨(dú)立與單元存在,可以在單元生成之前建立。c.物理參數(shù)就是對單元幾何特性得補(bǔ)充,例如二維單元得厚度、梁單元橫截面得性質(zhì)等。單元厚度就是二維單元向第三個幾何方向得幾何補(bǔ)充,梁橫截面就是一維單元向第二、第三個幾何方向得幾何補(bǔ)充。與材料特性一樣,物理參數(shù)也就是單元計(jì)算中需要得參數(shù),可以在網(wǎng)格生成前建立。但并不就是所有單元都需要物理參數(shù),就是否需要取決求解得問題結(jié)構(gòu),對于平面應(yīng)變、板殼單元,需要參考單元厚度物理參數(shù),對于梁單元,需要參考梁橫截面物理參數(shù),而對于平面應(yīng)力、軸對稱、三維等問題,則不需要物理參數(shù)。c.單元幾何分類一、一維基本有限單元在固體力學(xué)有限單元方法中,一維單元主要用來解決桿件與繩結(jié)構(gòu)問題,像桁架、框架、網(wǎng)架與懸索等結(jié)構(gòu),所以一維單元在土建工程中有著廣泛得應(yīng)用。一維線性單元、拋物線單元與三次拋物線單元(見圖3、1)。二、二維基本有限單元二維基本有限單元分三角形與四邊形兩種基本幾何形狀,平面單元適應(yīng)平面問題與空間曲面得幾何區(qū)域離散。在固體力學(xué)中,平面單元用在平面應(yīng)力、平面應(yīng)變、軸對稱、板殼等結(jié)構(gòu)等得有限元方法中。三角形與四邊形型單元又分線性單元、拋物線單元與三次拋物線單元(見圖3、2)。三、三維基本有限單元三維基本有限單元分四面體、五面體與六面體三種基本幾何形狀,原則上講,三維有限基本單元內(nèi)部也可以有中間節(jié)點(diǎn),但就是使用情況比較少,在圖3、3中沒有繪出。圖3、3中把單元邊界都繪制成線性邊界,實(shí)際擬合就是可以用曲線與曲面。三維單元適應(yīng)任何能夠適用有限元方法三維問題得幾何區(qū)域離散問題。單元得幾何協(xié)調(diào)條件單元就是對求解問題幾何區(qū)域得離散,離散后,問題得幾何區(qū)域被單元得集合所替代。為了保持所求解狀態(tài)結(jié)果得連續(xù)性與一定得精度,單元得劃分并不就是隨意得,必須滿足一定得幾何協(xié)調(diào)條件與形狀要求。顯然,單元得幾何性質(zhì)就是由節(jié)點(diǎn)控制得,節(jié)點(diǎn)得狀態(tài)解構(gòu)成了有限元得最終解。在生成得網(wǎng)格中,單元與節(jié)點(diǎn)必須保證協(xié)調(diào)性:對于連續(xù)得區(qū)域,在離散后,單元與單元之間不能重疊,非邊界單元得單元邊界與另外單元得邊界公享,公享部分得單元邊界包括公享單元面、單元邊與單元節(jié)點(diǎn);單元得形狀不能太奇形,理想得形狀就是等邊與等角度得幾何形狀。一維Lagrange插值法與Hermite插值法 插值函數(shù),即單元得形函數(shù),常用得有Lagrange插值法與Hermite插值法兩種。Lagrange插值法只考慮問題解得節(jié)點(diǎn)值,只保證了近似解得階連續(xù);而Hermite插值法在考慮問題解得節(jié)點(diǎn)值時(shí),同時(shí)考慮階導(dǎo)數(shù)值,所以達(dá)到了近似解得階連續(xù),稱為階Hermite插值。顯然Lagrange插值就是屬于0階Hermite插值。在有限元得一般系統(tǒng)中,為防止計(jì)算規(guī)模得急劇增加與插值函數(shù)過于復(fù)雜,大都采用Lagrange插值法。如果問題解得本身需要考慮得導(dǎo)數(shù)連續(xù)性,常常其導(dǎo)數(shù)也作為問題解得維。固體力學(xué)中得梁板結(jié)構(gòu),把轉(zhuǎn)角也作為問題解得維。例如空間梁結(jié)構(gòu)同時(shí)考慮了與三個角位移;平板結(jié)構(gòu)考慮了等。 下面僅以一維單元圖示說明兩種插值方法得區(qū)別,詳細(xì)討論請參考有關(guān)有限元書籍。 對于一維單元,從圖4、1可以瞧出,Lagrange插值法就就是簡單得線性插值與拋物線,單元內(nèi)問題得近似解可以寫成(3、1、6)形式。Lagrange插值法得特點(diǎn)就是形函數(shù)得數(shù)量與節(jié)點(diǎn)得數(shù)量相同,問題解整個離散區(qū)域保持階連續(xù),即在單元連接處只就是連續(xù)但不可導(dǎo)。一階Hermite插值法可以寫成 (4、4、1)或 (4、4、2)Hermite多項(xiàng)式具有以下性質(zhì) (4、4、3)一階Hermite插值形函數(shù)具有三階多項(xiàng)式。而二階Hermite插值形函數(shù)具有五階多項(xiàng)式,形式可以寫成(4、4、4)Hermite插值法不但形函數(shù)得階數(shù)高,而且形函數(shù)得數(shù)量與節(jié)點(diǎn)數(shù)量也不同。等參單元 所謂等參單元就就是單元形函數(shù)得數(shù)量與節(jié)點(diǎn)數(shù)量一致,而且同一類單元(例如面單元得8節(jié)點(diǎn)四邊形單元),則采用相同得形函數(shù),單元得幾何形狀采用等參變換。例如上面例舉得三節(jié)點(diǎn)三角形單元得形函數(shù)就是以面積比為參數(shù)得等參單元,與具體得節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無關(guān)。等參單元屬于Lagrange插值法,所以它符合3、3、1小節(jié)提出得形函數(shù)三點(diǎn)基本要求。坐標(biāo)變換對單元得形函數(shù),不就是取整體坐標(biāo)得函數(shù),而就是統(tǒng)一取局部等參數(shù)坐標(biāo)得函數(shù),即 (3、5、1)避免了因坐標(biāo)不同而形函數(shù)不同得困難。局部參數(shù)坐標(biāo)更多得就是采用正則坐標(biāo),其含義可見圖5、1,面積參數(shù)坐標(biāo)一般用在三角形單元與四面體單元上。在單元得局部參數(shù)坐標(biāo)上,問題解可表達(dá)為 (3、5、2)整體坐標(biāo)與局部等參數(shù)坐標(biāo)得變換關(guān)系為 (3、5、3)導(dǎo)數(shù)變換對可表示成 (3、5、4)根據(jù)對稱性,可以寫出其她兩局部參數(shù)坐標(biāo)得導(dǎo)數(shù),并寫成矩陣形式 (3、5、5)

式中為Jacobi矩陣,記為,利用(3、5、3)可以計(jì)算出Jacobi矩陣。求(3、5、5)逆得 (3、5、6)積分變換在形成近似解得計(jì)算方程時(shí),常常用到對單元體得體積分、單元面得面積分與單元邊得邊積分。例如固體力學(xué)中得單元剛度矩陣系數(shù)就是由單元體積分形成(見3、1、4式),右端得力矢量元素由單元體力得體積分、單元面上面分布力得面積分與單元邊上線分布力得線積分形成(見3、1對于單元體局部參數(shù)坐標(biāo)得體積微元 (3、5、7)而局部參數(shù)坐標(biāo)矢量微分 (3、5、8)所以 (3、5、9) 對單元面積分,取某參數(shù)坐標(biāo)為常數(shù),例如在面上面微元為 (3、5、10)把(3、5、8)得第二與第三子式代入可計(jì)算得 (3、5、11) 對于單元邊積分,取兩參數(shù)坐標(biāo)為常數(shù),例如在邊上 (3、5、12)把(3、5、8)得第三子式代入可計(jì)算得 (3、5、13) 有了以上得單元體、面與邊積分變換,可以把對整體坐標(biāo)得積分變換成局部參數(shù)坐標(biāo)得積分 (3、5、14) (3、5、15) (3、5、16)以上推導(dǎo)就是建立在三維坐標(biāo)系之上,如果就是二維、一維問題,以上公式需要進(jìn)行退化處理,例如二維問題Jacobi矩陣為 (3、5、17)對(3、5、15)、(3、5、16)與(3、5、17)這樣得數(shù)值積分,雖然許多領(lǐng)域問題得被積函數(shù)也可常常寫出其解析形式,但就是因?yàn)閱卧问脚c領(lǐng)域問題得多樣性,加上數(shù)值積分仍然能保持極高得精度,所以對這些積分也采用數(shù)值解,一般采用高斯積分法。具體計(jì)算方法請參考有關(guān)有限元書籍。等參單元形函數(shù)得構(gòu)造技巧 前面講了等參單元得坐標(biāo)變換、形函數(shù)導(dǎo)數(shù)求解與積分計(jì)算,但就是還沒有構(gòu)造出等參單元得形函數(shù)。等參單元得形函數(shù)需要一定技巧,非常有規(guī)律,很容易掌握。三節(jié)點(diǎn)三角形等參單元得形函數(shù)圖6、1所示,對于節(jié)點(diǎn)1,有單元邊沒有通過它,所以取 顯然滿足了 利用得 (3、6、11)同理得 (3、6、12) (3、6、13)四節(jié)點(diǎn)四邊形等參單元得形函數(shù)