2022年高考數(shù)學大復習小題課時練04 命題的形式及等價關(guān)系（解析版）

課時04命題的形式及等價關(guān)系

(基礎(chǔ)題)

一、單選題

1.(2020?上海高三專題練習)下面是關(guān)于公差d>Q的等差數(shù)列｛?,｝的四個命題

月：數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)歹U；：數(shù)列卜町,｝是遞增數(shù)列；

P3：數(shù)列是遞增數(shù)列；0：數(shù)列｛見+3M｝是遞增數(shù)列；

其中的真命題為

A.〃|，〃2B.〃3，。4C.〃2，P3D.PT，PA

【答案】D

【詳解】設(shè)。產(chǎn)l)d=d〃+(oi—d).遞增,pi真.

On+3/7d=4dr)+(oi—d)遞增，P4為真命題.

若｛為｝的首項01=-3d=l,則Qn=〃一4,

2

此時nan=n—4n不單調(diào),則P2為假命題.

若等差數(shù)列｛斯｝滿足?！?n,則2=1為常數(shù)，P3錯.因此Pl,P4正確；P2,P3錯誤.

n

2.(2018?上海市青浦高級中學高三月考)設(shè)集合A=｛(x,y)|x-yNl,or+y>4,x-ay42｝,貝IJ

A.對任意實數(shù)a,(2,1)eA

B.對任意實數(shù)a,(2,1)任A

C.當且僅當a<0時，(2,1)任A

3

D.當且僅當“<一時，(2,1)走A

2

【答案】D

【詳解】分析：求出(2,l)w4及(2,l)eA所對應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進行求解.

33

詳解：若(2,l)eA,則a>—且即若(2,l)eA,則a〉一，

22

3

此命題的逆否命題為：若a<—,則有(2,1)￡A,故選D.

2

點睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的?種非常

有效的方法，根據(jù)p,q成立時對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷.設(shè)4=｛刈〃。)｝,3=｛刈式》)｝,若

AcB,則P=Q；若A=8，則。=4，當一個問題從正面思考很難入手時，可以考慮其逆否命題形式.

二、填空題

3.（2019?上海高三一模）寫出命題"若&m2Vbm2,則a<。"的逆命題.

【答案】"若a<b,則am2<bnr"

【分析】直接寫出逆命題即可.

［詳解］“若am2<bm2,則a<人的逆命題是"若a<b，則am2<bm2"，

故答案為："若a<b>則am2<hm2"■

【點睛】本題考查了四種命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2018?上海交大附中高三開學考試）命題："若a/,。成等比數(shù)列，則〃=ac"及其逆命題、否命題、

逆否命題中正確的個數(shù)是.

【答案】2

【分析】先判斷原命題的真假性，由此判斷逆否命題的真假性，寫出原命題的逆命題，由此判斷逆命題和

否命題的真假性.

【詳解】根據(jù)等比中項的性質(zhì)可知，原命題為真命題，故逆否命題也是真命題.原命題的逆命題為"若"=ac，

則a,ac成等比數(shù)列"，當。二人二0二。時，滿足從=ac，但是”,仇c不成等比數(shù)列，故逆命題為假命題,

所以否命題為假命題.綜上所述，正確的個數(shù)為2.

【點睛】本小題主要考查四種命題及其真假性判斷，考查等比中項的性質(zhì)，考查等比數(shù)列的概念，屬于基

礎(chǔ)題.

5.（2018?上海市七寶中學高三期中）命題"若實數(shù)a、〃滿足a+8V5,則aV2或〃W3”是命題

（填"真"或"假"）

【答案】真

【分析】先考慮其逆否命題"a>2且b>3則a+b>5"的真假，即得原命題的真假.

【詳解】由題得原命題的逆否命題為"a>2且b>3則a+b>5",由不等式同向可加的性質(zhì)得其逆否命題為真

命題，所以原命題是真命題.故答案為：真

【點睛】（］）本題主要考查原命題及其逆否命題，考查命題真假性的判斷，意在考查學生對這些知識的掌

握水平和分析推理能力.（2）互為逆否關(guān)系的命題同真同假，即原命題與逆否命題的真假性相同，原命題的逆

命題和否命題的真假性相同.所以，如果某些命題（特別是含有否定概念的命題）的真假性難以判斷，一般

可以判斷它的逆否命題的真假性.

技能專題練J

（能力題）

一、單選題

1.（2020?上海師大附中高三期中）下列命題中，正確命題的個數(shù)是（）

①丁二行以由工的反函數(shù)是y二立??；

@y=co5X,》6[—4,0]的反函數(shù)是丁=一。小。。.沅，xe[-l,l]:

（3）y^tanx,%€（_'，0）的反函數(shù)是＞=。*口玄，xe（-oo,x/3）；

④已知函數(shù)wc3?（x—l）|,若存在X1,x2G[?,/＞],且再＜々，使/（%）-/（七）成立，則。＜1?

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】C

【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)和反函數(shù)的應(yīng)用判定①②③④的結(jié)論.

【詳解】解：①尸詆挪（-啜k1）的反函數(shù)是尸sinx（-|融鄉(xiāng)，故①錯誤；

（2）y=cosx,x€[-萬，0]的反函數(shù)是＞=-arccosx,xe[-l,1],故②正確；

③卜=tanx,xe（W則函數(shù)＞的值域為yey,拘，所以函數(shù)的反函數(shù)是丁=arctanx,》€(wěn)（-?）,我，

故③正確；

④已知函數(shù)/（x）=|arctan（x—1）|的圖象可由y=|arctanx|的圖象向右平移1個單位得到的，所以函數(shù)在

（TO,1]匕單調(diào)遞減，函數(shù)在[1,+00）上單調(diào)遞增，若存在演，々日“，勿，且西＜々，使/（7）-/（占）成

立，所以”,1,故④錯誤.

故選：C.

2.（2020?上海高三專題練習）給出以下四個命題：（1）若￡_3x+2=0，則x=1或x=2；（2）若一2Mx＜3,

則（x-2）（x-3）,,0；（3）若x=y=O,則/+;/=0；（4）若x,yeN\x+y是奇數(shù)，則x,y中

一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，則（）.

A.（1）的逆命題為真B.（2）的否命題為真

C.（3）的逆否命題為假D.（4）的逆命題為假

【答案】A

【分析】對A,B,D選項，先寫出對應(yīng)命題，再判斷真假，對C選項，先判斷（3）的真假，再利用互逆命

題的真假關(guān)系，得出結(jié)論.

【詳解】（1）的逆命題為：若X=1或X=2,則3x+2=0,為真命題，故A選項正確；

（2）的否命題為：若》<-2或工.3,則（x—2）（x—3）>0,為假命題，故B選項錯誤；

（3）為真命題，則其逆否命題為真命題，故C選項錯誤；

（4）的逆命題為：若x,y中一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)，則x,ywN*,x+N是奇數(shù)，是真命題，故D選

項錯誤.

故選：A.

【點睛】本題綜合考查了四種命題以及命題真假的判斷，難度不大.在判斷命題真假時，利用"互為逆否的命

題真假性相同"這一性質(zhì)，進行真假判斷是比較常用的方法.

3.（2020?上海高三專題練習）設(shè)z”Z2為復數(shù)，則下列命題中一定成立的是（）

A.如果Z1一22>0,那么Z|>Z2B.如果|司=%],那么Z1=±z?

C.如果芻■>1,那么團>同D.如果z；+z；=0,那么ZI=z2=0

z?

【答案】c

【分析】根據(jù)復數(shù)定義，逐項判斷，即可求得答案.

【詳解】對于A,取Z]=3+i,Z2=1+i時,Z2>0,即3+i>1+i,但虛數(shù)不能比較大小，澈A錯誤;

對于B,由可得=02+42,不能得到4=±Z2,故B錯誤；

對于C,因為五〉1,所以聞>同，故C正確；

對于D,取Z|=1,Z2-i,滿足Z；+Zj=0，但是ZI￥Z2X0,故D錯誤.

故選:C.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握復數(shù)定義，在判斷時可采用特殊值法檢驗，考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

4.（2019?上海市行知中學高三月考）命題"如果X>2且y>2,那么x+y>4"的否命題是命題

（填真或假）

【答案】假

【分析】判斷逆命題的真假，再判斷否命題即可.

【詳解】"如果x>2且y>2,那么x+y>4"的逆命題是："如果x+y>4那么x>2且>>2”是假命題，例如

x=4,y=l,又命題的否命題與逆命題同真假，則否命題為假命題

故答案為假

【點睛】本題考查四種命題的形式及真假，注意否命題與逆命題真假相同的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2020?上海市建平中學高三月考)設(shè)常數(shù)aeR,命題"存在xeR,使尤2+辦一4aW0"為假命題，

則a的取值范圍為.

【答案】(-16,0)

【分析】將條件轉(zhuǎn)化為任意xeR,丁+融―4a>0恒成立，此時有/<0,從而解出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】命題："存在xeR,使Y+辦—4。40"為假命題，

即犬+5—4a>0恒成立，必須/<0,

即：cr+16a<0>解得-16<a<0，

故實數(shù)a的取值范圍為(-16,0),

故答案為：(-16,0).

【點睛】本題考查了一元二次不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想，屬于中等題.

6.(2019?上海市大同中學高三月考)在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系">"為全體實數(shù)排了一個"序類

似的，我們在平面向量集。={〃|汗=(%,力％6/06/?}上也可以定義一個稱"序"的關(guān)系，記為"演卻定

義如下：對于任意兩個向量［=(x「y|),用'=62/)，"當且僅當"X>々"或"為=々且X>為”?按

上述定義的關(guān)系"淘油"，給出如下四個命題：

①若5=(1,0)2=(0,1),0=(0,0),則家>>￡>>0；

②若4>>a2M2?%，則4?。3；

③若q?的,則對于任意Me+〃》見+萬；

④對于任意向量力>>0,0=(0,0),若qA〉外,則萬?4.

其中真命題的序號為

【答案】①②③

—??????.*--*—

試題分析：①因為1>0,所以，%?e2，?e3.e2?e3>所以有：?e2?0.①為真命題;

②設(shè)：%=（玉，％）,。2=（乙,%），％=（退，％）,

由I?Z得“%>%"或"％=々且y>y2"

由Z?%得"々>工3"或"x2=七且%>為”

若%>々>工3，則定義可知]?Z

若X]>工2且"工2=%3且%>%”，則司>七，所以，Z?2

若玉且X>%且Z>七，則玉>七所以，]?Z

若"X]=%且x>%"且"電=七且%>為”則，玉=當且乂>M，所以，I?%

綜上所述：若q?4,4?/，則q?6正確；

③設(shè)：q=（%，％）,。2=（巧，％）方=（羽田，則+，=（%+x，X+y），4+萬=（工2+工，％+）'）

由I?Z得："%>工2"或”玉=%2且*>%”

右"‘%>W,則X]+%>￡+x，所以，q+a?ci~2+a

若X]=工2且X>%，則“仆囂=?強小砥且購魯解:咒典升理，從而有4+日》。2+日

綜上所述，若4?。,，則對于任意彳+萬》o,+M；命題③正確；

④設(shè)：=（xl,yl）,a2=（x2,y2）,a=（x,y）,

由1〉>0得“x>0"或"x=0且y〉0”

由4"?%得："X]>々"或"飛=々且X>y2"

若x=o且"y>。"，同時，玉且x<必貝『'玉》=工2%且xv<%y"，所以展1>無%不成立

所以，④不正確；

綜上可知，只有①②③正確，所以答案應(yīng)填：①②③.

考點：1、新定義；2、命題真假性的判斷.

3

核心素養(yǎng)練

維J

（真題/新題）

一、單選題

1.（2021?上海市實驗學校高三開學考試）已知集合肌夕都是非空集合，若命題中的元素都是產(chǎn)中的

元素”是假命題，則下列必定為真命題的是（）

A.McP=@B.〃中至多有一個元素不屬于產(chǎn)

C.尸中有不屬于材的元素D.材中有不屬于尸的元素

【答案】D

【分析】命題”中的元素都是〃中的元素”是假命題，則命題的否定是真命題，即可得出結(jié)論.

【詳解】因為命題“秋中的元素都是戶中的元素”是假命題，

則命題的否定％在“中的元素，不是尸中的元素”是真命題，

即"中有不屬于〃的元素.

故選D

【點睛】本題主要考查了命題與命題的否定，命題真假的判斷，屬于中檔題.

2.（2021?上海交大附中高三其他模擬）關(guān)于x的方程/+辦+8=0,有下列四個命題：甲：x=l是該

方程的根；乙：X=3是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2;?。涸摲匠虄筛愄?如果只有一個假命

題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【分析】對甲、乙、丙、丁分別是假命題進行分類討論，分析各種情況下方程％2+必+。=0的兩根，進而

可得出結(jié)論.

【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關(guān)于x的方程￡+℃+/,=0的一根為3,

由于兩根之和為2,則該方程的另?根為-1，兩根異號，合乎題意；

若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則X=1是方程=。的一根，

由于兩根之和為2,則另一根也為1，兩根同號，不合乎題意；

若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關(guān)于大的方程/+奴+6=0的兩根為1和3,兩根同號，不合乎題

意；

若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關(guān)于%的方程/+以+6=0的兩根為1和3,

兩根之和為4,不合乎題意.

綜上所述，甲命題為假命題.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵就是對甲、乙、丙、丁分別是假命題進行分

類討論，結(jié)合已知條件求出方程的兩根，再結(jié)合各命題的真假進行判斷.

二、填空題

3.（2021?貴州畢節(jié)市?高三三模（文））命題“若sina=sin〃，則a=￡”的否命題為命題.（填

“真”或"假”）

【答案】真

【分析】根據(jù)否命題的定義寫出否命題，再判斷真假.

【詳解】命題“若sina=sin耳，則尸”的否命題為“若sinawsin△，則a。夕”，這是真命題，

因此它等價的命題“若a=B，則sina=sin￡”是真命題.

故答案為：真.

4.（2021?福建高三三模）能夠說明“若幺>@,a<0,則%>了”是假命題的一組整數(shù)x,>的值依次

%y

為.

【答案】一1,1（答案不唯一）

aa11

【分析】若一>一，a<0,可得一<一，分X，>同號和異號討論即可求得答案.

尤yxy

aa11

【詳解】解：當一>一，a<0,可得一〈一，

xyxy

①當x,y同號時，可得x>y,

②當x,y異號時，y>O>x.

故取整數(shù)％,y滿足y>o>x即可.

故答案為：一1,1.

5.（2021?四川成都市?川大附中高三二模）給出以下命題：

（1）已知回歸直線方程為亨=1.2x+3樣本點的中心為（4,5）,貝觴=0.2；

（2）已知p：7B<0，qi與坂的夾角為鈍角，則。是夕的充要條件；

(3)函數(shù)/(x)=sin(2尤+圖象關(guān)于點(二,0)對稱且在(―二，2)上單調(diào)遞增；

612126

(4)命題“存在/?,x2-x>0”的否定是“對于任意7?,x2-x<0”；

2%>m

(5)設(shè)函數(shù)/(x)=42,；，若函數(shù)y=/(x)-X恰有三個零點，則實數(shù)0的取值范圍為

x+4x+2,x<m

(-1,2).

其中不無碩的命題序號為.

【答案】(2)(4)(5)

【分析】根據(jù)線性回歸直線的性質(zhì)、充分必要條件的定義、正弦型函數(shù)的性質(zhì)、命題的否定、函數(shù)的零點

等知識對各個命題進行判斷.

【詳解】(1)根據(jù)回歸直線恒過樣本的中心點，可得6=0.2,故正確；

(2)由H=|￡|.|B|COS6<0有8S6<0，￡與5的夾角為鈍角或平角，所以根據(jù)充要條件的定義可判

斷錯誤.故錯誤；

⑶把“=笆代入函數(shù)/(x)=sin(2x+J)=0,函數(shù)值為0,所以函數(shù)了。)關(guān)于(學,0)對稱，由

12612

~rj]r~iyz-jL'ji

2kn--<2xd——<227rH——,kGZ，可得攵"----<x〈k"——,kGZ所以函數(shù)在

26236

(br—工，攵?+^),ZeZ上是遞增的.所以函數(shù)在(-2,鄉(xiāng))上是遞增的.故正確；

36126

(4)命題“存在xwR,工2一%>0，，的否定是“對于任意X￡R,%2一%?0”故錯誤；

2—xx>加

(5)構(gòu)造函數(shù)g(x)=12\,要使函數(shù)y=/(x)-x恰有三個零點，必須使函數(shù)y=2-x有

x+3x+2,x<m

零點，并且函數(shù)y=/+3x+2有兩個零點，而函數(shù)y=x?+3x+2在R上的兩個零點為一1和一2,從而

得到一1W加<2,故是錯誤的.

故答案為：(2)(4)(5).

【點睛】本題考查命題的真假判斷，要求較高，需對所有命題進行判斷，必須掌握對應(yīng)的知識與方法，本

題屬于中檔題.

6.(2021?全國高三專題練習(文))給出以下四個命題：

①設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,若a，>人，c,則a〃c.

S3

②在面積為S的A/LBC的邊AB上任取一點P，則APBC的面積大于-的概率為一.

44

③已知一個回歸直線方程為丁=1.5工+45(為6{1,5,7,13,19}7=1,2,...,5),則7=585

④數(shù)列{《,}為等差數(shù)列的充要條件