高等代數(shù)課件

§1.2一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算一、多項(xiàng)式的概念

中學(xué)多項(xiàng)式的定義：n個(gè)單項(xiàng)式（不含加法或減法運(yùn)算的整式）的代數(shù)和叫多項(xiàng)式。例：4a+3b，

在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。這是形式運(yùn)算式。後來又把多項(xiàng)式定義為R上的函數(shù)：但對(duì)這兩種定義之間有什麼聯(lián)繫在中學(xué)代數(shù)中並沒有交代。問題：1、高等代數(shù)中採用什麼觀點(diǎn)定義多項(xiàng)式？2、多項(xiàng)式的形式觀點(diǎn)與多項(xiàng)式的函數(shù)觀點(diǎn)是否矛盾？定義1：設(shè)x是一個(gè)文字（或符號(hào)），n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)形式運(yùn)算式—（2.1）其中，稱為數(shù)域F上的一元多項(xiàng)式。常數(shù)項(xiàng)或零次項(xiàng)首項(xiàng)首項(xiàng)係數(shù)稱為i次項(xiàng)係數(shù)。

高等代數(shù)中採用形式觀點(diǎn)定義多項(xiàng)式，它在兩方面推廣了中學(xué)的多項(xiàng)式定義：

這裏x不再局限為實(shí)數(shù)而是任意的文字或符號(hào)。

係數(shù)可以是任意數(shù)域。例1.2.1：是Q上多項(xiàng)式；是R上多項(xiàng)式；是C上多項(xiàng)式。都不是多項(xiàng)式。定義2：是兩個(gè)多項(xiàng)式，除係數(shù)為0的項(xiàng)之外，同次項(xiàng)的係數(shù)都相等。多項(xiàng)式的表法唯一。方程是一個(gè)條件等式而不是兩個(gè)多項(xiàng)式相等。定義3：設(shè)非負(fù)整數(shù)n稱為的次數(shù)，記為：

最高次項(xiàng)，亦稱為首項(xiàng)。例1.2.2：零次多項(xiàng)式：次數(shù)為0的多項(xiàng)式即非零常數(shù)。零多項(xiàng)式：係數(shù)全為0的多項(xiàng)式。對(duì)零多項(xiàng)式不個(gè)多項(xiàng)式不是零多項(xiàng)式。首一多項(xiàng)式：首項(xiàng)係數(shù)為1的多項(xiàng)式。二、多項(xiàng)式的運(yùn)算定義4：設(shè)是數(shù)域F上次數(shù)分別定義次數(shù)，因此，在談?wù)摱囗?xiàng)式的次數(shù)時(shí)，意味著這為n和m的兩個(gè)多項(xiàng)式，則與的和為：。當(dāng)m<n時(shí)，取。定義5：設(shè)如上，與的積為例1.2.3：設(shè)其中相乘積的和作為的係數(shù)。得：把中兩個(gè)係數(shù)下標(biāo)之和為k的對(duì)應(yīng)項(xiàng)多項(xiàng)式的運(yùn)算（加、減、乘）滿足以下運(yùn)算規(guī)律：加法交換律：加法結(jié)合律：乘法交換律：乘法結(jié)合律：乘法對(duì)加法的分配律：下麵證明多項(xiàng)式乘法滿足結(jié)合律。證：設(shè)現(xiàn)證這只要比較兩邊同次項(xiàng)（比如t次項(xiàng)係數(shù)）相等即可。左邊中S次項(xiàng)的係數(shù)是：左邊t次項(xiàng)的係數(shù)是：右邊中r次項(xiàng)的係數(shù)是：右邊的t次項(xiàng)的係數(shù)是：左、右兩邊同次項(xiàng)的係數(shù)相等，乘法滿足結(jié)合律。三、多項(xiàng)式的次數(shù)定理定理2.1.1：設(shè)

當(dāng)時(shí)，則

證：設(shè)當(dāng)令多項(xiàng)式乘法沒有零因數(shù)。推論1：若證：若f=0或g=0，則必有fg=0。反之，若，矛盾。乘法消去律成立。推論2：若且則證：由於故定義5：對(duì)多項(xiàng)式的加、減、乘法是否封閉？上的多項(xiàng)式環(huán)。對(duì)多項(xiàng)式的加、減、乘法封閉，故稱為數(shù)域F§1.3整除性理論一、多項(xiàng)式整除的概念

多項(xiàng)式的整除性設(shè)，若存在，使，則說整除，記為：，記為：。當(dāng)時(shí)，稱作的因式，稱作的倍式。

整除的基本性質(zhì)性質(zhì)1：否則就說不能整除若則。（傳遞性）證：使性質(zhì)2：若，則。證：性質(zhì)3：若，對(duì)。證：性質(zhì)4：若則對(duì)有性質(zhì)5：若則證：為常數(shù)。性質(zhì)6：且則性質(zhì)7：

帶餘除法定理定理1.3.1：設(shè)，且則存在使得這裏或滿足條件的唯一確定。商式餘式證：先證存在性。1、若則取即知結(jié)論成立。2、設(shè)對(duì)的次數(shù)n，利用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n<m時(shí)，顯然取下麵討論的情況。假設(shè)當(dāng)次數(shù)小於n時(shí)，的存在性已證現(xiàn)考慮次數(shù)為n的情況。，即知結(jié)論成立。令分別是的首項(xiàng)，因而多項(xiàng)式的次數(shù)小於n或?yàn)?。若，取若由歸納法假設(shè)，對(duì)有存在，使其中或者於是取就有，結(jié)論成立；其中或者再證唯一性。若有則若則這與矛盾，故從而推論1：若且則的充要條件是：除的餘式證：充分性。若且則有必要性。若，則例1.3.1設(shè)求除所得的餘式和商式。例1.3.2：證明的充要條件是證：充分性顯然。下證必要性，設(shè)於是由於，故。多項(xiàng)式的根及因式分解會(huì)因數(shù)域的擴(kuò)大而改變，那麼問題：數(shù)域F上的多項(xiàng)式與的整除性是否會(huì)因數(shù)域的擴(kuò)大而改變？多項(xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變?cè)O(shè)，若在F上是否在上也有？結(jié)論：設(shè)，而，中，在則在中也有（多項(xiàng)式的整除性不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變）證：若則在中，因此在中，若則在中有但中的多項(xiàng)式仍是的多項(xiàng)式。因而在中，這一等式仍然成立。由的唯一性知，在中§1.4多項(xiàng)式的最大公因式一、兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式定義1：若則是的一個(gè)公因式。的一個(gè)公因式。定義2：設(shè)是的一個(gè)公因式。若的任一個(gè)公因式均有則稱是的最大公因式。是例如問題：1、如何求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式？2、最大公因式是否唯一？引理：若與公因式和最大公因式。證：1、設(shè)是的公因式是的公因式。

反之，設(shè)是的公因式是的公因式。則兩對(duì)多項(xiàng)式與，有相同的2、設(shè)是的最大公因式是的公因式，對(duì)的任一公因式是的公因式故是的最大公因式。反之同樣成立。的最大公因式可以由引理知，要求轉(zhuǎn)化為求與的最大公因式。由於根據(jù)這種思想，我們可以對(duì)進(jìn)行如下的輾轉(zhuǎn)相除：

（1.4.1）當(dāng)進(jìn)行到某一步時(shí)，餘式為0。例如則上一個(gè)式子的餘式就是的最大公因式。於是得定理1.4.1：若兩個(gè)多項(xiàng)式經(jīng)輾轉(zhuǎn)相除後得一系列等式（1.4.1），則的最大公因式為。定理1.4.2：中任意兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式必存在，且若是的最大公因式，則必存在，使由於餘式的次數(shù)不斷降低，而的次數(shù)是有限的，故經(jīng)過有限次輾轉(zhuǎn)相除之後，必然有餘式證明：1、若則的最大公因式是0。顯然有任意。2、若則的最大公因式是任意。3、若使則由定理1.4.1知，經(jīng)輾轉(zhuǎn)相除後可求出它們的最由（1.4.1）可求得大公因式為設(shè)都是的最大公因式，則有即兩個(gè)最大公因式之間僅差一個(gè)零次因數(shù)。若用表示中首項(xiàng)係數(shù)為1的最大公因式，則唯一確定。例1.4.1：設(shè)求，和使

解：（利用輾轉(zhuǎn)相除法）二、兩個(gè)多項(xiàng)式互素若定義3：則稱互素。定理1.4.5：的充要條件是存在使多項(xiàng)式互素的性質(zhì)。性質(zhì)1：若則證：性質(zhì)2：若且則證：性質(zhì)3：若又則證：代入上式即知三、多個(gè)多項(xiàng)式的情況定義4：設(shè)則稱是這組多項(xiàng)式的公因式，若是的公因式，且這組多項(xiàng)式的任一公因式都能整除。則稱是的最大公因式。則稱是的最大公因式。用表示首一的最大公因式，則性質(zhì)1、若則使。性質(zhì)2、若則稱互素。性質(zhì)3、若則稱兩兩互素。性質(zhì)4、互素兩兩互素。例1.4.2設(shè)互素，但。性質(zhì)5、兩兩互素互素。注意：個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式（互素）不隨數(shù)域的擴(kuò)大而改變?！?.5多項(xiàng)式的分解

在中學(xué)代數(shù)裏我們學(xué)過因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式逐次分解成一些次數(shù)較低的多項(xiàng)式乘積。在分解過程中，有時(shí)感到不能再分解了也就認(rèn)為它不能再分了，但是當(dāng)時(shí)沒有理論根據(jù)，到底能不能再分下去？這裏我們將系統(tǒng)地討論多項(xiàng)式的分解問題。對(duì)於中任一個(gè)多項(xiàng)式總是的因式。這樣的因式稱為平凡因式。我們感興趣的是，除了平凡因式外，還有沒有其他的因式？定義1.5.1設(shè)是中次數(shù)大於零的多項(xiàng)式，若除F上不可約。平凡因式外，在中還有等價(jià)定義：可分解成中兩個(gè)次數(shù)都小於n的多項(xiàng)式的積，即則稱在數(shù)域F上可約。中一個(gè)次多項(xiàng)式如果如果在中，只有平凡因式，則稱在數(shù)域則稱在數(shù)域F上可約。其他因式，一、不可約多項(xiàng)式1、定義由定義可得：

一次多項(xiàng)式是不可約多項(xiàng)式（二次及二次以上多項(xiàng)式是否可約是重點(diǎn)討論對(duì)象）；②多項(xiàng)式的可約性與數(shù)域有關(guān)（例在C上可約，在R中不可約）。③零多項(xiàng)式於零次多項(xiàng)式不討論它們的可約性。

性質(zhì)性質(zhì)1不可約，則也不可約，若性質(zhì)2若是不可約多項(xiàng)式，則證：設(shè)由或若則若則性質(zhì)3：若不可約且則或證：若則結(jié)論成立；若，又不可約。由性質(zhì)2，推論：若不可約且則必整除某個(gè)二、因式分解問題：是否可分解為不可約多項(xiàng)式的乘積？定理1.5.1：中任一個(gè)次多項(xiàng)式都可以分解成中不可約多項(xiàng)式的乘積。證（歸納法）：n=1時(shí)，命題顯然成立。假設(shè)命題對(duì)一切小於n的多項(xiàng)式成立，則當(dāng)時(shí)，1、若不可約成立；2、若可約，由假設(shè)知均可分解為不可約多項(xiàng)式的乘積。問題：多項(xiàng)式分解成不可約多項(xiàng)式的乘積是否唯一？若取則可見分解式不唯一。定理1.5.2：中任一個(gè)次數(shù)大於零的多項(xiàng)式分解成不可約多項(xiàng)式的乘積：成不可約因式的乘積分解式是唯一的，此即若有兩個(gè)分解式：若不計(jì)零次多項(xiàng)式的差異和因式的順序，分解則有①r=s；②適當(dāng)調(diào)整的位置後，有）證（對(duì)分解式中的因式個(gè)數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法證明）：當(dāng)r=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)當(dāng)分解成r-1個(gè)不可約因式時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)分解成r個(gè)因式時(shí)，有由於，故存在某個(gè)使為方便起見不防設(shè)就是。由歸納假設(shè)知，這時(shí)有r-1=s-1。故r=s，且三、標(biāo)準(zhǔn)（典型）分解式在的分解中，可以把每個(gè)不可約因式的故首項(xiàng)係數(shù)提出來，使之成為首一不可約多項(xiàng)式，並把相同的因式合併，於是，的分解式就變成：首項(xiàng)係數(shù)為的首一不可約多項(xiàng)式，

每個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式是唯一的。

利用多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以判斷一個(gè)多項(xiàng)式是否整除另一個(gè)多項(xiàng)式。式。為自然數(shù)，這種分解式稱為的標(biāo)準(zhǔn)分解

利用多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式可以直接寫出例如：則雖然根據(jù)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式寫出是簡單的，但由於任意多項(xiàng)式的典型分解式並不容易求得，故求最大公因式的一般方法還是採用輾轉(zhuǎn)相除法。問：如何求的標(biāo)準(zhǔn)分解式？例1.5.1：求在中的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：利用帶餘除法，知都是的因式，即有。如何知道是不是的一個(gè)因式？是的一個(gè)因式的充要條件是例1.5.2：求在上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：在Q上：在R上：在C上：例1.5.3：在R上分解解：§1.5重因式定義1：不可約多項(xiàng)式稱為的k重因式如果而。當(dāng)k=1時(shí)，就稱的單因式，當(dāng)k>1時(shí)，稱為的重因式。如果的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：則分別是的因式，且分別為重。要求的重因式，只要把式寫出即可。但我們還沒有一般的方法把一個(gè)多項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)分解式分解為不可約因式的乘積。

因此我們應(yīng)該找一種直接判斷多項(xiàng)式是否有重因式的方法。為此目的要引入多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的概念。定義2：的一階導(dǎo)數(shù)指的是多項(xiàng)式：（形式定義）多項(xiàng)式一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的二階導(dǎo)數(shù)，記為的導(dǎo)數(shù)稱為的三階導(dǎo)數(shù)，記為…………的k階導(dǎo)數(shù)記為多項(xiàng)式的求導(dǎo)法則：1、2、3、4、定理1.6.1：若不可約多項(xiàng)式是的k重因式（k>1），則是式，特別多項(xiàng)式的單因式不是式。證：的k-1重因的因從而於是是的k-1重因式。推論1：若不可約多項(xiàng)式是的k重因式不是的因式。證：是的k-1重因式，是的k-2重因式，……………（k>1），則是的因式，但是的（k-(k-1)=1）單因式，因而不是的因式。推論2：不可約多項(xiàng)式是的重因式的充要條件是是與的公因式。證：必要性由推論1立得。充分性，若是與的公因式，則不是的單因式（否則，由推論1知的因式），故不是是的重因式。推論3：無重因式的充要條件是多項(xiàng)式與互素。

推論3表明，判別一個(gè)多項(xiàng)式有沒有重因式，可以利用輾轉(zhuǎn)相除法得到。

在討論與解方程有關(guān)的問題時(shí)，常常要求所討論多項(xiàng)式有沒有重因式。設(shè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式為：由定理1得：故於是：有沒有重因式，只要求1、判別的最大公因式的重因式的重?cái)?shù)恰好是中重因式的重?cái)?shù)加1。此法不能求的單因式。例1.6.1在中分解多項(xiàng)式2、分離重因式，即求的所有不可約的單因式：例1.6.2：求多項(xiàng)式有重因式的條件。

當(dāng)時(shí)，即這時(shí)f有重因式

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，欲有重因式，只需即重因式是例1.6.3：用分離因式法（單因式化法）求多項(xiàng)式在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式。解：利用輾轉(zhuǎn)相除法求得：把單因式化，得由於故是的3重因式，是的單因式，故在Q上的標(biāo)準(zhǔn)分解式為多項(xiàng)式在中沒有重因式，問題：在中是否也沒有重因式？由於多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)以及兩個(gè)多項(xiàng)式互素與否在由數(shù)域F過渡到含F(xiàn)的數(shù)域時(shí)並無改變，故有沒有重因式不因數(shù)域的擴(kuò)大而改變?！?.7多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根一、多項(xiàng)式函數(shù)

定義：設(shè)對(duì)數(shù)稱為當(dāng)F中的根或零點(diǎn)。

定義（多項(xiàng)式函數(shù)）：設(shè)對(duì)作映射f：為F上的多項(xiàng)式函數(shù)。時(shí)的值，若則稱c為在映射f確定了數(shù)域F上的一個(gè)函數(shù)被稱當(dāng)F=R時(shí)，就是數(shù)學(xué)分析中所討論的多項(xiàng)式函數(shù)。若則二、餘式定理和綜合除法所得的餘式是。用一次多項(xiàng)式x-c去定理1.7.1（餘式定理）：除多項(xiàng)式證：由帶餘除法：設(shè)則。問題1、有沒有確定帶餘除法：的簡單方法？中和設(shè)把代入中展開後比較方程兩邊的係數(shù)得：因此，利用與之間的係數(shù)關(guān)係可以方便和r，這就是下麵的綜合除法：於是得去除例1.7.1：求用的商式和餘式。解：由綜合除法因此利用綜合除法求與r時(shí)應(yīng)注意：1、多項(xiàng)式係數(shù)按降冪排列，有缺項(xiàng)必須補(bǔ)上零；2、除式要變?yōu)槔?.7.2：把表成的方冪和。定理1.7.2（因式定理）：因式的充要條件是。證明：設(shè)若即故是的一個(gè)因式。若有一個(gè)因式即故此即。由此定理可知，要判斷一個(gè)數(shù)c是不是的根，可以直接代入多項(xiàng)式函數(shù)，看是否等於零；也可以利用綜合除法來判斷其餘數(shù)是否為零。多項(xiàng)式有一個(gè)三、多項(xiàng)式的根定義3：若是的一個(gè)k重因式，即有但則是的一個(gè)k重根。問題2、若多項(xiàng)式有重根，能否推出有重因式，反之，若有重因式，能否說有重根？由於多項(xiàng)式有無重因式與係數(shù)域無關(guān)，而有無重根與係數(shù)域有關(guān)，故有重根有重因式，但反之不對(duì)。定理1.7.3（根的個(gè)數(shù)定理）：數(shù)域F上次多項(xiàng)式至多有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。證明（用歸納法）：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，假設(shè)當(dāng)是次多項(xiàng)式時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)是n次多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)是的一個(gè)根，則有是n-1次多項(xiàng)式，由歸納知至多只有個(gè)根，故至多只有n個(gè)根。證二：對(duì)零次多項(xiàng)式結(jié)論顯然成立，數(shù)等於分解式中一次因式的個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)目當(dāng)然不定理1.7.4：超過n，若在F中有n+1個(gè)不同的數(shù)使與的值相等，則。證明：令設(shè)它們的次數(shù)都不若又把若是一次數(shù)>0的多項(xiàng)式，分解成不可約多項(xiàng)式的乘積，這時(shí)在數(shù)域F中根的個(gè)超過n。由於F中有n+1個(gè)不同的數(shù)，使與的值相等，故有n+1個(gè)不同的根，這與定理1.7.3矛盾，故即問題3、設(shè)是F中n個(gè)不同的數(shù)，是F中任意n個(gè)數(shù)，能否確定一個(gè)n-1次多項(xiàng)式，使利用定理1.7.4可求一個(gè)n-1次多項(xiàng)式使作函數(shù)則這個(gè)公式也稱為Lagrange插值公式。例1.7.3：求一個(gè)次數(shù)小於3的多項(xiàng)式使。解一（待定係數(shù)法）：設(shè)所求的多項(xiàng)式由已知條件得線性方程組：解之得解二（利用Lagrange公式）：利用Lagrange插值公式可得：

問題4、用形式定義的多項(xiàng)式與用函數(shù)觀定義的多項(xiàng)式是否一致？四、多項(xiàng)式相等與多項(xiàng)式函數(shù)相等的關(guān)係

多項(xiàng)式相等：即對(duì)應(yīng)項(xiàng)的係數(shù)相同；

多項(xiàng)式函數(shù)相等：即對(duì)有定理1.7.5：中兩個(gè)多項(xiàng)式和相等的充要條件是它們所確定的在F上的多項(xiàng)式函數(shù)相等。證明：若它們對(duì)應(yīng)項(xiàng)的係數(shù)相同，於是對(duì)故這兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)相等；若對(duì)有令此時(shí)有無窮多個(gè)根，故此即?！?.8複數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式一、C上多項(xiàng)式對(duì)於上的多項(xiàng)式，它在F上未必有根，那麼它在C上是否有根？

每一個(gè)次數(shù)大於零的多項(xiàng)式在複數(shù)域上至多有一個(gè)根。定理1.8.1（代數(shù)基本定理）：

任何n（n>0）次多項(xiàng)式在C上有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。定理1.8.2：當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立。證：假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1次多項(xiàng)式成立，則當(dāng)是n次多項(xiàng)式時(shí)，由於在C上至少有一個(gè)根，設(shè)為則，是C上n-1次多項(xiàng)式。由歸納假設(shè)知在C上有n-1個(gè)根，

推論1：複數(shù)域上任一個(gè)次數(shù)大於1的多項(xiàng)式都是可約的，即C上不可約多項(xiàng)式只能是一次多項(xiàng)式。推論2：任一個(gè)n（n>0）次多項(xiàng)式在在C上的根，所以n個(gè)根。它們也是在C上有上都能分解成一次因式的乘積，即的標(biāo)準(zhǔn)分解式是：其中是不同的複數(shù)，是自然數(shù)且韋達(dá)定理：設(shè)是的兩個(gè)根，則C上多項(xiàng)式的根與係數(shù)關(guān)係：設(shè)—（1）是一個(gè)n（n>0）次多項(xiàng)式，則它在C中有n個(gè)根，記—（2）比較（1）與（2）的展開式中同次項(xiàng)的係數(shù)，則為得根與係數(shù)的關(guān)係為：如果根與係數(shù)的關(guān)係又如何？利用根與係數(shù)的關(guān)係，可以構(gòu)造一個(gè)n次多項(xiàng)式，使其恰以為根。例1.8.1：它以1和4為單根，-2為2重根。求一個(gè)首項(xiàng)係數(shù)為1的4次多項(xiàng)式，使解：設(shè)則二、實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式定理1.8.3：如果是實(shí)數(shù)係數(shù)多項(xiàng)式的與有相同的重?cái)?shù)。證：設(shè)由於是的根，故有兩邊取共軛複數(shù)，注意到和0都是實(shí)數(shù)，則有可見也是的根。非實(shí)複根，則的共軛複數(shù)也是的根，且因此多項(xiàng)式：能整除，即存在多項(xiàng)式，使是實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式，故也是實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式。若是的重根，由於，故必是的根，是實(shí)係數(shù)，故也是的根，故也是的重根。與重複應(yīng)用這個(gè)推理方法知的重?cái)?shù)相同。唯一地分解為實(shí)係數(shù)一次和二次不可約多項(xiàng)式的定理1.8.4

每個(gè)次數(shù)的實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式都可乘積。就是一次因式子，結(jié)論成立。若，證明：的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納。對(duì)假設(shè)對(duì)結(jié)論次數(shù)<n的多項(xiàng)式結(jié)論成立，現(xiàn)考慮，由代數(shù)基本定理，有一複根。若為實(shí)數(shù)則，其中不為實(shí)數(shù)，則若也是的複根，於是設(shè)，則是一個(gè)二次實(shí)係數(shù)不可約多項(xiàng)式，且不可約多項(xiàng)式的乘積，故結(jié)論成立。由歸納假設(shè)知可分解成一次因式與二次。即在上，推論3中不可約多項(xiàng)式除一次多項(xiàng)式外，只有含非實(shí)共軛複根的二次多項(xiàng)式。推論4n（n>0）次實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：不可約，即滿足在R上例1.8.2：設(shè)是多項(xiàng)式的非零根，求以為根的四次多項(xiàng)式。解：設(shè)為多求多項(xiàng)式。所求多項(xiàng)式是：或§1.8有理係數(shù)多項(xiàng)式

本節(jié)討論有理數(shù)域上多項(xiàng)式的可約性，以及如何求Q上多項(xiàng)式的有理根，由於與在上的可約性相同。因此討論在Q上的可約性可轉(zhuǎn)化為求整係數(shù)多項(xiàng)式在Q上的可約性。一、整係數(shù)多項(xiàng)式的可約性定義1（本原多項(xiàng)式）：若整係數(shù)多項(xiàng)式的係數(shù)互素，則稱是一個(gè)本原多項(xiàng)式。例如：

本原多項(xiàng)式的加、減運(yùn)算所得的未必是本原多項(xiàng)式，但相乘之後必是本原多項(xiàng)式。是本原多項(xiàng)式。引理（高斯定理）：兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式。證：設(shè)都是本原多項(xiàng)式若不是本原多項(xiàng)式，則存在素?cái)?shù)p，使由於都是本原多項(xiàng)式，故的係數(shù)不能都被p整除，的係數(shù)也不能被p整除，可設(shè)但但現(xiàn)考慮除了這一項(xiàng)外，p能整除其餘各項(xiàng)，因此這是一個(gè)矛盾，故是本原多項(xiàng)式。定理1.9.1：一個(gè)整係數(shù)n（n>0）次多項(xiàng)式在有理數(shù)域上可約的充要條件是它在整數(shù)環(huán)上可約。證：充分性顯然。下證必要性。設(shè)可分解成中兩個(gè)次數(shù)都小於n的多項(xiàng)式與的乘積，即有設(shè)的係數(shù)的公分母為m，則一個(gè)整係數(shù)多項(xiàng)式，把是係數(shù)的公因式n提出來，是本原多項(xiàng)式，即同理，存在有理數(shù)S，使也是本原多項(xiàng)式，於是下證是一個(gè)整數(shù)，設(shè)（p,q互素且p>0），由於是整係數(shù)多項(xiàng)式，故p能整除q與的每一係數(shù)的乘積，而p,q互素，故p能整除的每一係數(shù)，但由引理1知，是本原多項(xiàng)式，故p=1，從而rs是一個(gè)整數(shù)。C上不可約多項(xiàng)式只能是一次，R上不可約多項(xiàng)式只能是一次和含非實(shí)共軛複根的二次多項(xiàng)式，Q上不可約多項(xiàng)式的特徵是什麼？下麵的Eisenstein的判別法回答了這個(gè)問題。問題：定理1.9.2（Eisenstein判別法）：設(shè)是整係數(shù)多項(xiàng)式，若存在素?cái)?shù)p，使②①③則在Q上不可約。證（反證法）：若在Q上可約在Z上可約，即存在：使其中故或但兩者不能同時(shí)成立。不妨設(shè)但。由於，由知的係數(shù)不能都被p即但現(xiàn)考慮但p能整除其他項(xiàng)，故與已知矛盾。假設(shè)是第一個(gè)不能被p整除的係數(shù)，整除，在中不可約在中不可約。

由Eisenstein判別法知，Q上存在任意次不可約多項(xiàng)式。例1.9.1：是Q上不可約多項(xiàng)式，p是素?cái)?shù)。例1.9.2：判斷在Q上是否可約？解：分別取p=2,p=3即知。解：取素?cái)?shù)p即知。Eisenstein是判別多項(xiàng)式在Q上不可約的充分條件，但不是必要條件。注意：例：不可約，但找不到素?cái)?shù)p。係數(shù)多項(xiàng)式。特別地，若是本原的，則也是本原的。推論：設(shè)若都是整係數(shù)多項(xiàng)式，且是本原的，則必是整的所有係數(shù)。）（若不是二、整係數(shù)多項(xiàng)式的有理根定理1.9.3：設(shè)是一個(gè)整係數(shù)多項(xiàng)式，若有理數(shù)是整係數(shù)多項(xiàng)式的一個(gè)根，這裏u，v是互素的整數(shù)，則①②證：（1）是的根，有一次因式即因?yàn)槭潜驹囗?xiàng)式是整係數(shù)多項(xiàng)式，故是整係數(shù)多項(xiàng)式。（2）設(shè)是整數(shù)。比較兩邊n次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)係數(shù)得：由定理1.9.3，要求整係數(shù)多項(xiàng)式的有理根，只要求出最高次項(xiàng)係數(shù)的因數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)的因數(shù)。然後對(duì)形如有理數(shù)用綜合除法來檢驗(yàn)，如果最高次係數(shù)為1，則整係數(shù)多項(xiàng)式f的有理根只能是整根。這樣的例1.9.3：求的有理根。解：2的因數(shù)是的因數(shù)是故可能的有理根只能是對(duì)用綜合除法逐一檢驗(yàn)知：的有理根只能是。定理1.9.4：設(shè)是互素的整數(shù)，且是整係數(shù)多項(xiàng)式的根，則證：由把代入得：§1.10多元多項(xiàng)式

前面介紹了一元多項(xiàng)式的基本性質(zhì)，但是除了一元多項(xiàng)式外；還有含多個(gè)文字的多項(xiàng)式，即多元多項(xiàng)式，如下麵簡單介紹有關(guān)多元多項(xiàng)式的一些概念。設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，是n個(gè)文字，形如—（1）的式子，其中是非負(fù)整數(shù)，稱為一個(gè)單項(xiàng)式。

如果兩個(gè)單項(xiàng)式中相同文字的冪全一樣，那麼它們就稱為同類項(xiàng)。一些單項(xiàng)式的和就稱為n元多項(xiàng)式，簡稱多項(xiàng)式，記為—（2）

和一元多項(xiàng)式一樣，n元多項(xiàng)式也可以定義相等，相加、相減、相乘。

相等：如果F上兩個(gè)n元多項(xiàng)式有完全相同的項(xiàng)（或者只差一些係數(shù)為零的項(xiàng)），則稱這兩個(gè)多項(xiàng)式是相等的。

相加：F上兩個(gè)n元多項(xiàng)式與的和指的是把分別出現(xiàn)在這兩個(gè)多項(xiàng)式中對(duì)應(yīng)的同類項(xiàng)的係數(shù)相加多得的n元多項(xiàng)式。例如：設(shè)則f與g的和是

相減：設(shè)

把g的係數(shù)都換成各自的相反數(shù)，所得多項(xiàng)式叫做g的負(fù)多項(xiàng)式，記為

相乘：F上兩個(gè)n元多項(xiàng)式與與g的每一項(xiàng)相乘，然後把這些乘積相加（合併同類項(xiàng)）所得的多項(xiàng)式稱為f與g的積，記為fg。的乘積指的是，先把f的每一項(xiàng)例如則

這樣定義的多項(xiàng)式的加法和乘法與中學(xué)代數(shù)裏多項(xiàng)式的運(yùn)算一致，n元多項(xiàng)式的運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律：設(shè)則⑴（加法結(jié)合律）⑵（加法交換律）⑶（乘法結(jié)合律）（乘法交換律）⑷⑸（乘法分配律）我們把F上一切n個(gè)文字的集合，連同以上定義的加法和乘法叫做F上n個(gè)文字的多項(xiàng)式所成的多項(xiàng)式環(huán)，記作同一元多項(xiàng)式一樣，也可以談?wù)搉元多項(xiàng)式的次數(shù)。設(shè)稱為單項(xiàng)式的次數(shù)，

對(duì)f來說其中係數(shù)不為零的單項(xiàng)式的最高次數(shù)就稱為這個(gè)多項(xiàng)式f的次數(shù)，記為

設(shè)f、g是F上兩個(gè)不等於零的n元多項(xiàng)式，則f與g的和與積的次數(shù)與f、g的次數(shù)有如下關(guān)係：1、2、

結(jié)論1是顯然的，但要證明結(jié)論2，還得先考慮多元多項(xiàng)式的排列順序，在一元多項(xiàng)式中，我們看到多項(xiàng)式的升冪（或降冪）排列對(duì)許多問題的討論是方便的。為此，對(duì)多元多項(xiàng)式也引入一種排列順序的方法，這種方法是模仿字典排列的原則得出的，因而稱為字典排列法。每一類單項(xiàng)式（1）都對(duì)應(yīng)一個(gè)n元數(shù)組

為了給單項(xiàng)式之間一個(gè)排列順序的方法，我們只要對(duì)n元數(shù)但定義一個(gè)先後順序就可以了。其中為非負(fù)整數(shù)，這個(gè)對(duì)應(yīng)是1-1的，設(shè)兩個(gè)單項(xiàng)式分別對(duì)應(yīng)n元數(shù)組和考慮如果有使而則稱n元數(shù)組先於數(shù)組記為於是對(duì)應(yīng)於的單項(xiàng)式就排在對(duì)應(yīng)於的單項(xiàng)式前面。例如，對(duì)多項(xiàng)式按字典排列法寫出來就是：應(yīng)該注意的是，

把一個(gè)多項(xiàng)式按字典排列法書寫後，次數(shù)較高的項(xiàng)並不一定排在次數(shù)較低的項(xiàng)的前面，例如上面的首項(xiàng)次數(shù)為4，第二項(xiàng)的次數(shù)為6，而

關(guān)於多項(xiàng)式的首項(xiàng)有以下定理，這個(gè)定理在下一節(jié)討論對(duì)稱多項(xiàng)式時(shí)將要用到定理1.10.1：數(shù)域F上兩個(gè)非零的n元多項(xiàng)式和的乘積的首項(xiàng)等於這兩個(gè)多項(xiàng)式首項(xiàng)的乘積。證明：設(shè)的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為為了證明它們的積為fg的首項(xiàng)，只要證明數(shù)組先於乘積中其他單項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的有序數(shù)組就行了。的有序數(shù)組有三類：中其他單項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)①②③其中於是這證明在乘積fg的首項(xiàng)。推論1.10.1：則的首項(xiàng)等於每個(gè)的首項(xiàng)的乘積。如果推論1.10.2：如果則現(xiàn)在回到兩個(gè)n元多項(xiàng)式的乘積的次數(shù)上來，設(shè)是一個(gè)n元多項(xiàng)式，則稱f是一個(gè)k次齊次多項(xiàng)式，簡稱k次齊次。如果中各項(xiàng)都有同一次數(shù)k，例如就是一個(gè)4次齊次多項(xiàng)式。

兩個(gè)齊次多項(xiàng)式的乘積仍是齊次多項(xiàng)式，它的次數(shù)就等於這兩個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)之和。任何一個(gè)m次多項(xiàng)式都可以唯一地表成幾組齊次多項(xiàng)式的和，即是i次齊次多項(xiàng)式，若就是f的一個(gè)i次齊次成分。數(shù)域F上兩個(gè)不等於零的n元多項(xiàng)式的乘積的次數(shù)等於這兩個(gè)多項(xiàng)式次數(shù)的和。定理1.10.2：證明：設(shè)且

它們的次數(shù)分別為m和s，把f與g分別寫成齊次多項(xiàng)式的和：這裏或者等於零，或者分別是i次或j次齊式並且於是由推論1.10.2：且是一個(gè)m+s次齊式，其餘各項(xiàng)或者等於零，或者是一個(gè)次數(shù)低於m+s的齊式。因此

同一元多項(xiàng)式一樣，F(xiàn)上n元多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)是相同的。對(duì)於數(shù)域F上一個(gè)n元多項(xiàng)式對(duì)F中任意n個(gè)數(shù)如果在中，用代替就得到數(shù)域F中一個(gè)確定的數(shù)，稱為時(shí)多項(xiàng)式的值，用來表示。如果由此一個(gè)n元多項(xiàng)式就確定一個(gè)n元多項(xiàng)式函數(shù)。則數(shù)組叫做的一個(gè)零點(diǎn)。對(duì)作映射：這個(gè)映射就確定一個(gè)由到F的函數(shù)，稱為多項(xiàng)式在的值。設(shè)如果則對(duì)都有這說明相等的多項(xiàng)式確定相同的多項(xiàng)式函數(shù)。下麵證明其反面也成立。定理1.10.3：設(shè)如果對(duì)任意都有則證明思路：

當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立，假設(shè)對(duì)於F上n-1個(gè)文字的多項(xiàng)式來說結(jié)論成立，現(xiàn)考慮n個(gè)文字的多項(xiàng)式，把含有同一次冪的項(xiàng)歸在一起並把的冪提到括弧外，則這裏任意取定代入得已知對(duì)有取則有由於定理對(duì)一元多項(xiàng)式成立，故有又由於對(duì)中有由歸納假設(shè)，故從而§1.11對(duì)稱多項(xiàng)式

對(duì)稱多項(xiàng)式是多元多項(xiàng)式中常見的一種，也是一類比較重要的多元多項(xiàng)式，它的應(yīng)用比較廣泛，對(duì)稱多項(xiàng)式的來源之一以及它應(yīng)用的一個(gè)重要方面，是一元多項(xiàng)式根的研究，下麵我們從一元多項(xiàng)式的根與係數(shù)的關(guān)係談起。設(shè)是的一個(gè)多項(xiàng)式，如果在F中有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），則可分解為把上式展開，比較兩邊係數(shù)，得根與係數(shù)關(guān)係如下：由此看出，多項(xiàng)式的係數(shù)是對(duì)稱地依賴於方程的根的，改寫上述方程組得—（1）所得n個(gè)n元多項(xiàng)式是對(duì)稱地依賴於文字下麵給出對(duì)稱多項(xiàng)式的概念。定義1.11.1：對(duì)於n元多項(xiàng)式如果對(duì)任意的都有則稱這個(gè)多項(xiàng)式為對(duì)稱多項(xiàng)式。例如：是一個(gè)三元對(duì)稱多項(xiàng)式，是一個(gè)n元對(duì)稱多項(xiàng)式。都是n元對(duì)稱多項(xiàng)式，（1）中的稱為初等對(duì)稱多項(xiàng)式。並非每一個(gè)多項(xiàng)式都是對(duì)稱多項(xiàng)式，例如這時(shí)由定義可以推出：1、兩個(gè)n元對(duì)稱多項(xiàng)式的和、差、積仍是n元對(duì)稱多項(xiàng)式；2、如果一個(gè)對(duì)稱多項(xiàng)式含有一項(xiàng)則也一定含有一切形如的項(xiàng)。這裏是的任意一個(gè)排列；3、如果是n元對(duì)稱多項(xiàng)式，而是任一多項(xiàng)式，那麼是n元對(duì)稱多項(xiàng)式。

在對(duì)稱多項(xiàng)式的理論中，初等對(duì)稱多項(xiàng)式佔(zhàn)有一個(gè)很重要的地位。下麵將要證明，每一個(gè)n元對(duì)稱多項(xiàng)式都可以唯一地表示成初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式。這是對(duì)稱多項(xiàng)式的基本定理。下麵不加證明給出一個(gè)引理。引理1.11.1：設(shè)是數(shù)域F上一個(gè)n元多項(xiàng)式，以代替得關(guān)於的一個(gè)多項(xiàng)式如果則有定理1.11.1：數(shù)域F上每個(gè)n元對(duì)稱多項(xiàng)式都可以表成關(guān)於初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式且這種表示方法是唯一的。證明：1、設(shè)對(duì)稱多項(xiàng)式按字典排列的首項(xiàng)是—（2）則這一項(xiàng)的冪指數(shù)必滿足不等式：不然，設(shè)有某個(gè)i，使由於是對(duì)稱多項(xiàng)式，故也含有項(xiàng)—（3）

而按字典排列法，（3）項(xiàng)應(yīng)在（2）項(xiàng)之前，這與（2）項(xiàng)是首項(xiàng)矛盾。2、令由知，每一個(gè)的冪指數(shù)都是非負(fù)整數(shù)，而作為一些初等對(duì)稱的冪的乘積，是的一個(gè)對(duì)稱多項(xiàng)式，的首項(xiàng)是它等於f的首項(xiàng)。因此令是一個(gè)n元對(duì)稱多項(xiàng)式，且的首項(xiàng)，對(duì)的首項(xiàng)小於f對(duì)稱多項(xiàng)式重複上述消去首相的方法，我們得到是F上的初等對(duì)稱多項(xiàng)式的冪的乘積，的首項(xiàng)小於的首項(xiàng)。

如此繼續(xù)作下去，這個(gè)過程一定在有限步後終止，即存在一個(gè)自然數(shù)m，使這是因?yàn)?，若—?）是某個(gè)的首項(xiàng)。由於是對(duì)稱多項(xiàng)式。所以這一項(xiàng)的冪指數(shù)必須滿足不等式另一方面，（4）項(xiàng)小於項(xiàng)（2），故且是有限數(shù)，滿足這樣的數(shù)組只能是有限多組。因此經(jīng)過有限步後，必有一於是我們得一串等式把這一串等式相加，即得這裏每一都是F上關(guān)於初等對(duì)稱多項(xiàng)式的冪的乘積，可是f可以表成的多項(xiàng)式。下證表方法是唯一的。如果多項(xiàng)式有兩種運(yùn)算式：和都是的多項(xiàng)式。由引理1.11.1：故因此

基本定理的證明同時(shí)給出一個(gè)用初等對(duì)稱多項(xiàng)式來表示對(duì)稱多項(xiàng)式的方法。例1：用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示n元對(duì)稱多項(xiàng)式f的首項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的n元數(shù)組為故取於是故對(duì)於複雜的對(duì)稱多項(xiàng)式，可以利用待定係數(shù)法來求。設(shè)是F上一個(gè)單項(xiàng)式，用符號(hào)—（5）表示這個(gè)單項(xiàng)式經(jīng)過的一切置換所得的所有不同項(xiàng)的和。1、（5）式是一個(gè)對(duì)稱多項(xiàng)式，並且是齊次的。例如例2：用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示n元對(duì)稱多項(xiàng)式由定理1.11.1的證明知道，所求的表示式的各項(xiàng)完全取決於相應(yīng)的對(duì)稱多項(xiàng)式的首項(xiàng)，這些首項(xiàng)必須滿足以下條件：

每個(gè)的首項(xiàng)都小於f的首項(xiàng)，如果i>j，則的首項(xiàng)小於的首項(xiàng)；

每一首項(xiàng)的指數(shù)組滿足不等式

每一首項(xiàng)的次數(shù)都等於4（因?yàn)閒是一個(gè)四次齊式，因此每一也是四次齊次）；

由f的首項(xiàng)的指數(shù)組開始，寫出滿足上述條件的一切可能的指數(shù)組，以及對(duì)應(yīng)的的冪的乘積，列表如下：指數(shù)組對(duì)應(yīng)的的冪的乘積於是多項(xiàng)式f可以表成其中a、b是待定係數(shù)，要確定a、b的值，只要對(duì)取一些特殊值代入即可求出。例如對(duì)例2，可以先取對(duì)於這組值，而由於得再取這時(shí)故由得於是2、如果所給的對(duì)稱多項(xiàng)式不是齊次多項(xiàng)式，則可以先把它寫成一些齊次多項(xiàng)式的和，然後再對(duì)每一齊次多項(xiàng)式應(yīng)用待定係數(shù)法?？紤]的差積的平方D是一個(gè)重要的對(duì)稱多項(xiàng)式。由基本定理，D可以表示成的多項(xiàng)式由根與係數(shù)的關(guān)係知，是的根。於是若則在C上有重根，反之也成立故為一元多項(xiàng)式的判別式。例：設(shè)求的判別式。解：設(shè)的根為§2.1引言§2.1引言

解方程是代數(shù)中一個(gè)基本問題，在中學(xué)我們學(xué)過一元、二元、三元以至四元一次線性方程組。在解線性方程組時(shí)，我們?cè)么胂ê图訙p消元法來解線性方程組。例如，對(duì)二元一次方程組（2.1.1）利用加減消元法，由和得若，則有我們用記號(hào)表示，+－若，則是方程組（2.1.1）的公式解。對(duì)三元一次線性方程組（2.1.2）若+－則是方程組（2.1.2）的公式解。這裏是分別用代替中第1列，第2列，第3列所得的行列式。

由此，我們引入了二階行列式和三階行列式的定義，同時(shí)給出了二元一次和三元一次線性方程組的公式解。我們自然要問，對(duì)於n元一次線性方程組（2.1.3）是否也有類似於（2.1.1)、（2.1.2）的公式解？

這首先就必須解決：能否把二階、三階行列式推廣到n階行列式？要解決這個(gè)問題，必須回答以下一系列問題：這個(gè)n階行列式如何定義？n階行列式中一共包含有多少項(xiàng)？每一項(xiàng)由哪些元素組成？哪些項(xiàng)前面帶正號(hào)？哪些項(xiàng)前面帶負(fù)號(hào)？

有了n階行列式的定義後，我們才能研究方程組（2.1.3）有沒有類似於二元、三元方程組的公式解。§2.2

排列第二章行列式一、排列與對(duì)換排列的定義：由n個(gè)數(shù)碼1，2，…，n組成的一個(gè)無重複的有序數(shù)組稱為這n個(gè)數(shù)碼的一個(gè)排列，簡稱為n元排列。例如，312是一個(gè)3元排列，2341是一個(gè)4元排列，45321是一個(gè)5元排列，等等。3元排列共有多少種不同的排列？123132213231312321n元排列共有多少種不同的排列？在n元排列中，只有123…n這個(gè)排列是按自然順序排列，其他排列或多或少破壞自然排列。反序的定義：在一個(gè)n元排列中，如果有一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼前面，則稱這兩個(gè)數(shù)碼在這個(gè)排列中構(gòu)成一個(gè)反序，一個(gè)n元排列中所有反序的總和稱為這個(gè)排列的反序數(shù)，記為或。例如：一般地，這是計(jì)算一個(gè)n元排列的反序數(shù)的一般方法，特別在證明題中有用。對(duì)換的定義：在一個(gè)n元排列中，如果交換某兩個(gè)數(shù)碼的位置而別的數(shù)碼不動(dòng)，則稱對(duì)這個(gè)排列施行了一個(gè)對(duì)換。如果交換的兩個(gè)數(shù)碼是和，就把這個(gè)對(duì)換記為例如問題1：任意兩個(gè)n元排列是否可經(jīng)一系列對(duì)換而互變？引理1：任意一個(gè)n元排列

可經(jīng)一系列對(duì)換變?yōu)樽匀慌帕?2…n。證明（用歸納法）：1、當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論顯然成立。2、假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1元排列成立，（1）則對(duì)任一個(gè)n元排列，假如，則由歸納假設(shè)知可經(jīng)一系列對(duì)換變?yōu)?2…（n-1）。於是經(jīng)同樣一系列的對(duì)換，變?yōu)?2…(n-1)n；（2）假如，設(shè)，於是經(jīng)一次對(duì)換，得由（1）知，經(jīng)一系列對(duì)換可把變?yōu)?2…n。因而可經(jīng)一系列變換變?yōu)?2…n。(證畢)由於對(duì)換是可逆的，因此有推論1：自然排列12…n可經(jīng)一系列的對(duì)換變到任意一個(gè)n元排列：。

由引理1和推論1，我們圓滿地解決上面提出的問題1，這就是：定理2.2.1：任意兩個(gè)n元排列可經(jīng)一系列對(duì)換互化。問題2：排列的反序數(shù)可以是，反序數(shù)究竟有何作用？二、排列的奇偶性。排列的奇偶性：如果一個(gè)n元排列的反序數(shù)是一個(gè)奇數(shù)，則稱該排列為奇排列，反序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列。例如：是奇排列，而是偶排列。問題3：對(duì)n元排列施行一次對(duì)換，對(duì)排列的奇偶性有沒有影響？例如，，。定理2.2.2：每一個(gè)對(duì)換均改變排列的奇偶性。證明：（先特殊後一般）1、先考慮特殊情況，即對(duì)換的兩個(gè)數(shù)在n元排列中是相鄰的。設(shè)排列（1）：化為排列（2）：，在排列（1）中，若

與其他數(shù)構(gòu)成反序，則在排列（2）中仍然構(gòu)成反序；若與其他數(shù)不構(gòu)成反序的，則在排列（2）中也不構(gòu)成反序。不同的是的順序發(fā)生變化，若在（1）中構(gòu)成一個(gè)反序，則在（2）中經(jīng)對(duì)換(j,k)不構(gòu)成反序，或在（1）中不構(gòu)成一個(gè)反序，則在（2）中構(gòu)成一個(gè)反序。無論是減少還是增加一個(gè)反序，排列反序數(shù)的奇偶性均發(fā)生變化，因此定理成立。2、再考慮一般情況，設(shè)排列為（3）：經(jīng)對(duì)換後化為排列（4）：這樣一個(gè)對(duì)換可以經(jīng)由一系列相鄰數(shù)碼的對(duì)換來實(shí)現(xiàn)。從（3）出發(fā)，依次把與對(duì)換，與對(duì)換，…，與對(duì)換。經(jīng)過S+1次相鄰數(shù)碼的對(duì)換，排列（3）化為排列（5）：；再把依次與對(duì)換，則經(jīng)S次相鄰數(shù)碼的對(duì)換，排列（5）就化為排列（4）。故經(jīng)2S+1相鄰數(shù)碼的對(duì)換，就把排列（3）化為排列（4）。由第一步知每一次相鄰位置的對(duì)換均改變排列的奇偶性，因此，奇數(shù)次的對(duì)換的最終結(jié)果仍然改變排列的奇偶性。問題4：在全體n元排列中，究竟是奇排列多還是偶排列多？定理2.2.3：當(dāng)時(shí)，在n!個(gè)n元排列中，奇、偶排列各占一半，即各有個(gè)。證明：由於，故由定理2.2.2知，在n元排列中總有奇排列和偶排列，設(shè)在n!個(gè)n元排列中，有S個(gè)奇排列和T個(gè)偶排列。把S個(gè)奇排列中的每一個(gè)排列的任兩個(gè)數(shù)碼對(duì)換，這S個(gè)奇排列就都變成偶排列，但總共只有T個(gè)偶排列，故。同理對(duì)T個(gè)偶排列中每一個(gè)進(jìn)行對(duì)換，得。因此，又，§2.3n階行列式的定義問題：如何定義n階行列式？、二階與三階行列式的構(gòu)造特點(diǎn)：（1）二階行列式是一個(gè)含有項(xiàng)的代數(shù)和；（2）每一項(xiàng)都是兩個(gè)元素的乘積，這兩個(gè)元素既位於不同的行，又位於不同的列，並且展開式恰好是由所有這些可能的乘積組成；（3）任意項(xiàng)中每個(gè)元素都帶有兩個(gè)下標(biāo)，第一個(gè)下標(biāo)表示元素所在行的位置，第二個(gè)下標(biāo)表示該元素所在列的位置。當(dāng)把每一項(xiàng)乘積的元素按行指標(biāo)排成自然順序後，每一項(xiàng)乘積的符號(hào)由這一項(xiàng)元素的列指標(biāo)所成的排列的奇偶性決定，奇排列取負(fù)號(hào)，偶排列取正號(hào)。對(duì)三階行列式也有相同的特點(diǎn)特點(diǎn)：（1）共有3！項(xiàng)的代數(shù)和；（2）每一項(xiàng)是三個(gè)元素的乘積，這三個(gè)元素既位於不同的行又位於不同的列，展開式恰由所有這些可能的乘積組成；（3）當(dāng)把每一項(xiàng)乘積的元素按行下標(biāo)排成自然順序後，每一項(xiàng)的符號(hào)由這一項(xiàng)元素的列指標(biāo)所成的排列的奇偶性決定。二、n階行列式的定義1、為一個(gè)n階行列式，它等於所有取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和，這裏是的一個(gè)排列。每一項(xiàng)中把行下標(biāo)按自然順序排列後，其符號(hào)由列下標(biāo)排列的奇偶性決定。當(dāng)偶排列時(shí)取正號(hào)，當(dāng)是是奇排列時(shí)取負(fù)號(hào)，即

根據(jù)定義可知：n階行列式共由n!項(xiàng)組成；要計(jì)算n階行列式，首先作出所有可能的位於不同行不同列元素構(gòu)成的乘積；把構(gòu)成這些乘積的元素的行下標(biāo)排成自然順

序，其符號(hào)由列下標(biāo)所成排列的奇偶性決定；n階行列式的定義是二、三階行列式的推廣。2、例子例2.3.1：計(jì)算行列式例2.3.2：計(jì)算行列式例2.3.3：用行列式定義計(jì)算例2.3.4：設(shè)問：是不是四階行列式的項(xiàng)？如果是，應(yīng)取何符號(hào)？是，取符號(hào)：-1是，取符號(hào)：-1例2.3.5：設(shè)問：（1）dhsy與ptaz是否為的項(xiàng)？應(yīng)取何符號(hào)？（2）含有t的項(xiàng)有多少？（6項(xiàng)）注：在一個(gè)行列式中，通常所寫的元素本身不一定有下標(biāo)，即使有下標(biāo)，其下標(biāo)也不一定與這個(gè)元素本身所在的行與列的位置完全一致。因此要確定一項(xiàng)的符號(hào)，必須按照各元素在行列式中實(shí)際所在的行與列的序數(shù)計(jì)算。在一般情況下，把n階行列式中第i行與第j列交叉位置上的元素記為在行列式中，從左上角到右下角這條對(duì)角線稱為主對(duì)角線定理2.3.1在n階行列式中，項(xiàng)所帶的符號(hào)是證明：1、交換項(xiàng)—(1)中任兩個(gè)元素與的位置，不改變把（1）中與對(duì)換後得—(2)由於對(duì)換改變排列的奇偶性,故與與的奇偶性互化，2、逐次交換（1）中的元素的次序，可以把（1）化為故—(3)+與有相同的奇偶性+的奇偶性。—（4）而（4）的行下標(biāo)與列下標(biāo)所成排列和的奇偶性與（3）相同，於是因此項(xiàng)所帶的符號(hào)是注：本定理說明在確定行列式中某項(xiàng)應(yīng)取的符號(hào)時(shí)，可以同時(shí)考慮該項(xiàng)行排列與列排列的反序數(shù)之和，而不一定要把行下標(biāo)排成自然順序。例2.3.6：試確定四階行列式中項(xiàng)的符號(hào)，寫出四階行列式中包含且取正號(hào)的所有項(xiàng)。解所帶符號(hào)是:取正號(hào)的項(xiàng)包括，幾種特殊的行列式：對(duì)角形行列式上三角行列式下三角行列式§2.4行列式的基本性質(zhì)

直接用定義計(jì)算行列式是很麻煩的事，本節(jié)要導(dǎo)出行列式運(yùn)算的一些性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，將使行列式的計(jì)算大為簡化。轉(zhuǎn)置行列式：把n階行列式的第i行變?yōu)榈趇列（i=1，2，…，n）所得的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，用表示。性質(zhì)1：行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。（轉(zhuǎn)置變換）證：考察D的任意項(xiàng)—（1）它是取自D的不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，因而也是取自的第行，1，2，…，n列的n個(gè)元素的乘積，因而也是中的一項(xiàng):—（2）。（1）項(xiàng)所帶的符號(hào)是,(2)項(xiàng)所帶的符號(hào)也是。因而D中的任一項(xiàng)均為中的項(xiàng)而且所帶的符號(hào)也相同。同理可知中的任一項(xiàng)也是D中的項(xiàng)且所帶的符號(hào)相同。因此D=性質(zhì)1表明，在行列式中，行與列的地位是相同的。凡是對(duì)行成立的性質(zhì)，對(duì)列也同樣成立。性質(zhì)2：把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常數(shù)k，相當(dāng)於用數(shù)k乘這個(gè)行列式，即（倍法變換）證明：推論1：一個(gè)行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提到行列式的符號(hào)外面。推論2：如果行列式中某一行（列）所有元素都為零，則這個(gè)行列式等於零。在性質(zhì)2中，取k=0，即知結(jié)論成立。性質(zhì)3：交換行列式D中的某兩行（列），行列式變號(hào)。（換法變換）即設(shè)則有：證：取D中任一項(xiàng)：—（1）它所帶的符號(hào)是：，顯然也是中的一項(xiàng)，它所帶符號(hào)為：。由於對(duì)換改變排列的奇偶性，故D中的任一項(xiàng)與中對(duì)應(yīng)項(xiàng)剛好相差一個(gè)符號(hào)，故推論3：如果行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)相同，則這個(gè)行列式等於零。（交換這兩行（列）即知）推論4：如果行列式中有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則這個(gè)行列式等於零。（利用性質(zhì)2和推論3）性質(zhì)4：如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成兩項(xiàng)之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式之和，即（拆法變換）證明：性質(zhì)5：把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一個(gè)數(shù)k再加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上，所得行列式與原行列式相等。（消法變換）即利用性質(zhì)4和推論4即知。例2.4.1計(jì)算行列式例2.4.2計(jì)算行列式定理2.4.1：任一個(gè)n階行列式都可以利用性質(zhì)5中的行或列變換化為一個(gè)與其相等的上（下）三角行列式。證明：設(shè)1、先設(shè)D中第一列元素不全為零，若則把第i行所有元素同乘1加到第一行上，則故不妨設(shè)把第一行依次乘以後分別加到第2行，…，第n行，則—（1）若D中第一列元素全為零，則D已經(jīng)是（1）的形式。現(xiàn)對(duì)（1）中第二列的進(jìn)行考慮，同上類似，先設(shè)它們不全為零，不妨設(shè)，則利用上面相似的方法，可得仿此不斷進(jìn)行下去，就可把D化為上三角行列式。例2.4.3計(jì)算n階行列式解法一：法二：在一個(gè)n階行列式中，若有，則稱為n階對(duì)稱行列式；若有則稱為反對(duì)稱行列式。例2.4.4奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式等於0。證明：設(shè)為奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式。由於得於是例2.4.5(思考題)計(jì)算n階行列式§2.5行列式依行（列）展開

上一節(jié)我們利用行列式的性質(zhì)把一個(gè)行列式化為上三角或下三角行列式，然後根據(jù)定義算出行列式的值，或者把一個(gè)行列式化成其中含有儘量多個(gè)零的行列式，然後算出行列式的值。本節(jié)我們沿著另一條思路來計(jì)算行列式的值，即通過把高階行列式轉(zhuǎn)化為低階行列式來計(jì)算行列式的值。例如

如果我們能把n階行列式轉(zhuǎn)化為n-1階行列式，把n-1階行列式轉(zhuǎn)化為n-2階，…，而行列式的階數(shù)越小越容易計(jì)算，我們就可以化繁為簡，化難為易，從而儘快算出行列式的值。為了這個(gè)目的，我們需引進(jìn)如下概念：一、餘子式和代數(shù)行列式定義1（餘子式）：在一個(gè)n階行列式中，劃去元素所在的行和列，餘下的元素構(gòu)成一個(gè)n-1階子式，稱為元素

的餘子式，記為定義2（代數(shù)餘子式）：的餘子式附以符號(hào)後，稱為元素的代數(shù)餘子式，記為。例2.5.1.在行列式中，求元素p和s的餘子式和代數(shù)餘子式。二、行列式依行（列）展開

先考慮比較特殊的情況，即一個(gè)n階行列式中某一行（列）除一個(gè)元素外，其餘元素都為零的情況，這時(shí)有以下引理。引理：如果行列式中，第i行（或第j列）中元素除了外其餘都是零，則

證明：1、D中第一行元素除外其餘皆為零，這時(shí)2、假設(shè)D中第i行除外其餘皆為零，這時(shí)此時(shí)

把D中的第i行依次與第i-1行，第i-2行，…，第1行對(duì)換，再把第j列依次與第j-1列，第j-2列，…，第1列對(duì)換，這樣共經(jīng)過（i-1）+（j-1）次行與列的對(duì)換，則D轉(zhuǎn)化為注意到行列式中任兩行（列）的對(duì)換改變行列式的符號(hào)，故3、行列式依行（列）展開定理2.5.1

行列式等於它的任意一行（列）中所有元素與其代數(shù)餘子式乘積的和，即有或證：定理2.5.2.

行列式中，某一行（列）中元素與另一行（列）中對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)餘子式乘積之和等於零，即有考察行列式然後按第j行展開即知。例2.5.2.計(jì)算行列式解：例2.5.3計(jì)算行列式解：

計(jì)算行列式的一個(gè)基本方法是：先利用行列式的性質(zhì)把某行（列）化成有盡可能多的零，然後把行列式按這行（列）展開，這樣計(jì)算要簡單。如果不分青紅皂白把行列式降階，由於要計(jì)算的行列式個(gè)數(shù)成倍增多，則計(jì)算量未必減少。例2.5.4計(jì)算範(fàn)德蒙行列式解：這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法證明範(fàn)德蒙行列式也可用歸納法證之§2.6行列式的計(jì)算對(duì)一般的數(shù)字行列式，如果它的元素之間沒有特定的規(guī)律，其計(jì)算方法是：

1）利用行列式性質(zhì)把它化為上三角或下三角行列式，則行列式的值等於其主對(duì)角線上元素的連乘積；

2）選定某一行（列），利用行列式性質(zhì)把其中元素盡可能多的化為0；然後按這一行（列）展開，如此繼續(xù)下去可得結(jié)果。如果行列式的元素之間有某種規(guī)律，特別是含字母或式子的行列式，則需根據(jù)不同情況採用不同方法加以計(jì)算，這方面的計(jì)算頗有技巧性，下麵介紹一些典型方法。一、各行（列）倍數(shù)總加法例2.6.1：計(jì)算解：練習(xí)1計(jì)算二、逐行（列）倍數(shù)依次相加法例2.6.2計(jì)算（依次把第n列，第n-1列，…，第2列乘x加到第n-1列，…2，1列）三、遞推法例2.6.3計(jì)算範(fàn)德蒙行列式解：四、加邊法例2.6.4計(jì)算解：當(dāng)時(shí)，故五、歸納法例2.6.75計(jì)算解：我們猜測(cè)證明：當(dāng)n=2,3時(shí)，結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)n-2階，n-3階行列式成立，即則對(duì)n階行列式練習(xí)2計(jì)算§2.7Gramer法則

行列式理論在解一類特殊的線性方程組方面有重要應(yīng)用，對(duì)於二元一次和三元一次方程組，當(dāng)方程組的係數(shù)行列式不為0時(shí)，方程組有唯一的公式解。對(duì)於n元一次方程組，相應(yīng)的結(jié)論也成立，這就是下麵要介紹的Gramer法則。設(shè)n元一次線性方程組為—（1）稱為這個(gè)方程組的係數(shù)行列式。把D中的第j列換成常數(shù)列後所得行列式記為則

定理2.7.1（Gramer法則）：

如果線性方程組（1）的係數(shù)行列式有唯一解，其解為：

，則這個(gè)方程組—（2）其中是把D中的第j列元素?fù)Q成常數(shù)項(xiàng)所得的行列式，該定理包括三個(gè)結(jié)論：

方程組在時(shí)有解；

解是唯一的；

解由公式（2）給出。這三個(gè)結(jié)論相互之間有聯(lián)繫，因此證明的步驟是：1、把（2）代入方程組，驗(yàn)證它是方程組（1）的解；2、假設(shè)方程組有解，則它的解必可由公式（2）給出。證：把方程組簡寫成首先證明公式（2）確是方程組（1）的解。把代入第i個(gè)方程得：因此確是方程組（1）的解。再證方程組（1）的解必由公式（2）給出。設(shè)是方程組（1）的任一解，則有—（3）用D中第j列元素的代數(shù)餘子式依次乘以（3）中每個(gè)方程得把這n個(gè)方程相加得：而例2.7.1解線性方程組解：由於方程組的係數(shù)行列式故方程組有唯一解。由於方程組的解是注意：克萊姆法則只適用於方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等，且係數(shù)行列式不等於零的線性方程組。如果方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不相等或雖相等，但係數(shù)行列式等於零，克萊姆法則失效。如果線上性方程組（1）中常數(shù)項(xiàng)全為零，即有—（4）稱方程組（4）為齊次線性方程組，這種方程組顯然有解：稱其為零解。齊次線性方程組如果有其他的解，則稱為非零解。我們關(guān)心方程組（4）什麼時(shí)候有非零解。定理2.7.2：

若齊次線性方程組（4）的係數(shù)行列式，則方程組（4）只有零解。證：由Gramer法則，方程組（4）只有唯一解：但由於推論：齊次線性方程組（4）有非零解的充要條件是其係數(shù)行列式等於零。例2.7.2當(dāng)取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解。解：當(dāng)或時(shí)，方程組有非零解?！?.8Laplace展開定理

利用行列式的依行（列）展開可以把n階行列式化為n-1階行列式來處理，這在簡化計(jì)算以及證明中都有很好的應(yīng)用。但有時(shí)我們希望根據(jù)行列式的構(gòu)造把n階行列式一下降為n-k階行列式來處理，這是必須利用Laplace展開定理。為了說明這個(gè)方法，先把餘子式和代數(shù)餘子式的概念加以推廣。定義（k階子式和它的餘子式）：在n階行列式D中，任意取定k行或k列（），設(shè)為第行和第列。位於這些行列式交叉位置上的元素構(gòu)成的k階子式記為N，則在D中劃去這k行k列後，餘下的元素按照原來相對(duì)位置所構(gòu)成的n-k階子式，稱為子式N的餘子式。定義（代數(shù)餘子式）：N的餘子式M附以符號(hào)，即稱為N的代數(shù)餘子式。注意：1、當(dāng)k=1時(shí)，上面定義的餘子式和代數(shù)餘子式就是§2.5中關(guān)於一個(gè)元素的餘子式和代數(shù)餘子式。2、M是N的餘子式，N便是M的餘子式，M、N互為餘子式。例2.8.1寫出行列式第三行所得的所有二階子式及它們的餘子式和代數(shù)餘式。二階子式共有中取定第一行和個(gè)。引理：n階行列式D的任一個(gè)子式N與它的代數(shù)餘子式乘積中的每一項(xiàng)都是行列式D的展開式中的一項(xiàng)，而且符號(hào)也一致。

證明：首先考慮N位於行列式D的左上方（即第1，2，…，k行和第1，2，…，k列）的情況。這時(shí)D中k階子式N的餘子式位於右下角，其代數(shù)餘子式為N的每一項(xiàng)可寫作：，其中是1，2，…，k的一個(gè)排列。所以這一項(xiàng)前面所帶符號(hào)為：，中每一項(xiàng)可寫為其中是k+1,k+2,…,n的一個(gè)排列。這一項(xiàng)在M中所帶的符號(hào)是：（或）。這兩項(xiàng)的乘積是：所帶的符號(hào)是：由於都比k大，所以上述符號(hào)等於。因此這個(gè)乘積是行列式D中的一項(xiàng)而且符號(hào)相同。

現(xiàn)考慮N位於D的第行，第列。這裏為了利用前面的結(jié)論，我們先把第行依次與行對(duì)換，這樣經(jīng)過次對(duì)換把第行換到第1行，再把第行依次與第行對(duì)換而換到第2行，共經(jīng)次對(duì)換，如此進(jìn)行下去，一共經(jīng)過次行對(duì)換把第行換到第1，2，…，k行。利用類似的列變換，可以把N的第列換到第1，2，…，k列，這時(shí)一共經(jīng)過次列變換，把N換到左上角，把M換到右下角。用表示經(jīng)上述行、列變換後得到的新行列式，由於一次行（列）對(duì)換改變行列式的符號(hào)，故新、舊行列式之間有如下關(guān)係：由此可知，和D的展開式中出現(xiàn)的項(xiàng)是一樣的，只不過每一項(xiàng)都相差符號(hào)為現(xiàn)在N位於的左上角，它的餘子式位於的右下角，由第一步知中的每一項(xiàng)都是中的一項(xiàng)且符號(hào)相同，故中每一項(xiàng)都與D中的一項(xiàng)相等且符號(hào)一致。定理2.8.1（Laplace定理）：設(shè)在行列式D中任意取定行，由這k行元素所組成的一切k階子式與它們的代數(shù)餘子式的乘積的和等於行列式D。證明：設(shè)D中取定k行後所得的子式為它的代數(shù)餘子式分別為下證—（1）由引理知，中的每一項(xiàng)都是D中一項(xiàng)而且符號(hào)相同，而且和無公共項(xiàng)。因此要證明（1）式成立，只要證明等式兩邊的項(xiàng)數(shù)相等就可以了。由定義知D中共有項(xiàng)，為了計(jì)算（1）的右邊的項(xiàng)數(shù)，先算出t共有多少個(gè)。由組合公式知因此取出的k階子式共有個(gè)，而中共有項(xiàng)，中共有項(xiàng)，故等式（1）的右邊的項(xiàng)數(shù)共有例2.8.2計(jì)算行列式解：取定1、4兩行，由Laplace定理得由上例可知，對(duì)特殊類型的行列式，Laplace展開能使計(jì)算簡化，另外，定理還能用於理論證明。定理2.8.2（行列式相乘規(guī)則）：兩個(gè)n階行列式和的乘積等於行列式，其中為中第i行元素與中第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和，即證明：構(gòu)造一個(gè)2n階行列式取定前n行，根據(jù)Laplace展開得對(duì)作消法變換，即分別用乘第1列，第2列，…，第n列加到第n+1列，用乘第1列，第2列，…，第n列加到第n+2列，…，用乘第1列，第2列，…，第n列加到第2n列，則化為由此得兩個(gè)n階行列式的乘法規(guī)則是：第三章線性方程組§3.1消元法§3.1消元法對(duì)一般線性方程組—（1）當(dāng)m=n，且係數(shù)行列式時(shí)，我們知方程組（1）有唯一解，其解由Gramer法則給出。但是若此時(shí)D=0，我們無法知道此時(shí)方程組是有解，還是無解。同時(shí)，當(dāng)時(shí)，我們也沒有解此方程組（1）的有效方法。因此我們有必要對(duì)一般線性方程組（1）進(jìn)行研究。在中學(xué)代數(shù)中，我們?cè)眉訙p消元法和代入消元法來解二元、三元線性方程組。實(shí)際上用加減消元法比用行列式解方程組更具有普遍性。下麵考慮解線性方程組：

解方程組：把未知量係數(shù)和常數(shù)按原順序?qū)懗上卤怼训?個(gè)方程分別乘以（-2）、（-1）加到第2個(gè)、3個(gè)方程把第1行分別乘以（-2）、（-1）加到第2、3行→把第3個(gè)方程分別乘以（-4）、1加到第2個(gè)、1個(gè)方程把第3行分別乘以（-4）、1加到第2、1行→把第2個(gè)方程與第3個(gè)方程互換位置把第2行與第3行互換位置→分別把第1個(gè)方程和第3個(gè)方程乘以和分別用和乘第1行和第3行→把第3個(gè)方程分別乘以（-1）、1加到第1、2個(gè)方程分別把把第3行乘以（-1）、1加到第1、2行→在用消元法解線性方程組時(shí)我們實(shí)際上是對(duì)方程組進(jìn)行如下三種變換：用一個(gè)數(shù)乘某個(gè)方程的兩邊加到另一方程上；用一個(gè)非零數(shù)乘一個(gè)方程的兩邊；互換兩個(gè)方程的位置。這三種變換總稱為線性方程組的初等變換。如果把方程組寫成“數(shù)表”（矩陣）的形式,則解方程組就相當(dāng)於對(duì)“數(shù)表”（矩陣）進(jìn)行以下三種變換：

用一個(gè)數(shù)乘矩陣的某一行加到另一行上；用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行；

互換兩行的位置。這三種變換被稱為矩陣的初等行變換。

從上面可以看出，解線性方程組的問題可以轉(zhuǎn)化成對(duì)由方程組的未知量係數(shù)和常數(shù)項(xiàng)所排成的一個(gè)“數(shù)表”進(jìn)行相應(yīng)的“變換”，從而得到方程組的解。這個(gè)數(shù)表就稱為矩陣。拋開具體的背景，下麵引進(jìn)矩陣的定義和它的初等變換。定義1（矩陣）：數(shù)域上個(gè)元素排成形如下數(shù)表稱為矩陣的或稱為數(shù)域上的m行n列矩陣，簡稱階矩陣，記為。元素，i稱為元素所在行的行下標(biāo)，j稱為元素所在列的當(dāng)m=n時(shí)，矩陣亦稱為方陣。列下標(biāo)。若，則稱為矩陣A的行列式，記為注意行列式與矩陣在形式上與本質(zhì)上的區(qū)別。定義2（矩陣的初等變換）：以下三種變換稱為矩陣的初等變換：

用一個(gè)數(shù)乘矩陣的某一行（列）加到另一行（列）上；（消法變換）用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）；（倍法變換）交換矩陣中某兩行（列）的位置。（換法變換）

為了利用矩陣的行初等變換解線性方程組，我們要解決以下問題：一個(gè)線性方程組經(jīng)初等變換後所得線性方程組是否與原方程組同解。證明：對(duì)第（1）種初等變換證明之。

由方程組未知量係數(shù)按原來的順序組成的矩陣，稱為方程組的係數(shù)矩陣，記為A。由方程組未知量係數(shù)和常數(shù)組成的矩陣稱為方程組的增廣矩陣，記為對(duì)方程組進(jìn)行初等變換，其實(shí)質(zhì)就是對(duì)方程組中未知量係數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成的矩陣（稱為增廣矩陣）進(jìn)行相應(yīng)的初等變換，因此由定理3.1.1，我們有定理3.1.2:

對(duì)線性方程組（1）的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換化為，則以為增廣矩陣的線性方程組（2）與（1）同解。

由前面的討論知，對(duì)一個(gè)線性方程組施行初等變換，相當(dāng)