第25講-矩陣的概念及運算(講義-練習(xí))(解析版)

第25講矩陣的概念及運算知識點概要1.矩陣：個實數(shù)排成行列的矩形數(shù)表叫做矩陣。記作，叫做矩陣的維數(shù)。矩形數(shù)表叫做矩陣，矩陣中的每個數(shù)叫做矩陣的元素。2.線性方程組的系數(shù)矩陣、方程組的增廣矩陣、行向量、列向量、單位矩陣。3.線性方程組矩陣的三種變換：①互換矩陣的兩行；②把某一行同乘（除）以一個非零的數(shù)；③某一行乘以一個數(shù)加到另一行。4.矩陣運算：加法、減法及乘法（1）矩陣的和（差）：記作：A+B（A-B）.運算律：加法交換律：A+B=B+A；加法結(jié)合律：（A+B）+C=A+（B+C）（2）矩陣與實數(shù)的積：設(shè)為任意實數(shù)，把矩陣A的所有元素與相乘得到的矩陣叫做矩陣A與實數(shù)的乘積矩陣，記作：A.運算律：分配律：；；結(jié)合律：；（3）矩陣的乘積：設(shè)A是階矩陣，B是階矩陣，設(shè)C為矩陣。如果矩陣C中第i行第j列元素是矩陣A第i個行向量與矩陣B的第j個列向量的數(shù)量積，那么C矩陣叫做A與B的乘積，記作：Cm×n=Am×kBk×n.運算律：分配律：，；結(jié)合律：，；注意：矩陣的乘積不滿足交換律，即.換的目的是將線性方程阻系數(shù)矩陣變?yōu)閱挝痪仃嚕鋽U(kuò)充矩陣的最后一列就是方程組的解。精選同步練習(xí)一、填空題1．方程組對應(yīng)的增廣矩陣為______．【答案】【分析】利用增廣矩陣的定義即可求解.【解析】方程組的增廣矩陣為其系數(shù)以及常數(shù)項構(gòu)成的矩陣，故方程組對應(yīng)的增廣矩陣為，故答案為：2．已知一個關(guān)于x、y的二元線性方程組的增廣矩陣是，則_________．【答案】【分析】由二元線性方程組的增廣矩陣可得到二元線性方程組的表達(dá)式為，由此能求出的值.【解析】由二元線性方程組的增廣矩陣是，可得到二元線性方程組的表達(dá)式為，解得：，所以，故答案為：3．計算_____________．【答案】【分析】根據(jù)矩陣乘法運算法則求得正確結(jié)論.【解析】.故答案為：4．已知矩陣，，則__________；【答案】【分析】根據(jù)矩陣的運算求解即可.【解析】因為矩陣，，所以，故答案為：5．_______.【答案】【分析】直接利用矩陣的乘法的性質(zhì)計算即可得到結(jié)論.【解析】由矩陣的乘法的性質(zhì)可得：故答案為：.【點睛】本題考查矩陣乘法的運算，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題.6．矩陣的第2行的行向量是__________．【答案】【分析】根據(jù)行向量定義即可得結(jié)果.【解析】的第2行的行向量是,故答案為：【點睛】本題考查矩陣行向量概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7．已知，，則_______.【答案】【分析】直接根據(jù)矩陣運算法則得到答案.【解析】.故答案為：.【點睛】本題考查了矩陣的運算，屬于簡單題.8．，，則________．【答案】【分析】直接利用矩陣的運算法則計算得到答案.【解析】.故答案為：.【點睛】本題考查了矩陣的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和對于矩陣運算的理解和掌握.9．若線性方程組的增廣矩陣是，解為，則_______；【答案】12【分析】根據(jù)增廣矩陣還原出相應(yīng)的線性方程組，然后將代入線性方程組即可得到的值，即可得答案．【解析】由題意，此增廣矩陣對應(yīng)的線性方程組為：將代入方程組得：∴.故答案為：.【點睛】本題主要考查線性方程組與增廣矩陣的對應(yīng)關(guān)系，以及根據(jù)線性方程組的解求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.10．計算：_____．【答案】【分析】根據(jù)矩陣乘法的計算法則即可計算出來?！窘馕觥扛鶕?jù)矩陣乘法的計算法則，可知．【點睛】本題主要考查了矩陣乘法的計算法則，屬于基礎(chǔ)題。11．在行列矩陣中，若記位于第行第列的數(shù)為，則當(dāng)時，____________.【答案】66【分析】觀察矩陣,依次寫出,進(jìn)而求和即可【解析】由題,若記位于第行第列的數(shù)為,當(dāng)時,,,,,,,，,,,,所以,,故答案為：66【點睛】本題考查利用矩陣的特征求值,考查分析探索規(guī)律的能力12．二階方陣稱距陣為A的轉(zhuǎn)置矩陣記作，設(shè)M、N是兩個二階矩陣，對于下列四個結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）是“”的充分不必要條件；其中真命題的序號為________.【答案】（1）（2）（4）【分析】根據(jù)題意，利用矩陣的加法和乘法運算，對題目中的命題進(jìn)行分析，判斷正誤即可.【解析】對于（1），設(shè)，正確；對于（2），設(shè)，，正確；對于（3），，，故錯誤；對于（4），若，則，故充分性成立；反之若滿足，故必要性不成立，正確.故答案為：（1）（2）（4）【點睛】本題考查了二階矩陣的新定義，矩陣的加法和乘法運算，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題.二、單選題13．關(guān)于、的二元一次方程組的增廣矩陣為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二元一次方程方程組與增廣矩陣的關(guān)系，即可求得結(jié)果.【解析】關(guān)于的二元一次方程組的增廣矩陣為，故選：C14．方程組有非零解是的（）A．充分條件 B．充要條件 C．必要條件 D．非充分非必要條件【答案】C【分析】化簡方程組得，不妨設(shè)，則，解得，而是的必要不充分條件，由此可得到正確選項.【解析】由，化簡可得，依題意，不妨設(shè)，則，解得，而是的必要不成分條件，所以方程組有非零解是的必要條件.故選：C.【點睛】本題主要考查必要條件的判定，二元一次方程組解的存在性，二元方程的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.15．對二元一次方程組的增廣矩陣經(jīng)過一系列的初等行變換，得：，則列向量為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意得到，，再代入方程組即可得到答案.【解析】二元一次方程組的增廣矩陣經(jīng)過一系列的初等行變換，得：，所以，，所以，即.列向量為.故選：A【點睛】本題主要考查方程組的增廣矩陣，屬于簡單題.16．矩陣的一種運算，該運算的幾何意義為平面上的點在矩陣作用下變換成點，若曲線，在矩陣的作用下變換成曲線，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點是曲線上的一點，在矩陣的作用下的點為，可得出，代入方程化簡后與方程作比較，可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，即可求出的值.【解析】設(shè)點是曲線上的一點，在矩陣的作用下的點為，即，代入方程，得，即，得，解得，因此，.故選：B.【點睛】本題主要考查幾種特殊的矩陣變換、曲線與方程等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵就是利用待定系數(shù)法求出參數(shù)的值，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題17．求矩陣，滿足．【答案】【分析】直接根據(jù)矩陣的運算法則計算得到答案.【解析】，則.【點睛】本題考查了矩陣的運算，意在考查學(xué)生的計算能力和對于矩陣運算的理解和掌握.18．用矩陣變換的方法解方程組：.【答案】.【分析】寫出方程組的增廣矩陣，然后通過矩陣變換求方程組的解.【解析】∴原方程組的解為.【點睛】本題考查用矩陣變換的方法解方程組，利用矩陣變換解線性方程組的一般過程為：寫出方程組的增廣矩陣，通過矩陣變換使系數(shù)矩陣變成單位矩陣，則增廣矩陣的最后一個列向量給出了方程組的解；考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.19．已知矩陣，，求矩陣，使.【答案】【分析】設(shè)，計算出可得關(guān)于諸未知數(shù)的方程組，求出其解后可得.【解析】設(shè)，則由，得，【點睛】本題考查矩陣方程的解，此類問題常轉(zhuǎn)化為方程組的解，本題為基礎(chǔ)題.20．已知，，其中，若，求（1）的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)矩陣相等得到，利用和差公式計算得到答案.（2）根據(jù)結(jié)合角度范圍得到，得到答案.【解析】（1）由，即，，則.（2）得或，，，故.【點睛】本題考查了相等矩陣，三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21．已知，，．求（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接由矩陣的乘法運算法則計算即可；（2）直接由矩陣的乘法運算法則計算即可；（3）由（1）中的，再利用矩陣的乘法運算法則先計算；（4）由，結(jié)合（3）的結(jié)果可得解.【解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【點睛】矩陣的乘法運算要注意：（1）兩個矩陣相乘的前提是前一個矩陣列數(shù)與后一個矩陣的行數(shù)相同．（2）矩陣乘法不滿足交換律，但滿足結(jié)合律，屬于基礎(chǔ)題.22．設(shè)二階方矩陣，則矩陣所對應(yīng)的矩陣變換為：，其意義是把點變換為點，矩陣叫做變換矩陣.（1）當(dāng)變換矩陣時，點、經(jīng)矩陣變換后得到點分別是、，求經(jīng)過點、的直線的點方向式方程；（2）當(dāng)變換矩陣時，若直線上的任意點經(jīng)矩陣變換后得到的點仍在該直線上，求直線的方程；（3）若點經(jīng)過矩陣變換后得到點，且與關(guān)于直線對稱，求變換矩陣.【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）由給出的變換矩陣定義求出、的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方向向量，求出點向式方程；（2）設(shè)直線方程為：：，求出其上點關(guān)于矩陣變換后的點也滿足直線的方程，再根據(jù)兩直線重合的條件：斜率相等，截距相同即可求出直線方程；（3）因為點經(jīng)過矩陣變換后得到點，且與關(guān)于直線對稱，所以有：，解之得：，再根據(jù)，得出即可.【解析】（1）由題意得：，即，解之得：，所以；，即，解之得：，所以，則，所以方程為，即；（2），即，設(shè)：（不全為），：，即，由題知，與重合得，所以或，，得，，得或，即，；（3）因為與關(guān)于直線對稱，所以有：，解之得：，故，所以.【點睛】本題考查矩陣變換問題，考查矩陣的求法，考查運算能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．23．矩陣乘法運算的幾何意義為平面上的點在矩陣的作用下變換成點，記，且.（1）若平面上的點在矩陣的作用下變換成點，求點的坐標(biāo)；（2）若平面上相異的兩點、在矩陣的作用下，分別變換為點、，求證：若點為線段上的點，則點在的作用下的點在線段上；（3）已知△的頂點坐標(biāo)為、、，且△在矩陣作用下變換成△，記△與△的面積分別為與，求的值，并寫出一般情況（三角形形狀一般化且變換矩陣一般化）下與的關(guān)系（不要求證明）.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），若變化矩陣