山東省牟平一中2024屆校高三第五次月考數(shù)學(xué)試題

山東省牟平一中2024屆校高三第五次月考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個空間幾何體的正視圖是長為4，寬為的長方形，側(cè)視圖是邊長為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．已知是雙曲線的兩個焦點，過點且垂直于軸的直線與相交于兩點，若，則的內(nèi)切圓半徑為（）A． B． C． D．3．記等差數(shù)列的公差為，前項和為.若，，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)滿足當(dāng)時，，且當(dāng)時，；當(dāng)時，且).若函數(shù)的圖象上關(guān)于原點對稱的點恰好有3對，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知F是雙曲線（k為常數(shù)）的一個焦點，則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為（）A．2k B．4k C．4 D．26．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A．2 B．3 C． D．7．已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為（）A． B． C． D．28．若數(shù)列滿足且，則使的的值為()A． B． C． D．9．函數(shù)的定義域為，集合，則（）A． B． C． D．10．為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區(qū)域為不平等區(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數(shù).對于下列說法：①越小，則國民分配越公平；②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為，則對，均有；③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④11．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．12．已知數(shù)列中，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，復(fù)數(shù)且（為虛數(shù)單位），則__________，_________．14．若非零向量，滿足，，，則______.15．已知函數(shù)則______.16．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，則的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，，公差，、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）如圖，正方形所在平面外一點滿足，其中分別是與的中點.（1）求證：；（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分別為，，的中點，以為折痕將折起，使點到達點位置（平面）．（1）若為直線上任意一點，證明：MH∥平面；（2）若直線與直線所成角為，求二面角的余弦值．20．（12分）在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的大??；（2）若，為外一點，，求四邊形面積的最大值.21．（12分）某房地產(chǎn)開發(fā)商在其開發(fā)的某小區(qū)前修建了一個弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開發(fā)商計劃從點出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設(shè)．（1）用表示線段并確定的范圍；（2）為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長度設(shè)計到最長，求的最大值．22．（10分）如圖，在四棱柱中，底面為菱形，.（1）證明：平面平面；（2）若，是等邊三角形，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積．【題目詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，．故選：B．【題目點撥】本題考查三視圖，考查棱柱的體積．解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體．2、B【解題分析】

首先由求得雙曲線的方程，進而求得三角形的面積，再由三角形的面積等于周長乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【題目詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選：B【題目點撥】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)心的概念，考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.3、C【解題分析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗證選項.【題目詳解】因為，，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，還考查運算求解能力，屬于中檔題.4、C【解題分析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點對稱的圖象，分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件，解之即可.【題目詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象，再作出關(guān)于原點對稱的圖象，如圖所示，當(dāng)時，對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點；當(dāng)時，要使函數(shù)關(guān)于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點，則，解得.故選：C.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.5、D【解題分析】

分析可得,再去絕對值化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式,進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】當(dāng)時,等式不是雙曲線的方程；當(dāng)時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選：D【題目點撥】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

運行程序，依次進行循環(huán),結(jié)合判斷框，可得輸出值.【題目詳解】起始階段有，，第一次循環(huán)后，，第二次循環(huán)后，，第三次循環(huán)后，，第四次循環(huán)后，，所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3，當(dāng)時，再次循環(huán)輸出的,，此時，循環(huán)結(jié)束，輸出，故選：B【題目點撥】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.7、C【解題分析】

由復(fù)數(shù)的除法運算整理已知求得復(fù)數(shù)z，進而求得其模.【題目詳解】因為，所以故選：C【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算與求復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】因為，所以是等差數(shù)列，且公差，則，所以由題設(shè)可得，則，應(yīng)選答案C．9、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【題目詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【題目點撥】本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎(chǔ)題.10、A【解題分析】

對于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式，可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積越小，國民分配越公平，所以①正確.對于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯誤.對于③，因為，所以，所以③錯誤.對于④，因為，所以，所以④正確.故選A．11、B【解題分析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【題目詳解】是奇函數(shù)，排除C，D；，排除A.故選：B.【題目點撥】本題考查函數(shù)圖象的判斷，屬于?？碱}.12、B【解題分析】

先根據(jù)題意，對原式進行化簡可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【題目詳解】由題，即由累加法可得：即對于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的通項的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運用，屬于綜合性較強的題目，解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù)，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】∵復(fù)數(shù)且∴∴∴∴，故答案為，14、1【解題分析】

根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積公式，得出，解方程即可得出答案.【題目詳解】，即解得或（舍）故答案為：【題目點撥】本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長公式的應(yīng)用，屬于中檔題.15、【解題分析】

先由解析式求得（2），再求（2）．【題目詳解】（2），，所以（2），故答案為：【題目點撥】本題考查對數(shù)、指數(shù)的運算性質(zhì)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對號入座”,屬于容易題．16、【解題分析】

真數(shù)有最小值，根據(jù)已知可得的范圍，求出函數(shù)的最小值，建立關(guān)于的不等量關(guān)系，求解即可.【題目詳解】，且（且）有最小值，，的取值范圍為.故答案為：.【題目點撥】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)是等差數(shù)列，，、、成等比數(shù)列，列兩個方程即可求出，從而求得，代入化簡即可求得；（2）化簡后求和為裂項相消求和，分組求和即可，注意討論公比是否為1.【題目詳解】（1）由題意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①當(dāng)時，.②當(dāng)時，.【題目點撥】此題等差數(shù)列的通項公式的求解，裂項相消求和等知識點，考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于一般性題目.18、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）先證明EF平面，即可求證；（2）根據(jù)二面角的余弦值，可得平面，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量計算線面角即可.【題目詳解】（1）連接，交于點，連結(jié).則，故面.又面，因此.（2）由（1）知即為二面角的平面角，且.在中應(yīng)用余弦定理，得，于是有，即，從而有平面.以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則，于是，，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得于是平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，因此.【題目點撥】本題主要考查了線面垂直，線線垂直的證明，二面角，線面角的向量求法，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）【解題分析】

(1)根據(jù)中位線證明平面平面，即可證明MH∥平面；（2）以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，找到點的坐標(biāo)代入公式即可計算二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：連接，∵，，分別為，，的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理，平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）連接，在和中，由余弦定理可得，，由與互補，，，可解得，于是，∴，，∵，直線與直線所成角為，∴，又，∴，即，∴平面，∴平面平面，∵為中點，，∴平面，如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的法向量為，∴，即．令，則，，可得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，∴，∴二面角的余弦值為．【題目點撥】此題考查線面平行，建系通過坐標(biāo)求二面角等知識點，屬于一般性題目.20、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理化簡等式可得，即；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四邊形，進而可得最值.【題目詳解】（1），由正弦定理得：在中，，則，即，，即.（2）在中，又，則為等邊三角形，又，-當(dāng)時，四邊形的面積取最大值，最大值為.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21、（1），；（2）米.【解題分析】

(1)過點作于點再在中利用正弦定理求解,再根據(jù)求解,進而求得.再根據(jù)確定的范圍即可.(2)根據(jù)(1)有,再設(shè),求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.【題目詳解】解：過點作于點則,在中,,,由正弦定理得：,,,,,因為,化簡得,令,,且,因為,故令即,記,當(dāng)時,單調(diào)遞增；當(dāng)時,單調(diào)遞減,又,當(dāng)時,取最大值,此時,的最大值為米．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)在實際中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意建立角度與長度間的關(guān)系,進而求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)三角函數(shù)值求解對應(yīng)的最值即可.屬于難題.22、（1）證明見解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可知，只需證明平面即可．由為菱形可得，連接和與的交點，由等腰三角形性質(zhì)可得，即能證得平面；（2）由題意知，平面，可建立空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，再分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可根據(jù)向量法求出二面角的余弦值．