專題02 等式與不等式（原卷版）

【學(xué)生版】專題02等式與不等式第2章等式與不等式【課本目錄】2.1等式與不等式的性質(zhì)：2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集；2.1.2一元二次方程的解集與根與系數(shù)的關(guān)系；2.1.3不等式的性質(zhì)2.2不等式的求解：2.2.1一元一次不等式及一元一次不等式組的求解；2.2.2一元二次不等式的求解；2.2.3分式不等式的求解；2.2.4含絕對值不等式的求解2.3基本不等式及其應(yīng)用；2.3.1平均值不等式及其應(yīng)用（1）；2.3.1平均值不等式及其應(yīng)用（2）；2.3.2三角不等式；本章內(nèi)容提要實數(shù)大小的比較：；；；等式的基本性質(zhì)傳遞性如果，且，那么；加法性質(zhì)如果，，那么；乘法性質(zhì)如果，，那么；不等式的基本性質(zhì)傳遞性如果，且，那么；加法性質(zhì)如果，，那么；乘法性質(zhì)如果，，那么；如果，，那么；一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系：設(shè)（）的兩根為、，則，；5.一元二次不等式的求解（下表中均假設(shè)，而）有兩不同實根有兩相同實根無實根解集為解集為解集為全體實數(shù)集解集為解集為全體實數(shù)集解集為全體實數(shù)集解集為解集為空集解集為空集解集為解集為解集為空集6.基本不等式平均值不等式（，）當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；常用不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.三角不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；題型1、比較兩數(shù)（式）的大小例1、（1）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．不確定（2）若a＞0，b＞0，則p＝與q＝的大小關(guān)系是【說明】比較大小常用的方法：1、作差(商)法：作差(商)?變形?判斷；2、構(gòu)造函數(shù)法：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；3、中間量法：利用中間量法比較兩式大小，一般選取“0”或“1”作為中間量；題型2、涉及對不等式性質(zhì)的理解

例2、（1）若a＞b，則下列結(jié)論正確的為（）

A．ln(a－b)＞0B．3a＜3b

C．a(chǎn)3－b3＞0D．|a|＞|b|

（2）對于實數(shù)a，b，c，下列命題中正確的序號是

①若a＞b，則ac＜bc；②若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2；

③若c＞a＞b＞0，則eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b)；④若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0；

【說明】涉及需理解不等式性質(zhì)解答的題，解決此類題目常用的三種方法；

1、直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗證．2、利用特殊值法排除錯誤答案，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．

3、利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；

題型3、不等式性質(zhì)的應(yīng)用例3、（1）小明同學(xué)的媽媽是某省援鄂醫(yī)療隊的隊員，為了迎接勝利歸來的英雄母親，小明準(zhǔn)備為媽媽獻上一束鮮花．據(jù)市場調(diào)查，已知6枝玫瑰花與3枝康乃馨的價格之和大于24元，而4枝玫瑰花與5枝康乃馨的價格之和小于22元，則2枝玫瑰花的價格和3枝康乃馨的價格比較結(jié)果是（）A．3枝康乃馨價格高B．2枝玫瑰花價格高C．價格相同D．不確定（2）已知0<a＋b<2，－1<b－a<1，則2a－b的取值范圍是________________．【說明】利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點：一是必須嚴(yán)格運用不等式的性質(zhì)；二是在多次運用不等式的性質(zhì)時有可能擴大了變量的取值范圍．解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運算求解取值范圍；題型4、對平均值不等式的理解與應(yīng)用例4、（1）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則（）A．a(chǎn)<v<eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C.eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)【說明】對基本不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下兩個方面：1、不等式成立的條件是a，b都是正數(shù)；2、“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b時，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；僅當(dāng)a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b；（2）如果0<a<b<1，P＝eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\r(ab)，M＝eq\r(a＋b)，那么P，Q，M的大小順序是【說明】運用基本不等式比較大小的注意點：1、要靈活運用基本不等式，特別注意其變形；2、應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b；題型5、結(jié)合平均值不等式利用配湊法求最值例5、（1）若－4＜x＜1，則f(x)＝eq\f(x2－2x＋2,2x－2)（）A．有最小值1B．有最大值1C．有最小值－1D．有最大值－1（2）設(shè)0＜x＜eq\f(3,2)，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為________．【說明】配湊法求最值的實質(zhì)及關(guān)鍵點：配湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配湊法的實質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，配系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵；題型6、結(jié)合平均值不等式利用常數(shù)代換法求最值例6、（1）已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，則eq\f(1,a－1)＋eq\f(1,2b)的最小值為（）A．eq\f(3,2)＋eq\r(2)B．eq\f(3,4)＋eq\f(\r(2),2)C．3＋2eq\r(2)D．eq\f(1,2)＋eq\f(\r(2),3)（2）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為________．【說明】常數(shù)代換法求解最值的基本步驟：1、根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；2、把確定的定值(常數(shù))變形為1；3、把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構(gòu)造和或積為定值的形式；4、利用基本不等式求解最值；題型7、結(jié)合平均值不等式利用消元法求最值例7、（1）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．（2）已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是________．【說明】利用消元法求最值的技巧：消元法，即先根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式，再進行最值的求解．有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解，但應(yīng)注意各個元的范圍；題型8、平均值不等式在實際問題中的應(yīng)用例8、（1）如圖所示，用總長為定值l的籬笆圍成長方形的場地，以墻為一邊，并用平行于一邊的籬笆隔開．（1）設(shè)場地面積為y，垂直于墻的邊長為x，試將y表示成x的表達式．（2）怎樣圍才能使得場地的面積最大？最大面積是多少？【說明】數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，建立和求解模型的過程，其一般步驟是：建模→解?！貧w驗證；（2）如圖，某生態(tài)園將一個三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹，已知A為120°，AB，AC的長度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆；（1）若圍墻AP與AQ總長度為200米，如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大？（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高米，造價均為每平方米100元．若圍圍墻用20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最?。俊菊f明】利用基本不等式求解實際問題的兩個注意點：1、利用基本不等式解決實際問題時，應(yīng)明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解；2、在求所列函數(shù)的最值時，若用基本不等式時，等號取不到，可利用函數(shù)單調(diào)性求解；題型9、一元二次不等式的解法例9、（1）不等式3＋5x－2x2≤0的解集為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>3或x<－\f(1,2)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤3))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥3或x≤－\f(1,2)))))D．R【說明】解一元二次不等式的一般步驟：1、將一元二次不等式化為一端為0的形式(習(xí)慣上二次項系數(shù)大于0)；2、求出相應(yīng)一元二次方程的根，或判斷出方程沒有實根；3、畫出相應(yīng)二次函數(shù)示意草圖，方程有根的將根標(biāo)在圖中；4、觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對比不等式中不等號的方向，寫出解集；（2）關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤2))))；求不等式cx2＋bx＋a<0的解集；【說明】已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時，一般遵循1、根據(jù)解集來判斷二次項系數(shù)的符號；2、根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；3、約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解；題型10、含參數(shù)的一元二次不等式的解法例10、（1）解關(guān)于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.（2）解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．【說明】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟特別提醒：對應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時再求判別式Δ，用求根公式計算；題型11、與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題例11、（1）若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)＜0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為（）A．(－3，0]B．[－3，0)C．[－3，0]D．(－3，0)（2）若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是【說明】一元二次不等式在R上恒成立的條件（也就是：形如f(x)≥0(f(x)≤0)在R上恒成立問題）不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0題型12、一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題例12、（1）若對任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a為常數(shù))，則a的取值范圍是（）A．(－∞，－3]B．(－∞，0]C．[1，＋∞)D．(－∞，1]（2）設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于任意x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，則m的取值范圍是_________【說明】一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法（即：形如f(x)≥0在區(qū)間[a，b]上恒成立問題）1、若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值（或范圍）；2、轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即已知函數(shù)f(x)的值域為[m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a；題型13、一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立確定x的取值范圍問題例13、（1）設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對于任意m∈[1,3]，f(x)＜－m＋4恒成立，則實數(shù)x的取值范圍為________________________．（2）對任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍．【說明】一元二次不等式在參數(shù)某區(qū)間上恒成立確定變量x取值范圍的方法（即：形如f(x)≥0(在參數(shù)m∈[a，b]上恒成立)確定x的取值范圍）解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)．一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解；題型14、一元二次不等式的實際應(yīng)用例14、（1）商場若將進貨單價為8元的商品按每件10元出售．每天可銷售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價來增加利潤．已知這種商品每件銷售價提高1元，銷售量就要減少10件．那么要保證每天所賺的利潤在320元以上，銷售價每件可定為（）A．11元B．16元C．12元到16元之間D．13元到15元之間（2）某文具店購進一批新型臺燈，每盞的最低售價為15元，若每盞按最低售價銷售，每天能賣出45盞，每盞售價每提高1元，日銷售量將減少3盞，為了使這批臺燈每天獲得600元以上的銷售收入，則這批臺燈的銷售單價x(單位：元)的取值范圍是【說明】利用一元二次不等式解決實際問題，應(yīng)理解題意，明確數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意建立數(shù)學(xué)模型，列出一元二次不等式，然后求解；題型15、有關(guān)不等式的新穎題、綜合題新高考下，高考數(shù)學(xué)命題遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，深化基礎(chǔ)性考查，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)與創(chuàng)造性思維，深入考查核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，加強情境化設(shè)計，增強題目的開放性．新情境、新設(shè)問、新題型等都成為新高考的一個特色．機械刷題、套路解題已遠遠達不到新高考的要求，減少刷題、減少套路，重思維、提能力例15、幾何原本》第二卷的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形來證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示的圖形，點F在半圓O上，點C在半徑OB上，且OF⊥AB.設(shè)AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為()A．eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a＞0，b＞0)B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C．eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a＞0，b＞0)D．eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)例16、某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系式為y＝－x2＋18x－25(x是正整數(shù))，求每臺機器為該公司創(chuàng)造的最大年平均利潤；例17、若對任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,3))))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,3)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,5))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,5)))))例18、設(shè)f(x)＝lnx,0＜a＜b.若p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系中正確的是()A．q＝r＜p B．q＝r＞pC．p＝r＜q D．p＝r＞q例19、若關(guān)于x的不等式2x2－8x－4－a＞0在{x|1＜x＜4}上有解，則實數(shù)a的取值范圍是________例20、已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2a－1.若對任意的a∈(0,3)，存在x0∈[0,4]，使得t≤|f(x0)|成立，求實數(shù)t的取值范圍；一、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）1、設(shè)M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，則有2、設(shè)a>0，b>0，且a≠b，則aabb與abba的大小關(guān)系為_______________________（按從大到小順序填寫）3、已知角α，β滿足－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，0＜α＋β＜π，則3α－β的取值范圍是________________________4、若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.5、設(shè)x，y為正數(shù)，若x＋eq\f(y,2)＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)取到最小值時x＝________________6、已知不等式2x＋m＋eq\f(2,x－1)＞0對一切x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____________7、已知函數(shù)f(x)＝3x＋eq\f(a,3x＋1)(a>0)的最小值為5，則a＝________.8、已知正實數(shù)a，b滿足a＋2b＝2，則eq\f(1＋4a＋3b,ab)的最小值為________．9、下面四個推導(dǎo)過程正確的序號是①若a，b為正實數(shù)，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2②若a∈R，a≠0，則eq\f(4,a)＋a≥2eq\r(\f(4,a)·a)＝4③若x，y∈R，xy<0，則eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x)))))≤－2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,x))))＝－2④若a<0，b<0，則eq\f(a2＋b2,2)≤ab10、若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是二、選擇題（共4小題每小題4分，滿分16分）11、已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1對任意x∈(0,2]有f(x)≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4)))B．[－1,1]C．(－∞，1]D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,4)))12、已知實數(shù)a，b滿足a＞b，則下列不等式中恒成立的是（）A．a(chǎn)2＞