實(shí)驗(yàn)五-FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)五FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)一:實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1)掌握用窗函數(shù)法，頻率采樣法及優(yōu)化設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)FIR濾波器的原理及方法，熟悉響應(yīng)的matlab編程；(2)熟悉線性相位FIR濾波器的幅頻特性和相頻特性；(3)了解各種不同窗函數(shù)對濾波器性能的影響。二:實(shí)驗(yàn)原理:〔一〕線性相位實(shí)系數(shù)FIR濾波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶對稱性分為四種：1、h(n)為偶對稱，N為奇數(shù);H(ejω)的幅值關(guān)于ω=0，π，2π成偶對稱。2、h(n)為偶對稱，N為偶數(shù);H(ejω)的幅值關(guān)于ω=π成奇對稱，不適合作高通。3、h(n)為奇對稱，N為奇數(shù);H(ejω)的幅值關(guān)于ω=0，π，2π成奇對稱，不適合作高通和低通。4、h(n)為奇對稱，N為偶數(shù);H(ejω)

ω=0、2π＝0，不適合作低通。(二)窗口法窗函數(shù)法設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器步驟確定數(shù)字濾波器的性能要求：臨界頻率{ωk}，濾波器單位脈沖響應(yīng)長度N；根據(jù)性能要求，合理選擇單位脈沖響應(yīng)h(n)的奇偶對稱性，從而確定理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)的幅頻特性和相頻特性；求理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)，在實(shí)際計(jì)算中，可對Hd(ejω)按M(M遠(yuǎn)大于N)點(diǎn)等距離采樣，并對其求IDFT得hM(n)，用hM(n)代替hd(n)；選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)w(n)，根據(jù)h(n)=hd(n)w(n)求所需設(shè)計(jì)的FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)；求H(ejω)，分析其幅頻特性，假設(shè)不滿足要求，可適當(dāng)改變窗函數(shù)形式或長度N，重復(fù)上述設(shè)計(jì)過程，以得到滿意的結(jié)果。窗函數(shù)的傅式變換W(ejω)的主瓣決定了H(ejω)過渡帶寬。W(ejω)的旁瓣大小和多少決定了H(ejω)在通帶和阻帶范圍內(nèi)波動(dòng)幅度，常用的幾種窗函數(shù)有：〔1〕矩形窗(RectangleWindow)〔2〕漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗〔3〕漢明(Hamming)窗，又稱改良的升余弦窗〔4〕布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗〔5〕凱塞(Kaiser)窗其中：β是一個(gè)可選參數(shù)，用來選擇主瓣寬度和旁瓣衰減之間的交換關(guān)系，一般說來，β越大，過渡帶越寬，阻帶越小衰減也越大。I0(·)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)。假設(shè)阻帶最小衰減表示為，β確實(shí)定可采用下述經(jīng)驗(yàn)公式：〔三〕頻率采樣法頻率采樣法是從頻域出發(fā)，將給定的理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)加以等間隔采樣，然后以此Hd(k)作為實(shí)際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性的采樣值H(k),由H(k)通過IDFT可得有限長序列h(n)，然后進(jìn)行DTFT或Z變換即可得H(ejω)〔四〕FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)是按照最大誤差最小化準(zhǔn)那么，使所設(shè)計(jì)的頻響與理想頻響之間的最大誤差，在通帶和阻帶范圍均為最小，而且是等波動(dòng)逼近的。為了簡化起見，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中一般將線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)的對稱中心置于n=0處，此時(shí)，線性相位因子α=0。令N=2M+1，那么如希望逼近一個(gè)低通濾波器，這里M，和固定為某個(gè)值。在這種情況下有定義一逼近誤差函數(shù)：E(ω)為在希望的濾波器通帶和阻帶內(nèi)算出的誤差值，W(ω)為加權(quán)函數(shù)，K應(yīng)當(dāng)?shù)扔诒戎郸?/δ2，δ1為通帶波動(dòng)，δ2為阻帶波動(dòng)。在這種情況下，設(shè)計(jì)過程要求|E(ω)|在區(qū)間和的最大值為最小，它等效于求最小δ2。根據(jù)數(shù)學(xué)上多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的理論，用三角多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)，在一定條件下存在最正確逼近的三角多項(xiàng)式，而且可以證明這個(gè)多項(xiàng)式是唯一的。這一最正確逼近定理通常稱作交替定理。在逼近過程中，可以固定K，M，和，而改變δ2，按照交替定理，首先估計(jì)出(M+2)個(gè)誤差函數(shù)的極值頻率，i=0,1,...,M+1，共計(jì)可以寫出(M+2)個(gè)方程式中ρ表示峰值誤差。一般僅需求解出ρ，接著便可用三角多項(xiàng)式找到一組新的極值頻率點(diǎn)，并求出新的峰值誤差ρ。依此反復(fù)進(jìn)行，直到前、后兩次ρ值不變化為止，最小的ρ即為所求的δ2。這一算法通常稱作雷米茲(Remez)交替算法。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟上機(jī)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：N=45，計(jì)算并畫出矩形窗、漢明窗、布萊克曼窗的歸一化的幅度譜，并比擬各自的主要特點(diǎn)。主要代碼如下：〔下同〕w1=rectwin(N);plot(n,w1,n,w2,'-.',n,w3)[h1,w]=freqz(w1,N);plot(w/pi,20*log10(abs(h1)),w/pi,20*log10(abs(h2)),'-.',w/pi,20*log10(abs(h3)))運(yùn)行結(jié)果如下：分析：矩形窗函數(shù)具有最窄的主瓣寬度，但有最大的旁瓣峰值；漢明窗函數(shù)的主瓣稍寬，而旁瓣較小；布萊克曼窗函數(shù)那么更甚之。矩形窗設(shè)計(jì)的濾波器過渡帶最窄，但是阻帶最小衰減也最差；布萊克曼窗設(shè)計(jì)的濾波器阻帶衰減最好，過度帶最寬，約為矩形窗設(shè)計(jì)的的三倍。漢明窗設(shè)計(jì)的濾波器處于矩形窗和布萊克曼窗之間。N=15，帶通濾波器的兩個(gè)通帶邊界分別是，。用漢寧〔Hanning〕窗設(shè)計(jì)此線性相位帶通濾波器，觀察它的實(shí)際3dB和20dB帶寬。N=45，重復(fù)這一設(shè)計(jì)，觀察幅頻和相位特性的變化，注意長度N變化的影響。b1=fir1(n,wn,hamming(n+1));stem([0:n],b1)freqz(b1,1)運(yùn)行結(jié)果如下：所設(shè)計(jì)濾波器的h(n):相應(yīng)的幅頻相頻特性曲線：分析：觀察它的實(shí)際3dB和20dB帶寬，發(fā)現(xiàn)N=15時(shí)，其3DB帶寬約為0.2pi,20db帶寬約為0.45pi；N=45時(shí)，其3DB帶寬約為0.16pi,20db帶寬約為0.3pi可見N增大，其3db帶寬和20db帶寬分別減小，濾波器特性變好，過渡帶變陡，幅頻曲線顯示其通帶較平緩，波動(dòng)小，阻帶衰減大。相頻特性曲線顯示其相位隨頻率變化也變大。分別改用矩形窗和Blackman窗，設(shè)計(jì)〔2〕中的帶通濾波器，觀察并記錄窗函數(shù)對濾波器幅頻特性的影響，比擬三種窗的特點(diǎn)。N=45時(shí)，三種窗設(shè)計(jì)的濾波器的h(n)分別如下：相應(yīng)的幅頻曲線如下：從以上三張圖可見：同一N值，分別用矩形窗，漢寧窗，漢明窗，布萊克曼窗設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，主瓣寬度逐漸增大,過渡帶變寬，但阻帶衰減性能變好；N增加，主瓣變窄，旁瓣的分量增加，過渡帶變陡，起伏震蕩變密。加窗處理對濾波器的頻率響應(yīng)會產(chǎn)生以下主要影響：〔1〕使理想特性不連續(xù)的邊沿加寬，形成一過渡帶，過渡帶的寬度取決于窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度?！?〕在過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振，它們?nèi)Q于窗函數(shù)頻譜的旁瓣；旁瓣越多，余振也越多；旁瓣相對值越大，肩峰那么越強(qiáng)。〔3〕增加截?cái)嚅L度，只能縮小窗函數(shù)頻譜的主瓣寬度而不能改變旁瓣的相對值；旁瓣與主瓣的相對關(guān)系只決定于窗函數(shù)的形狀。因此增加N，只能相對應(yīng)減小過渡帶寬。而不能改變肩峰值。肩峰值的大小直接決定通帶內(nèi)的平穩(wěn)和阻帶的衰減，對濾波器性能有很大關(guān)系。用Kaiser窗設(shè)計(jì)一專用線性相位濾波器，N=40，如圖，當(dāng)β=4、6、10時(shí)，分別設(shè)計(jì)、比擬它們的幅頻和相頻特性，注意β取不同值時(shí)的影響。w=kaiser(N,beta);h=fir1(N-1,[0.20.40.60.8],w);[h1,w1]=freqz(h,1);運(yùn)行結(jié)果如下：分析：β越大，w(n)窗越窄，頻譜的旁瓣越小，但主瓣寬度也相應(yīng)增加，過渡帶變寬，相位特性變好。用頻率采樣法設(shè)計(jì)〔4〕中的濾波器，過渡帶分別設(shè)一個(gè)過渡點(diǎn)，令H(k)=0.5。比擬兩種不同方法的結(jié)果。N=40;Hk=[00000.51110.50000.51110.5000000-0.5-1-1-1-0.5000-0.5-1-1-1-0.50000];k=0:N-1;thetak=-k*2*pi/N*((N-1)/2);hn=real(ifft(Hk.*exp(j*thetak)));[h,w]=freqz(hn,1);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));plot(w/pi,angle(h));stem([0:N-1],hn);運(yùn)行結(jié)果如下:分析：(6)用雷米茲(Remez)交替算法設(shè)計(jì)(4)中的濾波器，并比擬(4)、(5)、(6)三種不同方法的結(jié)果。fa=[0.175.2.4.425.575.6.8.8251];mag=[0011001100];b=remez(40,fa,mag);[h1,w1]=freqz(b,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));plot(w1/pi,angle(h1));運(yùn)行結(jié)果如下：分析：利用雷米茲(Remez)交替算法，設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位高通FIR數(shù)字濾波器，其指標(biāo)為：，,，,。fa=[500800];a=[01];dev=[0.010.109];fs=5000;[N,fpts,mag,wt]=remezord(fa,a,dev,fs);b=remez(N,fpts,mag,wt);[h1,w1]=freqz