河南省開封市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文科）（含解析）

2022年河南省高三期末聯(lián)考數(shù)學(xué)（文科）考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A.2.的實(shí)部與虛部之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡，進(jìn)而即得.【詳解】因?yàn)?，則的實(shí)部與虛部之和為為.故選：B.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的幾何性質(zhì)即可求得拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)椋?，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為．故選：C4.在數(shù)列中,,,則（）A.是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】B【解析】【分析】根據(jù)變形整理為,再求出,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可選出選項(xiàng).【詳解】解:由題知,所以,又因?yàn)?所以是等比數(shù)列,且首項(xiàng)為4,公比為2.故選:B5.將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，則（）A. B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.在內(nèi)是增函數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得的解析式，利用代入驗(yàn)證法判斷BC，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】由題可得，A錯(cuò)誤；因?yàn)椋缘膱D象不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C正確；因?yàn)?，所以在?nèi)不是增函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：C.6.函數(shù)零點(diǎn)為（）A.4 B.4或5 C.5 D.或5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解，注意函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得：，解得，故的定義域?yàn)椋?，得，則，解得或，又∵，所以．故選：C.7.已知三個(gè)單位向量，，滿足，則的最大值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可求得，再結(jié)合數(shù)量積的定義分析運(yùn)算.【詳解】因?yàn)?，則，∴，故當(dāng)，即與同向時(shí)，有最大值.故選：A.8.已知為球球面上的三個(gè)點(diǎn)，若，球的表面積為，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用球的表面積求出球的半徑，由三角形的正弦定理求出三角形外接圓的半徑，然后利用勾股定理求出三棱錐的高，最后利用椎體體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則由球的表面積為，所以設(shè)外接圓的半徑為，圓心為，由，所以為等邊三角形，所以，所以點(diǎn)O到平面的距離為，所以三棱錐的體積為：，故選：C.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A.5 B.6 C.8 D.7【答案】D【解析】【分析】利用框圖從逐個(gè)向后代入去計(jì)算，進(jìn)而求得滿足題意的的值.【詳解】時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，．故輸出i的值為7．故選：D10.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：數(shù)列由被3除余1且被4除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排列而成，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（）A.48 B.50 C.52 D.54【答案】C【解析】【分析】被3除余1且被4除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排列，構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式及其基本不等式即可得出結(jié)論．【詳解】被3除余1且被4除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排列，構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為的等差數(shù)列，則，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為52.故選：C11.雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】由題可知，設(shè)，則，，所以，又點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，，，所以，即，所以的離心率為.故選：.12.已知，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，再結(jié)合差比法進(jìn)行判斷即可.【詳解】．令，則，．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，即．因?yàn)?，所以．故．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵,第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.若，滿足約束條件則的最大值為______.【答案】11【解析】【分析】作出約束條件表示的可行域，根據(jù)題意可得當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值.【詳解】作出約束條件表示的可行域，表示斜率，橫截距為的直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且最大值為.故答案為：11.【點(diǎn)睛】14.在正中，連接三角形三邊中點(diǎn)，將它分成4個(gè)小三角形，并將中間的那個(gè)小三角形涂成白色后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過程得到如圖所示的圖形.在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形，將中間白色三角形依規(guī)律分成4個(gè)小白色三角形，利用幾何概型公式，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】將中間白色三角形依規(guī)律分成4個(gè)小白色三角形，則共可分為16個(gè)相同的小三角形，白色部分有7個(gè)小三角形，黑色部分有9個(gè)小三角形，故在內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是.故答案為：.15.若一個(gè)圓錐的母線與底面所成角的余弦值為，且該圓錐的表面積為，則該圓錐的母線長為______.【答案】3【解析】【分析】由題可得，然后根據(jù)圓錐的表面積公式即得.【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑和母線長分別為，，則，即，所以則該圓錐的表面積為，所以，.故答案為：3.16.若函數(shù)在上存在極值,則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】在上存在極值,即在上存在變號(hào)零點(diǎn),構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性,判斷函數(shù)性質(zhì)后使函數(shù)的最小值小于零即可.【詳解】解:由題知在上存在極值,即在上存在變號(hào)零點(diǎn),所以,設(shè)函數(shù),即在上存在變號(hào)零點(diǎn),則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.因?yàn)闀r(shí),,故只需即可,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:此題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題,屬于難題,關(guān)于函數(shù)極值點(diǎn)的存在問題的思路有:(1)對(duì)原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo);(2)令導(dǎo)函數(shù)為新的函數(shù),使新的函數(shù)有變號(hào)零點(diǎn);(3)對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性,判斷函數(shù)性質(zhì),建立不等式,計(jì)算結(jié)果.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.，，分別為的內(nèi)角，，的對(duì)邊.已知.（1）求；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，進(jìn)而求得.（2）利用余弦定理求得，進(jìn)而求得的周長.【小問1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，又，所以，所以為銳角，所以，故；【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，整理得，解得（?fù)根舍去），所以，，所以的周長為.18.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在上的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得；（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合條件即得.【小問1詳解】由題可得，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；【小問2詳解】因?yàn)?，，由，可得，單調(diào)遞減，由，可得，單調(diào)遞增，故在上的最小值.19.某加工工廠加工產(chǎn)品A，現(xiàn)根據(jù)市場調(diào)研收集到需加工量X（單位：千件）與加工單價(jià)Y（單位：元/件）的四組數(shù)據(jù)如下表所示：X681012Y12m64根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到Y(jié)關(guān)于X線性回歸方程為，其中．（1）若某公司產(chǎn)品A需加工量為1.1萬件，估計(jì)該公司需要給該加工工廠多少加工費(fèi)；（2）通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)，判斷Y與X是否高度線性相關(guān)．參考公式：，時(shí)，兩個(gè)相關(guān)變量之間高度線性相關(guān)．【答案】（1）該公司需要給該加工工廠57200元加工費(fèi).（2）Y與X高度線性相關(guān).【解析】【分析】（1）由線性回歸直線方程必過，代入方程與已知聯(lián)立可得與m的值，進(jìn)而求得回歸方程，代入可得單價(jià)，由總加工費(fèi)等于單價(jià)乘以件數(shù)可得結(jié)果.（2）計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)r，比較與0.9可得結(jié)果.【小問1詳解】∵，，則，又∵∴，，∴，∵1.1萬=11千，∴當(dāng)時(shí)，（元），∴（元），答：估計(jì)該公司需要給該加工工廠57200元加工費(fèi).【小問2詳解】由（1）知，，，，∴∴，∴兩個(gè)相關(guān)變量之間高度線性相關(guān).20.如圖,在四棱錐中,平面,平面,底面為矩形,點(diǎn)在棱上,且與位于平面的兩側(cè).（1）證明:平面;（2）若,,,試問在線段上是否存在點(diǎn),使得與的面積相等？若存在,求到的距離;若不存在,說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在,【解析】【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得,根據(jù)線面平行的判定定理即可得平面,根據(jù)及線面平行的判定定理即可得平面,根據(jù)及面面平行的判定定理即可得平面平面,再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可證明;(2)過作,垂足為,過作,垂足為,連接,過作,垂足為,連接,先根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面,可得,同理可得,根據(jù)與的面積相等,底相同,可得高也相同,即,設(shè),根據(jù)三角形相似及邊長之間關(guān)系,找到各個(gè)長度,根據(jù)勾股定理求出,再求出,建立等式解出即可.【小問1詳解】證明:因?yàn)槠矫?平面,所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,因?yàn)榈酌鏋榫匦?所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,因?yàn)?且平面,平面,所以平面平面又因?yàn)槠矫?所以平面;【小問2詳解】設(shè)線段上存在點(diǎn)使得與的面積相等,過作,垂足為,因?yàn)槠矫?所以,故,所以,故,因?yàn)?所以,過作,垂足為,連接,過作,垂足為,連接,如圖所示:因?yàn)榈酌?,所以底面,所以,又,,所以平面,因?yàn)槠矫鎰t,同理可得,因?yàn)榕c的面積相等,所以,在中,根據(jù)等面積法可得,則,設(shè),,則,因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以,所以,整理得,因?yàn)?所以,故存在,且到的距離為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:此題考查立體幾何中線面關(guān)系及點(diǎn)存在問題的綜合問題,屬于難題,關(guān)于點(diǎn)存在問題的解題方法有:(1)先假設(shè)其存在;(2)然后將假設(shè)作為條件與已知條件一起進(jìn)行推理論證和計(jì)算;(3)在推理論證和計(jì)算無誤的前提下,得到了合理的結(jié)論,則說明存在;(4)如果得到不合理的結(jié)論,則說明不存在.21.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，設(shè)點(diǎn)N的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程．（2）若點(diǎn)A，B，C，D在橢圓上，且與交于點(diǎn)P，點(diǎn)P在上．證明：的面積為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法即得；（2）由題可得A，B分別為的中點(diǎn)，進(jìn)而可得C，D都在直線上，然后利用弦長公式及三角形面積公式結(jié)合條件即得.【小問1詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，即曲線的方程為；【小問2詳解】設(shè)，則，由，可知A，B分別為的中點(diǎn)，所以，則，作差可得．因?yàn)?，所以，同理，所以C，D都在直線上，聯(lián)立，可得，即，點(diǎn)P到直線的距離，所以的面積為，即的面積為定值．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程是.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn),點(diǎn),求的值.【答案】（1）:（2）【解析】【分析】(1)在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù),即可得其普通方程,將代入,即可得直線的直角坐標(biāo)方程;(2)寫出直線過點(diǎn)的參數(shù)方程,設(shè)出兩點(diǎn)的參數(shù),與曲線聯(lián)立,判別式大于零,韋達(dá)定理可得關(guān)于參數(shù)的等式,根據(jù)參數(shù)的幾何意義代入中計(jì)算即可.【小問1詳解】解:由題知（為參數(shù)）,消去參數(shù)可得,又,所以曲線的普通方程為;由,由可得:,故直線的直角坐標(biāo)方程為;【小問2詳解】由(1)知直線為,故直線的其中一個(gè)參數(shù)方程為(為參數(shù)),將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方