近世代數(shù)課件

近世代數(shù)課件CATALOGUE目錄引言群論基礎(chǔ)環(huán)論基礎(chǔ)域論基礎(chǔ)應(yīng)用舉例01引言研究數(shù)、量、結(jié)構(gòu)、變換以及結(jié)構(gòu)等概念的數(shù)學(xué)分支。研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和分類(lèi)的分支，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支之一。代數(shù)與近世代數(shù)近世代數(shù)代數(shù)近世代數(shù)的研究對(duì)象與內(nèi)容研究對(duì)象代數(shù)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)和分類(lèi)，以及代數(shù)與其他數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系。研究?jī)?nèi)容包括群、環(huán)、域等基本概念，以及這些概念在抽象代數(shù)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。隨著代數(shù)學(xué)的發(fā)展，人們開(kāi)始研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)，近世代數(shù)逐漸形成。19世紀(jì)初群論的創(chuàng)立為近世代數(shù)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。19世紀(jì)中葉環(huán)論和域論的建立進(jìn)一步豐富了近世代數(shù)的內(nèi)容。20世紀(jì)初近世代數(shù)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用不斷擴(kuò)展，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支之一。20世紀(jì)中葉至今近世代數(shù)的發(fā)展歷程02群論基礎(chǔ)群的定義群是一個(gè)非空集合，該集合中存在一種二元運(yùn)算，滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律、單位元存在和逆元存在。群的性質(zhì)群具有封閉性、結(jié)合律、單位元存在和逆元存在等性質(zhì)，這些性質(zhì)是群的基本特征。群的定義與性質(zhì)群的運(yùn)算群中的元素可以通過(guò)某種二元運(yùn)算進(jìn)行組合，這種運(yùn)算滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律和交換律。群的性質(zhì)群具有一些重要的性質(zhì)，如幺半群、子群、正規(guī)子群、商群等，這些性質(zhì)反映了群的結(jié)構(gòu)特征。群的運(yùn)算與性質(zhì)兩個(gè)群之間的映射，保持群的運(yùn)算關(guān)系不變，稱(chēng)為群的同態(tài)。群的同態(tài)兩個(gè)群之間的同態(tài)是雙射的，則稱(chēng)這兩個(gè)群同構(gòu)。群的同構(gòu)同態(tài)是兩個(gè)群之間的單射或滿(mǎn)射，而同構(gòu)是兩個(gè)群的同態(tài)是雙射。同態(tài)與同構(gòu)的關(guān)系群的同態(tài)與同構(gòu)03環(huán)論基礎(chǔ)一個(gè)非空集合R，其中定義了兩種運(yùn)算，加法和乘法，且滿(mǎn)足一定的性質(zhì)。環(huán)的定義封閉性、結(jié)合律、單位元存在、逆元存在等。環(huán)的性質(zhì)環(huán)的定義與性質(zhì)對(duì)于任意兩個(gè)元素a,b∈R，它們的和記為a+b，滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律。環(huán)的加法運(yùn)算環(huán)的乘法運(yùn)算環(huán)的性質(zhì)對(duì)于任意兩個(gè)元素a,b∈R，它們的積記為a×b，滿(mǎn)足結(jié)合律。環(huán)是一個(gè)封閉的代數(shù)系統(tǒng)，具有單位元和逆元，滿(mǎn)足分配律。030201環(huán)的運(yùn)算與性質(zhì)兩個(gè)環(huán)R和S之間的映射f:R→S，滿(mǎn)足加法和乘法的映射性質(zhì)。環(huán)的同態(tài)兩個(gè)環(huán)R和S之間的雙射f:R→S，滿(mǎn)足加法和乘法的映射性質(zhì)。環(huán)的同構(gòu)在抽象代數(shù)中，同態(tài)和同構(gòu)是研究環(huán)的重要工具，它們可以幫助我們了解環(huán)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。同態(tài)與同構(gòu)的應(yīng)用環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)04域論基礎(chǔ)域是一個(gè)非空集合，該集合中定義了兩種運(yùn)算（加法和乘法），且滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律、交換律、分配律等基本性質(zhì)。定義域是加法群和乘法群，具有零元和單位元，滿(mǎn)足域公理系統(tǒng)。性質(zhì)域的定義與性質(zhì)運(yùn)算域中的加法、減法和乘法運(yùn)算滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律、交換律、分配律等基本性質(zhì)。性質(zhì)域中的元素具有逆元，即對(duì)于任意非零元素a，存在唯一的逆元a^{-1}，使得a乘以a^{-1等于單位元。域的運(yùn)算與性質(zhì)域的擴(kuò)張與分解如果一個(gè)域K包含另一個(gè)域F作為其子集，并且K在F上連續(xù)，則稱(chēng)K是F的擴(kuò)張，或稱(chēng)F是K的子域。擴(kuò)張如果一個(gè)域K可以分解為若干個(gè)子域的乘積，即K=F1×F2×…×Fn，則稱(chēng)K是可分解的。如果域K沒(méi)有除了單位元以外的公因子，則稱(chēng)K是素?cái)?shù)域。分解05應(yīng)用舉例03線性方程組的應(yīng)用在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域中，線性方程組被廣泛應(yīng)用于解決各種問(wèn)題，如計(jì)算、建模、優(yōu)化等。01線性方程組的基本概念線性方程組是由一組包含未知數(shù)的代數(shù)方程組成的，這些方程中未知數(shù)的系數(shù)是常數(shù)，并且方程的右邊是常數(shù)。02線性方程組的解法通過(guò)消元法或代入法等方法，將線性方程組轉(zhuǎn)化為單一方程，從而求解未知數(shù)。線性方程組的解法01多項(xiàng)式是由若干個(gè)單項(xiàng)式通過(guò)加減運(yùn)算組成的代數(shù)式。多項(xiàng)式的基本概念02將一個(gè)多項(xiàng)式分解為若干個(gè)因式的乘積，這些因式稱(chēng)為多項(xiàng)式的因子。多項(xiàng)式的因式分解03在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域中，多項(xiàng)式因式分解被廣泛應(yīng)用于解決各種問(wèn)題，如計(jì)算、建模、優(yōu)化等。多項(xiàng)式因式分解的應(yīng)用多項(xiàng)式的因式分解分式域的構(gòu)造與應(yīng)用分式域是由有理數(shù)域通過(guò)添加某些特定的分式而形成的域。分式域的構(gòu)造通過(guò)添加特定的分式，可以得到不同的分式域，如實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域等。分式域的應(yīng)用在數(shù)