廣西北海市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）

北海市2022年秋季學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.4．本卷主要考查內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè).一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其準(zhǔn)線方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故選：B2.雙曲線的焦距為（）A.8 B.12 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的方程得到，再利用之間的關(guān)系求出，即可求得焦距【詳解】由雙曲線可得，則，所以焦距為.故選：B3.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】解：由題得經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足題意.故選：A4.已知直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線與兩坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)為，.根據(jù)，可設(shè)橢圓的方程為，求出即可.【詳解】令，可得；令，可得.則由已知可得，橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，.因?yàn)?，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上.設(shè)橢圓的方程為，則，，所以橢圓的方程為.故選：C.5.在棱長(zhǎng)為的正方體中，是的中點(diǎn)，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以，.故選：D6.2022年11月11日下午，國(guó)務(wù)院聯(lián)防聯(lián)控機(jī)制綜合組發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步優(yōu)化新冠肺炎疫情防控措施科學(xué)精準(zhǔn)做好防控工作的通知》二十條．后疫情時(shí)代，北海市某中學(xué)為了廣大師生能夠更好地掌握關(guān)于新冠疫情防控注意事項(xiàng)，準(zhǔn)備組織一次主題宣講活動(dòng)．特從某醫(yī)院的3名醫(yī)生和4名護(hù)士中，選出3人參加“新冠疫情防疫宣講”主題活動(dòng)．要求入選的3人中至少有一名醫(yī)生，則不同的選取方案的種數(shù)是（）A.20 B.25 C.31 D.34【答案】C【解析】【分析】先求出從3名醫(yī)生和4名護(hù)士中，選出3人的方法總數(shù)，再求出若入選的3人沒(méi)有醫(yī)生的方法總數(shù)，相減即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，從3名醫(yī)生和4名護(hù)士中，選出3人，有種選法．若入選的3人沒(méi)有醫(yī)生，即全部為護(hù)士的選法有種，則有種不同的選取方案．故選：C.7.在直三棱柱中，，，，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的正弦值，從而求出余弦值.【詳解】因?yàn)槿庵比庵?，且，所以以B為原點(diǎn)、AB所在直線為x軸、BC所在直線為y軸、所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，所以，故．設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得．設(shè)直線與平面，所成的角為，則，則．故選：D．8.已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)，求出為定值，從而能求出的值，然后根據(jù)求解.【詳解】設(shè)代入橢圓方程，則整理得：設(shè)，又，所以而，所以，所以故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某醫(yī)院婦產(chǎn)科對(duì)該院歷年來(lái)新生兒體重情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)新生兒體重X~N（2，4），則下列結(jié)論正確的是（）A.該正態(tài)分布的均值為2 B.該正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為4C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)閄~N（2，4），所以正態(tài)分布的均值為2，標(biāo)準(zhǔn)差為2，所以A正確，B錯(cuò)誤，因?yàn)檎龖B(tài)分布的均值為2，所以由正態(tài)曲線的性質(zhì)可得，，所以CD正確，故選：ACD10.點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)，記點(diǎn)P到直線的距離為d，則的值可以?。ǎ〢.7 B. C.5 D.【答案】ABC【解析】【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為，利用拋物線定義得到，數(shù)形結(jié)合得到，得到答案.【詳解】拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖，由拋物線定義可知：故，連接，此時(shí)與拋物線的交點(diǎn)即為的最小值，故，故選：ABC11.已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓C半徑為16B.圓C截x軸所得的弦長(zhǎng)為4C.圓C與圓E：相外切D.若圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】先運(yùn)用配方法將一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可確定其圓心個(gè)半徑;根據(jù)點(diǎn)到弦的距離可求出弦長(zhǎng)；圓心距和半徑的關(guān)系可確定圓與圓的位置關(guān)系；圓心到直線的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系可確定圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1【詳解】A:將一般式配方可得：，A錯(cuò)；B：圓心到x軸的距離為2，弦長(zhǎng)為B對(duì)；C:外切，C對(duì)；D:圓C上有且僅有兩點(diǎn)到直線的距離為1，解之:,D錯(cuò)；故選：BC12.下列說(shuō)法中正確的是（）A.將4個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求不出現(xiàn)空盒，共有3種放法B.被7除后的余數(shù)為2C.若，則D.拋擲兩枚骰子，取其中一個(gè)的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，另一個(gè)的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，連續(xù)拋擲這兩枚骰子三次，則點(diǎn)P在圓內(nèi)的次數(shù)的均值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算即可判斷A,根據(jù)二項(xiàng)式定理即可判斷B，根據(jù)賦值法即可判斷C，根據(jù)古典概型求解概率，由獨(dú)立重復(fù)事件的均值計(jì)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：選一個(gè)盒子放兩個(gè)球，另外兩個(gè)盒子放一個(gè)球，共有種放法，故A正確；對(duì)于B,，展開式中只有最后一項(xiàng)-2不是7的倍數(shù)，所以被7除后的余數(shù)為5，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在中，令，得，令，得，，兩式相加除以2，得，故C正確；對(duì)于D：在一次拋擲兩枚骰子的過(guò)程中，點(diǎn)P共有36種情況，其中在圓內(nèi)的有，共8種，所以擲這兩枚骰子一次，點(diǎn)P在圓內(nèi)的概率為．因?yàn)?，所以的均值為，故D正確，故選:ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)是___________.【答案】40【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，即得解【詳解】因?yàn)?，所以的展開式中的系數(shù)是40.故答案為：4014.已知向量，，若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，列出，分別求出，然后得到，進(jìn)而計(jì)算，可求出的值.【詳解】，故，解得，故，，，則故答案為：15.某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個(gè)數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為，則看不清的數(shù)據(jù)★的值為__________．x23456y1925★4044【答案】32【解析】【分析】計(jì)算出，代入回歸直線方程，求出，從而求出答案.【詳解】因?yàn)椋瑢⒋?，故，設(shè)看不清的數(shù)據(jù)為，所以故答案為：3216.若直線l過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有__________條．【答案】4【解析】【分析】分情況討論直線有斜率和無(wú)斜率，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)即可求解直線的條數(shù).【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線為，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為，代入曲線方程整理得，若，則，此時(shí)有兩條分別平行于雙曲線的兩條漸近線的直線，與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則由，得，此時(shí)有一條直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．綜上，這樣的直線共有4條．故答案為：4四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.已知圓的方程為．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若圓與直線交于M，N兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將圓的一般方程用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到，解之即可；（2）利用弦長(zhǎng)公式求得，進(jìn)而得到，易得的值.【小問(wèn)1詳解】方程可化為，∵此方程表示圓，∴，即，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式及，得，解得，∴，得．18.已知拋物線，其準(zhǔn)線方程為．（1）求拋物線的方程；（2）不過(guò)原點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求出，可得拋物線的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線的方程，消元寫出韋達(dá)定理，將用坐標(biāo)表示，代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算，可得的值．【小問(wèn)1詳解】準(zhǔn)線為，，拋物線的方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，聯(lián)立，得，，得，則，因?yàn)?，則，則，即，或，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，不合題意，又，符合題意；綜上，m的值為．19.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是菱形，，，．點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求平面PAB與平面BDE所成銳角二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）由題意可證得，，再線面垂直的判定定理證明平面PAC，即可證明；（2）記，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OE所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，分別求出平面PAB與平面BDE的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】證明：連接AC．在菱形ABCD中，，所以．在中，，所以，所以．在中，，所以，所以．又，AC，平面ABCD，所以平面ABCD．又平面ABCD，所以；因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以．又，AC，平面PAC，所以平面PAC．又平面PAC，所以；【小問(wèn)2詳解】解：記，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OE所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則．所以．設(shè)平面BAP的一個(gè)法向量為．則即令，解得，所以平面BAP的一個(gè)法向量為．因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以，所以，又．設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為．則即令，解得，所以平面BDE的一個(gè)法向量為．所以，即平面PAB與平面BDE所成銳角二面角的余弦值為．20.已知橢圓：（）上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，且離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知條件和橢圓定義求出，再由離心率求出，根據(jù)求出，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）使用點(diǎn)差法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由橢圓的定義知，，∴，又∵橢圓的離心率，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】∵為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，∴直線與橢圓必交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，不合題意，故，∵為線段的中點(diǎn)，∴，∴，又∵，均在橢圓上，∴，兩式相減，得，即，∴，∴，即，∴直線的方程為，即．21.自疫情以來(lái)，與現(xiàn)金支付方式相比，手機(jī)支付作為一種更方便快捷并且無(wú)接觸的支付方式得到了越來(lái)越多消費(fèi)者和商家的青睞．某金融機(jī)構(gòu)為了調(diào)查研究“支付方式的選擇與年齡是否有關(guān)”，從某市市民中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行調(diào)查，得到部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：手機(jī)支付現(xiàn)金支付合計(jì)60歲以下40105060歲以上302050合計(jì)7030100（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為支付方式的選擇與年齡有關(guān)；（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從該市60歲以上的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記被抽取的3人中選擇“現(xiàn)金支付”的人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式：，其中．0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）沒(méi)有99%的把握認(rèn)為支付方式的選擇與年齡有關(guān)（2）分布列見(jiàn)解析，，【解析】【分析】（1）計(jì)算的觀測(cè)值，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想求解即可；（2）由題知，再根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可；【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意可得：的觀測(cè)值，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為支付方式的選擇與年齡有關(guān)；【小問(wèn)2詳解】由題意可知：在60歲以上的市民中抽到1人選擇“現(xiàn)金支付”的概率為，所以，X的所有可能取值為0，1,2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P，．22.已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)的直線l與該雙曲線的兩支分別交于兩點(diǎn)，設(shè)，．（1）若，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)E，，，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】(1)由