專題正方形的性質(zhì)與判定2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材配套教學(xué)（北師大版）2

專題1.3正方形的性質(zhì)與判定（第2課時(shí)）北師大版九年級(jí)上冊(cè)導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)1．掌握正方形的判定方法．（重點(diǎn)）2．會(huì)運(yùn)用正方形的判定條件進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算

.(難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)問題1：什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？ABCD正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形.正方形性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角;

②四條邊都相等; ③對(duì)角線相等且互相垂直平分.O導(dǎo)入新課問題2：你是如何判斷是矩形、菱形？平行四邊形矩形菱形四邊形三個(gè)角是直角四條邊相等定義三個(gè)判定定理定義對(duì)角線相等定義對(duì)角線垂直正方形判定的定理一動(dòng)一動(dòng)：過點(diǎn)A作射線AM的垂線AN,分別在AM

,

AN上取點(diǎn)B

,

D

,使AB=AD

,作DC∥AB

,

BC∥AD

,得四邊形ABCD.AMNBDC問題1：上面所畫四邊形ABCD是正方形嗎？為什么？講授新課想一想：將矩形紙片對(duì)折兩次，怎樣裁剪才能使剪下的三角形展開后是個(gè)正方形？（1）（2）（3）（4）菱形問題2：滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直問題3：滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個(gè)角是直角對(duì)角線相等1.對(duì)角線相等的菱形是正方形.

2.對(duì)角線垂直的矩形是正方形.

3.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.定理正方形判定的兩條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件菱形條件(1)(2)一個(gè)直角對(duì)角線相等一組鄰邊相等對(duì)角線垂直例1：如圖,在矩形ABCD中,

BE平分∠ABC

,

CE平分∠DCB

,

BF∥CE

,

CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.正方形判定定理的應(yīng)用二典例精析FABECD解析：先由兩組平行線得出四邊形BECF平行四邊形；再由一個(gè)直角，得出是矩形；最后由一組鄰邊相等可得正方形；45°45°FABECD證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC

=90°,

∠DCB=90°,

∵BE平分∠ABC,

CE平分∠DCB,∴∠EBC

=45°,

∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠

ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC

=45°,∠ECB

=45°,∴∠BEC

=90°,∴菱形BECF是正方形.例2：已知：如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC

,∠ABC的平分線于點(diǎn)D,

DE⊥BC于點(diǎn)E

,

DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：四邊形CEDF是正方形.證明:如圖所示,過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G.∵DF⊥AC

,

DE⊥BC

,∴∠DFC=∠DEC=90°.又∠C=90°,∴四邊形CEDF是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）.∴AD平分∠BAC

,

DF⊥AC

,

DG⊥AB.∴DF=DG.同理可得DE=DG

,∴DE=DF.∴四邊形CEDF是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）.CEBAFDG例3：如圖，EG,FH過正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACBOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.BACBOEHGF做一做：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形、正方形各邊中點(diǎn)能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH1.下列命題正確的是（）A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形2．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四邊形DC當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對(duì)角線BD平分

ABC

,

P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM

AD

,

PN

CD

,垂足分別為M、N.(1)求證：

ADB=

CDB;(2)若

ADC=90

,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）∵AB=BC,BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.∴△ABD≌△CBD(AAS).∴∠ADB=∠CDB.12CABDPMN（2）∵∠ADC=90°;

又∵PM⊥AD,PN⊥CD;∴∠PMD=∠PND=90°.∴四邊形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB;∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.

∴DM=PM,DN=PN.∴四邊形NPMD是矩形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）.4.已知：如圖，平行四邊形ABCD中，O是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△AOD≌△EOC；（2）連接AC、DE，當(dāng)∠B＝∠AEB＝45°時(shí)，求證四邊形ACED是正方形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．∵O是CD的中點(diǎn)，∴OC＝OD，在△AOD和△EOC中，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE．又∵OC＝OD，∴四邊形ACED是平行四邊形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠COE＝∠BAE＝90°．∴?ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD．∴菱形ACED是正方形．課后作業(yè)1.下列說法錯(cuò)誤的是（）A．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形【答案】A【解答】解：A、正方形是對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、根據(jù)矩形的判定：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故選項(xiàng)正確；C、根據(jù)菱形的判定，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故選項(xiàng)正確；D、根據(jù)平行四邊形的判定對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選項(xiàng)正確．故選：A．2.下列條件中，能判定一個(gè)四邊形是正方形的是（）A．有一個(gè)角是直角的菱形 B．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形 C．有一組鄰邊相等的平行四邊形 D．對(duì)角線相等且互相平分的四邊形【答案】A【解答】A、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，符合題意；B、對(duì)角線互相垂直且平分且相等的四邊形是正方形，不符合題意；C、有一組鄰邊相等且鄰角相等的平行四邊形是正方形，不符合題意；D、對(duì)角線互相垂直且平分且相等的四邊形是正方形，不符合題意；故選：A．3.下列說法：①對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，②對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，③對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形，④對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形．其中正確說法的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：①對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，說法正確；②對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，說法正確；③對(duì)角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形，說法錯(cuò)誤；④對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，說法正確．故選：C．4.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，要使ABCD成為正方形，還需添加的一個(gè)條件是（只需添加一個(gè)即可）【答案】∠ABC=90°或AC=BD【解答】解：條件為∠ABC＝90°或AC＝BD，理由是：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，∴四邊形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°或AC＝BD，∴四邊形ABCD是正方形，故答案為：∠ABC＝90°或AC＝BD．5.在菱形ABCD中，MNPQ分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合）．對(duì)于任意菱形ABCD，下面四個(gè)結(jié)論中，①存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；②存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；③存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；④存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是正方形．所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．【答案】①②③【解答】解：①如圖，連接AC，BD交于O，∵四邊形ABCD是菱形，連接AC，BD交于O，過點(diǎn)O直線MP和QN，分別交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是平行四邊形，故存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是平行四邊形；故正確；②如圖，當(dāng)PM＝QN時(shí)，四邊形MNPQ是矩形，故存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是矩形；故正確；③如圖，當(dāng)PM⊥QN時(shí)，存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是菱形；故正確；④當(dāng)四邊形MNPQ是正方形時(shí)，MQ＝PQ，則△AMQ≌△DQP（AAS），∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，四邊形MNPQ是正方形，故存在無數(shù)個(gè)四邊形MNPQ是正方形；故④錯(cuò)誤；故答案為①②③．10.如圖，AD是△ABC的角平分線，線段AD的垂直平分線分別交AB和AC于點(diǎn)E、F，連接DE，DF．（1）試判斷四邊形AEDF的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）若∠BAC＝60°，AE＝6，求四邊形AEDF的面積；（3）△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是正方形？請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）四邊形AEDF是菱形，∵AD平分∠BAC，∴