排列組合題型分類(教師版)

目錄TOC\o"11"\h\u排列組合題型分類 1一．元素分析法（位置分析法）： 1二．可重復排列 2三．相鄰問題 3四．不相鄰問題 4五．相鄰和不相鄰綜合問題 4六．甲不乙不問題 5七．坐凳子問題 6八．多排問題 7九．環(huán)排問題 7十．定序問題 10十一．錯排問題（不配對問題） 12十二．不同小球進盒問題 12十三．相同小球進盒問題 15十四．多面手問題 16十五．走樓梯問題 16十六．排數問題 17十七．染色問題 22十八．走格子問題 31十九.馬爾可夫型 34排列組合題型分類一．元素分析法（位置分析法）：方法：特殊優(yōu)先，一般在后亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有（）A.36種B.12種C.18種D.48種【解析】：方法一：從后兩項工作出發(fā)，采取位置分析法。方法二：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有選法，共有選法36種，選A.1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？【解析】：老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學在其余4個位置上有種方法；所以共有種。.有七名學生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？【解析】法一：法二：法三：六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種B．216種C．240種D．288種解：最左端排甲，共有=120種，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96種，根據加法原理可得，共有120+96=216種．故選：B．某班班會準備從含甲、乙的7人中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序有（）A．720種 B．520種 C．600種 D．360種【解答】解：分兩類：第一類，甲、乙兩人只有一人參加，則不同的發(fā)言順序有種；第二類：甲、乙同時參加，則不同的發(fā)言順序有種．共有：+＝600（種）．故選：C．二．可重復排列方法：求冪法，一類可以重復，另一類不能重復，把不能重復的元素看作“客”，能重復的元素看作“店”，則通過“住店法”可順利解題，在這類問題使用住店處理的策略中，關鍵是在判斷店是底數，客是指數有4名學生報名參加數學、物理、化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？【答案】：有4名學生參加爭奪數學、物理、化學競賽冠軍，有多少種不同的結果？【答案】將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？【答案】把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數原理知共有種不同方案.8名同學爭奪3項冠軍，獲得冠軍的可能性有（）A、B、C、D、【解析】：冠軍不能重復，但同一個學生可獲得多項冠軍，把8名學生看作8家“店”，3項冠軍看作3個“客”，他們都可能住進任意一家“店”，每個“客”有8種可能，因此共有種不同的結果。所以選A三．相鄰問題方法：捆綁法，規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列，注意捆綁的元素之間可以互換位置停車場劃出一排12個停車位置，今有8輛車需要停放.要求空車位置連在一起，不同的停車方法有多少種？【答案】：先排好8輛車有A種方法，要求空車位置連在一起，則在每2輛之間及其兩端的9個空檔中任選一個，將空車位置插入有C種方法，所以共有CA種方法.永定土樓，位于中國東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨一無二的神奇的山區(qū)民居建筑，是中國古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列入世界遺產名錄．它歷史悠久、風格獨特，規(guī)模宏大、結構精巧．土樓具體有圓形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊腳樓等類型．現有某大學建筑系學生要重點對這七種主要類型的土樓依次進行調查研究．要求調查順序中，圓形要排在第一個或最后一個，方形、五角形相鄰．則共有（）種不同的排法．A．480 B．240 C．384 D．1440【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①將方形、五角形看成一個整體，與除圓和方形、五角形之外的4個圖形全排列，有A22A55＝240種情況，②將圓形安排在第一個或最后一個，有2種情況，則有240×2＝480種不同的排法，故選：A．四．不相鄰問題方法：插空法，不相鄰問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數是【答案】：除甲乙外，其余5個排列數為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數是____________種馬路上有編號為1，2，3…，9九只路燈，現要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？【答案】：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關燈方案有10種.五．相鄰和不相鄰綜合問題方法：先捆綁，再排其他，最后插空24．已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊方法數為（）A．72 B．96 C．120 D．288【解答】解：設另外兩人為戊己．可以分步完成，①甲丁捆綁后排序有種方法，②捆綁后的甲丁戊己排序，有種方法，③將乙丙插空，四個空位中與甲相鄰的空位不能選擇，故有種方法，根據分步乘法原理，共有2×6×6＝72種方法．故選：A．30．用1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字的六位數，要求1與2相鄰，3與4相鄰，5與6不相鄰，這樣的六位數有（）個．A．24 B．48 C．96 D．36【解答】解：由題意知1與2，3與4分別相鄰的數有A44A22A22＝96個，1與2，3與4，5與6分別相鄰的數有A33A22A22A22＝48個，∴1與2，3與4分別相鄰但5與6不相鄰的數有96﹣48＝48個．故選：B．3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數是（）A.360B.288C.216D.96【解析】：間接法6位同學站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有，種其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有288六．甲不乙不問題方法一：直接法，分類討論方法二：間接法，容斥原理身穿蘭、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿紅色衣服的有一人，現將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（）A．48種B．72種C．78種D．84種解答：A55﹣A22A44A22A44+A22A22A33=48故選A．將甲、乙、丙、丁四位輔導老師分配到A、B、C、D四個班級，每個班級一位老師，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，則共有分配方案的種數為（）A．10 B．12 C．14 D．24【解答】解：根據題意，分2種情況討論：①若甲分配到B班，剩下三人全排列即可，有A33＝6種情況，②若甲不分配到B班，甲的分配方法有2種，丁不能分配到B班，其分配方法有2種，剩下2人安排到剩下的2個班級，有2種分配方法，此時有2×2×2＝8種分配方法，則一共有6+8＝14種不同的分配方法，故選：C．從星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案種數為（）A．42B．30C．72D．60解答：解；分兩類第一類，甲排在星期六，有C41C42=24種排法．第二類，甲不排在星期六，有C42C32=18種排法∴值班方案種數為24+18=42種故選A七．坐凳子問題方法：人帶著凳子走3個人坐在一排8個椅子上，若每個人左右兩邊都有空位，則坐法的種數有多少種？【解析】：解法1、先將3個人（各帶一把椅子）進行全排列有A，○*○*○*○，在四個空中分別放一把椅子，還剩一把椅子再去插空有A種，所以每個人左右兩邊都空位的排法有=24種.解法2：先拿出5個椅子排成一排，在5個椅子中間出現4個空，*○*○*○*○*再讓3個人每人帶一把椅子去插空，于是有A=24種.將A、B、C、D、E五種不同文件隨機地放入編號依次為1，2，3，4，5，6，7的七個抽屜內，每個抽屜至多放一種文件，則文件A、B被放在相鄰抽屜內且文件C、D被放在不相鄰的抽屜內的放法種數為（）A．240B．480C．840D．960【答案】B八．多排問題方法：單排法：把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種【答案】把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數為（A） （B）（C） （D）【答案】C8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？【答案】看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有種，其余5個元素任排5個位置上有種，故共有種排法.九．環(huán)排問題方法：減一個，再單排8人圍桌而坐，共有多少種坐法？【解答】解：圍桌與坐一排的不同點在于圓桌沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線，其余7人共有（8﹣1）！＝5040坐法．8名學生平均分成兩組，每組都圍成一個個圓圈，有種不同的圍法．【解答】解：8名學生平均分成兩組，有種分組法，每組都圍成一個圈，兩個組有種圍法，所以共有?＝＝1260種不同的圍法．故答案：1260或．7顆顏色不同的珠子，可穿成種不同的珠子圈．【解答】解：因為由于環(huán)狀排列沒有首尾之分，將n個元素圍成的環(huán)狀排列剪開看成n個元素排成一排，即共有種排法．由于n個元素共有n種不同的剪法，則環(huán)狀排列共有種排法，而珠子圈沒有反正，故7顆顏色不同的珠子，可穿成＝360種不同的珠子圈．故答案為：360．已知甲、乙、丙三位同學圍成一個圓時，其中一個排列“甲乙丙”與該排列旋轉一個或幾個位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一個排列．現有m位同學，若站成一排，且甲同學在乙同學左邊的站法共有60種，那么這m位同學圍成一個圓時，不同的站法總數為（）A．24 B．48 C．60 D．120【解答】解：根據題意，現有m位同學，若站成一排，且甲同學在乙同學左邊的站法共有60種，則甲同學在乙同學右邊的站法共有60種，故Amm＝60，解可得m＝5，那么這5位同學圍成一個圓時，不同的站法有A55＝24種，故選：A．5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意兩個女孩中間至少站一個男孩，則不同排法有___種（填數字）．【解答】解：因為任意兩個女孩中間至少站一個男孩，故有且僅有兩個男孩站在一起，①先把5個女孩排成一個圈，這是一圓排列，因此共有＝（5﹣1）!＝4!種方法，②再把6個男孩排成一直列，共有6!種方法，③最后在排好的男生中選擇兩個相鄰的男孩組合在一起，共有5種方法，這樣男生被分為5份，依次塞入女生間的空隙中，綜上，不同的排法應有4!×6!×5＝86400種．如圖，某手鏈由10顆較小的珠子（每顆珠子相同）和11顆較大的珠子（每顆珠子均不相同）串成，若10顆小珠子必須相鄰，大珠子的位置任意，則該手鏈不同的串法有（）A．種 B．種 C．種 D．種【解答】解：將10顆小珠子看成一個整體，不同的串法有種．故選：B．如圖，某傘廠生產的“太陽”牌太陽傘的傘蓬是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘蓬的八個區(qū)域內，且恰有一種顏色涂在相對區(qū)域內，則不同的顏色圖案的此類太陽傘至多有（）A．40320種 B．5040種 C．20160種 D．2520種【解答】解：從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對的區(qū)域內，有7種方法，剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個區(qū)域內，有6！種方法．由于圖象是軸對稱圖形，故上述方法正好重復了一次，故不同的涂法有＝2520種，故選：D．21個人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐一圈，按順序從1到3循環(huán)報數，報數字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數，那么在僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數的次數為（）A．19 B．38 C．51 D．57【解答】解：根據題意，在第一輪報數中，有＝7人表演節(jié)目，則第一輪報完數后剩下14人，一共報數21次；在第二輪報數中，14＝3×4+2，有4人表演節(jié)目，則這一輪報完數后剩下10人，一共報數14次；在第三輪報數中，10個人從3開始報數，有4人表演節(jié)目，則這一輪報完數后剩下6人，一共報數10次；在第四輪報數中，6＝3×2，有2人表演節(jié)目，則這一輪報完數后剩下4人，一共報數6次；在第五輪報數中，4＝3×1+1，有1人表演節(jié)目，則這一輪報完數后剩下3人，一共報數4次；在第六輪報數中，3個人從2開始報數，有1人表演節(jié)目，則這一輪報完數后剩下2人，一共報數2次；在第七輪報數中，3＝3×1，有1人表演節(jié)目，一共報數3次；此時僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目，一共報數：21+14+10+6+4+2＝57次．故選：D．十．定序問題方法：縮倍法：全排列處以定序的全排列書架上某層有6本書，新買3本插進去，要保持原有6本書的順序，有多少種不同的插法？【答案】將A、B、C、D、E、F這6個字母排成一排，若A、B、C必須按A在前，B居中，C在后的原則（A、B、C允許不相鄰），有多少種不同的排法？【答案】身高互不相同的7名運動員站成一排，其中甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列的排法有種．（用數字填寫答案）【解答】解：先在7個位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A74，留下三個空位，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序自動入列，不能亂排的，即A74＝840，故答案為：840．某學習小組A、B、C、D、E、F、G七名同學站成一排照相，要求A與B相鄰，并且C在D的左邊，E在D的右邊，則不同的站隊方法種數為（）A．120 B．160 C．240 D．360【解答】解：A與B相鄰，將其捆綁看成一個整體，C在D的左邊，E在D的右邊，將CDE按順序排好，產生4個空位，插入AB，F，G即可，共＝240種方法．故選：C．如圖，迎面從左至右懸掛3串氣球，分別有兩串綁兩只，一串綁3只，現在用槍射擊氣球，假設每槍均能命中一只氣球，要求每次射擊只能射擊每串最下方的氣球，則用7槍擊爆這7只氣球不同的次序有多少種．【解答】解：由題意，第一排，排對的概率是二分之一，第二排，排對的概率是二分之一，第三排，排對的概率是六分之一，7只氣球的所有排列是，∴用7槍擊爆這7只氣球不同的次序有×＝210種．故答案為：210．十一．錯排問題（不配對問題）方法：3對3，2種排法，4對4，9種排法，5對5，44種排法將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種網☆【答案】.編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是（）A10種B20種C30種D60種答案：B同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式共有()（A）6種 （B）9種 （C）11種 （D）23種【答案】（B）五個人排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上，那么不同的站隊方式共有(）（A）60種 （B）44種 （C）36種 （D）24種答案：B在編號為1,2,3,4的四塊土地上分別試種編號為1,2,3,4的四個品種的小麥，但1號地不能種1號小麥，2號地不能種2號小麥，3號地不能種3號小麥，則共有______種不同的種植方案。答案：11十二．不同小球進盒問題方法：先分堆再分配：注意均勻分堆和不均勻分堆有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；（3）分成每組都是2本的三個組；（4）分給甲、乙、丙三人，每個人2本；（5）分給5人每人至少1本?！敬鸢浮浚?）（2）（3）（4）（5）5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（A）150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種【解析】：人數分配上有1,2,2與1,1,3兩種方式，若是1,2,2，則有＝60種，若是1,1,3，則有＝90種，所以共有150種，選A將9個（含甲、乙）平均分成三組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種數為（） A．70 B．140 C．280 D．840答案：（A）將5名實習教師分配到高一年級的３個班實習，每班至少１名，最多２名，則不同的分配方案有（）（A）３０種（B）９０種（C）１８０種（D）２７０種【解析】：將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，則將5名教師分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種方法，再將3組分到3個班，共有種不同的分配方案，選B.某外商計劃在四個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,則該外商不同的投資方案有（）種☆A．16種 B．36種 C．42種 D．60種【解析】：按條件項目可分配為與的結構，∴故選D；有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發(fā)（G77只會在長沙、廣州、深圳停），分別在每個停的站點至少下一個人，則不同的下車方案有（）A．24種 B．36種 C．81種 D．256種【解答】解：由題意可知，有一個站要下2人，從4個人選2人在一個站下車，其他2人分別在另2個站下車，故由C42A33＝36種，故選：B．高一某班有5名同學報名參加學校組織的三個不同社區(qū)服務小組，每個小組至多可接收該班2名同學，每名同學只能報一個小組，則報名方案有（）A．15種 B．90種 C．120種 D．180種【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①將5名學生分成1、2、2的三組，有＝15種分組方法，②將分好的三組全排列，安排到三個不同社區(qū)服務小組，有A33＝6種情況，則有15×6＝90種報名方案，故選：B．2020年是全面建成小康社會目標實現之年，是脫貧攻堅收官之年根據中央對“精準扶貧”的要求，某市決定派5名黨員和3名醫(yī)護人員到三個不同的扶貧村進行調研，要求每個扶貧村至少派黨員和醫(yī)護人員各1名，則所有不同的分派方案種數為.（用數字作答）．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①對于5名黨員，先將5名黨員分為3組，有2種分組方法，若分為2、2、1的三組，有＝15種方法，若為3、1、1的三組，有＝10種方法，則共有10+15＝25種分組方法，再將分好的三組對應3個不同的扶貧村，有A33＝6種情況，則5名黨員的安排方法有25×6＝150種，②對于名醫(yī)護人員，直接全排列，安排到3個不同的扶貧村，有A33＝6種情況，則有150×6＝900種不同的分派方案．故答案為：900．十三．相同小球進盒問題方法：隔板法，注意有空盒子問題和無空盒子問題10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？【答案】：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.將4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球放入4各不同的盒子中的3個中，使得有一個空盒且其他盒子中球的顏色齊全的不同放法有多少種？【答案】：1、先從4個盒子中選三個放置小球有種方法。2、注意到小球都是相同的，我們可以采用隔板法。為了保證三個盒子中球的顏色齊全，可以在4個相同的白球、5個相同的黑球、6個相同的紅球所產生的3個、4個5個空擋中分別插入兩個板。各有、、種方法。3、由分步計數原理可得=720種把20個相同的球全放入編號分別為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的球數不少于其編號數，則有多少種不同的放法？【答案】：向1，2，3號三個盒子中分別放入0，1，2個球后還余下17個球，然后再把這17個球分成3份，每份至少一球，運用隔板法，共有種。方程x1+x2+x3+x4+x5＝9的非負整數解的組的個數為（）A． B． C． D．【解答】解：求方程x1+x2+x3+x4+x5＝9的非負整數解，相當于：將9+4＝13個元素排成一列，從中選取4個元素作為隔板，4個隔板之間和它們之外的元素的個數，從左向右依次等于x1、x2、x3、x4、x5的值，因此，方程x1+x2+x3+x4+x5＝9的非負整數解有個．故選：A．十四．多面手問題方法：根據是否有多面手，多面手參與什么樣的工作分類討論有11名外語翻譯人員，其中5名是英語譯員，4名是日語譯員，另外兩名是英、日語均精通，從中找出8人，使他們可以組成翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，這兩個小組能同時工作，問這樣的8人名單可以開出幾張？答案：185十五．走樓梯問題方法：方程法小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？

【答案】

故總共有：1+6+15+15=37種。欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有()（A）34種 （B）55種 （C）89種 （D）144種答案：（C）某段樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級．若規(guī)定這段樓梯用8步走完，則不同的走法有（）A．45種 B．36種 C．28種 D．25種【解答】解：∵10÷8的余數為2，∴一步一個臺階的有6步，一步兩個臺階的有2步，∴不同的走法有．故選：C．十六．排數問題方法：根據有零和無零討論，數字“0”不能當首位由0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50000的偶數共有（）個．A．360 B．192 C．312 D．240【解答】解：根據題意可分為兩類：個位數字為0和個位數數字為2或4，當個位數字為0時，小于50000的偶數有個；當個位數字為2或4時，小于50000的偶數有個，所以小于50000的偶數共有96+144＝240個．故選：D．用0、1、2、3、4、5六個數字組成無重復數字的四位數，比3542大的四位數的個數是（）A．360 B．240 C．120 D．60【解答】解：因為3542是能排出的四位數中千位為3的最大的數，所以比3542大的四位數的千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120個比3542大的四位數．故選：C．算籌是一根根同樣長短和粗細的小棍子，是中國古代用來記數、列式和進行各種數與式演算的一種工具，是中國古代的一項偉大、重要的發(fā)明．在算籌計數法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數字，如表：項目123456789縱式橫式用算籌計數法表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，如“”表示的三位數為732．如果把4根算籌以適當的方式全部放入表格“”中，那么可以表示不同的三位數的個數為（）A．18 B．20 C．22 D．24【解答】解：共有4根算籌，當百位數為4根，十位0根，個位0根時，則有2個三位數；當百位數為3根，十位1根，個位0根時，則有2個三位數；當百位數為3根，十位0根，個位1根時，則有2個三位數；當百位數為2根，十位2根，個位0根時，則有4個三位數；當百位數為2根，十位0根，個位2根時，則有4個三位數；當百位數為2根，十位1根，個位1根時，則有2個三位數；當百位數為1根，十位3根，個位0根時，則有2個三位數；當百位數為1根，十位0根，個位3根時，則有2個三位數；當百位數為1根，十位2根，個位1根時，則有2個三位數；當百位數為1根，十位1根，個位2根時，則有2個三位數，所以共有2+2+2+4+4+2+2+2+2+2＝24個．故選：D．由0，1，2，…，9這十個數組成無重復數字的四位數中，個位數字與百位數字之差的絕對值等于8的個數為（）A．180 B．196 C．210 D．224【分析】由題意知本題是一個計數原理的應用，個位數字與百位數字之差的絕對值等于8的情況有2種，即：①當個位與百位數字為0，8時，②當個位與百位為1，9時，分別表示出所有的情況，由加法原理計算可得答案．【解答】解：由題意知本題是一個計數原理的應用0到9十個數字中之差的絕對值等于8的情況有2種：0與8，1與9；分2種情況討論：①當個位與百位數字為0，8時，有A82A22；②當個位與百位為1，9時，有A71A71A22．共A82A22+A71A71A22＝210，故選：C．用1，2，3，?，9這九個數字組成的無重復數字的四位奇數中，各位數字之和為偶數的共有（）A．120個 B．600個 C．720個 D．840個【解答】解：根據題意，若想組成四位奇數且各位數字之和為偶數，分以下兩種情況：（1）四位數均為奇數：包含種；（2）四位數中兩位奇數兩位偶數：包含種．綜上所述一共包含120+720＝840個．故選：D．4張卡片的正、反面分別寫有數字1，2；1，3；4，5；6，7．將這4張卡片排成一排，可構成不同的四位數的個數為（）A．288 B．336 C．368 D．412【解答】解：根據題意，不考慮數字的重復問題，4張卡片排成一排，可以組成×24＝384種情況，其中，若兩張卡片都是1，有?×22＝48種情況，則有384﹣48＝336種情況，即可以組成336個不同的四位數；故選：B．有一位愛思考的同學將數字“124669”重新排列，則得到不同的偶數個數為（）A．72 B．120 C．192 D．240【解答】解：根據題意，當個位數字是2或4或6時，可得到偶數，當個位數字為2或4時，不同的偶數個數為個；當個位數字是6時，不同的偶數個數為．因此，不同的偶數共有120+120＝240個．故選：D．為紀念我國偉大數學家祖沖之在圓周率上的貢獻，國際上把3.1415926稱為“祖率”，某教師為了增加學生對“祖率”的印象，以“祖率”為背景設計如下練習：讓同學們把小數點后的7位數字1，4，1，5，9，2，6進行隨機排列，整數部分不變，那么可以得到小于3.14的不同數有（）個．A．480 B．120 C．240 D．720【解答】解：由題意先排十分位必為1，一種方法，再排百分位可以為1或2，兩種方法，最后排其余后面的數位，余下的五個數字全排列即可，即不同種數有．故選：C．由0～9這10個數組成的三位數中，各位數字按嚴格遞增（如“145”）或嚴格遞減（如“321”）順序排列的數的個數是（）A．120 B．168 C．204 D．216【解答】解：根據題意，分2種情況討論：當數字不含0時，從9個數字中選三個，則這三個數字遞增或遞減的順序確定是兩個三位數，共有2＝168，當三個數字中含有0時，從9個數字中選2個數，它們只有遞減一種結果，共有＝36個，根據分類計數原理知共有168+36＝204，故選：C．回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種，用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀，不僅意思不變，而且頗具趣味．相傳，清代北京城里有一家酒樓叫“天然居”，一次乾隆路過這家酒樓，稱贊樓名的高雅，遂以樓名為題作對聯(lián)，上聯(lián)是：“客上天然居，居然天上客”．紀曉嵐對曰：“人過大佛寺，寺佛大過人”，乾隆微笑頷首，后“天然居”以此為門聯(lián)，遂聲名大噪．在數學中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個數的自然數，稱之為：“回文數”．如66，787，4334等，那么用數字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以組成4位“回文數”的個數為（）A．56個 B．64個 C．81個 D．90個【解答】解：根據題意，分2種情況討論：①4位“回文數”中數字全部相同，有9種情況，即此時有9個4位“回文數”；②4位“回文數”中有2個不同的數字，有種情況，即此時有72個4位“回文數”，則一共有9+72＝81個4位“回文數”，故選：C．定義：“各位數字之和為7的四位數叫好運數”，比如1006，2203，則所有好運數的個數為（）A．82 B．83 C．84 D．85【解答】解：因為各位數字之和為7的四位數叫幸運數，所以按首位數字分別計算，當首位數字為1，則剩余三位數分別是5，1，0；6，0，0；1，1，4；4，2，0；3，2，1；3，3，0；2，2，2，共有個幸運數；當首位數字為2，則剩余三位數分別是4，1，0；5，0，0；1，1，3；3，2，0；2，2，1，共有個幸運數；當首位數字為3，則剩余三位數分別是3，1，0；4，0，0；1，1，2；2，2，0，共有個幸運數；當首位數字為4，則剩余三位數分別是2，1，0；3，0，0；1，1，1，共有個幸運數；當首位數字為5，則剩余三位數分別是1，1，0；2，0，0，共有3+3＝6個幸運數；當首位數字為6，則剩余三位數分別是1，0，0，共有3個幸運數；當首位數字為7，則剩余三位數分別是0，0，0，共有1個幸運數；則共有1+3+6+10+15+21+28＝84個幸運數．故選：C．用0，1，2，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為（）A．243B．252C．261D．279解：用0，1，2，…，9十個數字，所有三位數個數為：900，其中沒有重復數字的三位數百位數從非0的9個數字中選取一位，十位數從余下的9個數字中選一個，個位數再從余下的8個中選一個，所以共有：9×9×8=648，所以可以組成有重復數字的三位數的個數為：900﹣648=252．故選B．由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種【答案】

：按題意，個位數字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個,選.如果一個十位數F的各位數字之和為81，則稱F是一個“小猿數”．則小猿數的個數為．【解答】解：設F＝．則a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝81，其中1≤a1≤9，0≤ai≤9，i＝1，2，3，…，10．令bi＝9﹣ai則有b1+b2+...+b10＝9，其中0≤b1≤8，0≤bi≤9，i＝1，2，3，…，10．而該方程的非負整數解共有C＝＝48620組，除去唯一一組不合題意得（9，0，0，…，0），故共有48620﹣1＝48619個“小猿數”．故答案為：48619．十七．染色問題方法：可根據共用了多少種顏色分類討論;根據相對區(qū)域是否同色分類討論;將空間問題平面化，轉化成平面區(qū)域涂色問題。將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數是_______.【解析一】滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。(1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。(2)若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。(3)若恰用五種顏色染色，有種染色法綜上所知，滿足題意的染色方法數為60+240+120=420種?！敬鸢浮?20.【解析二】設想染色按S—A—B—C—D的順序進行，對S、A、B染色，有種染色方法。由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數，故分類討論：C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有種染色方法。由乘法原理，總的染色方法是【解析三】可把這個問題轉化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖，對這五個區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？總體實施分步完成,可分為四大步:①給S涂色有5種方法;②給A涂色有4種方法(與S不同色);③給B涂色有3種方法(與A,S不同色);④給C,D涂色.當C與A異色時,C,D都有2種涂色方法;當C與A同色時,C有一種涂色方法(與A同色),D有3種涂色方法.給C,D涂色共有2×2+3=7種方法.由分步計數原理共有5×4×3×7=420種方法如圖，給7條線段的5個端點涂色，要求同一條線段的兩個端點不能同色，現有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數有（）A．24 B．48 C．96 D．120【解答】解：第一類：若A，D相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有1種涂法，共有4×3×2＝24種，第二類，若A，D不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當B和D相同時，C有2種涂法，當B和D不同時，B，C只有1種涂法，共有4×3×2×（2+1）＝72種，根據分類計數原理可得，共有24+72＝96種，故選：C．玩積木有利于兒童想象力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)．一小朋友在玩四棱柱形積木（四個側面有各不相同的圖案）時，想用5種顏色給積木的12條棱染色，要求側棱用同一種顏色，其余棱用另4種顏色，且在積木的6個面中，除側棱的顏色相同外，同一面內再無同色的棱，則染法總數為（）A．216 B．360 C．720 D．1080【解答】解：根據題意，如圖：分3步進行分析：①要求側棱用同一種顏色，則側棱有5種選色的方法，②對于上底ABCD，有4種顏色可選，而要求4條邊的顏色都不相同，則有＝24種選法，③對于下底A1B1C1D1，每條邊與上底和側棱的顏色不同，有3×3×1×1＝9種選法，則共有5×24×9＝1080種選法．故選：D．五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想，多用于哲學、中醫(yī)學和占卜方面．五行學說是華夏文明重要組成部分．古代先民認為，天下萬物皆由五類元素組成，分別是金、木、水、火、土，彼此之間存在相生相克的關系．如圖是五行圖，現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色，要求五行相生不能用同一種顏色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一種顏色（例如水克火，木克土，可以用同一種顏色），則不同的涂色方法種數有（）A．3125 B．1000 C．1040 D．1020【解答】解：五行相克可以用同一種顏色，也可以不用同一種顏色，即無限制條件，五行相生不能用同一種顏色，即相鄰位置不能用同一種顏色，故問題轉化為如圖A，B，C，D，E五個區(qū)域，有5種不同的顏色可用，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，即5色5區(qū)域的環(huán)狀涂色問題，分為以下兩類情況：第一類：A，C，D三個區(qū)域涂三種不同的顏色，第一步涂A，C，D區(qū)域，從5種不同的顏色中選3種按順序涂在不同的3個區(qū)域上，則有種方法，第二步涂B區(qū)域，由于A，C顏色不同，則有3種方法，第三步涂E區(qū)域，由于A，D顏色不同，則有3種方法，由分步計數原理，則共有＝540種方法；第二類：A，C，D三個區(qū)域涂兩種不同的顏色，由于C，D不能涂同一色，則A，C涂一色，或A，D涂同一色，兩種情況方法數相同，若A，C涂一色，第一步涂A，C，D區(qū)域，A，C可看成同一區(qū)域，且A，D區(qū)域不同色，即涂2個區(qū)域不同色，從5種不同的顏色中選2種按順序涂在不同的2個區(qū)域上，則有種方法，第二步涂B區(qū)域，由于A，C顏色相同，則有4種方法，第三步涂E區(qū)域，由于A，D顏色不同，則有3種方法，由分步計數原理，則共有＝240種方法；若A，D涂一色，與A，C涂一色的方法數相同，則共有2×240＝480種方法，由分類計數原理可知，不同的涂色方法共有540+480＝1020種．故選：D．如圖，4個圓相交共有8個交點，現在4種不同的顏色供選用，給8個交點染色，要求在同一圓上的4個交點的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（）種．A．0 B．24 C．48 D．96【解答】解：由題意，其中一部分有四種方法，與其緊鄰的有3種方法，再相鄰的有2種，兩圓的公共部分有2種，剩余兩部分有2種，涂色示意圖如下：共有4×3×2×1×2×1×2＝96種涂法．故選：D．現準備給每面刻有不同點數的骰子涂色，每個面涂一種顏色，相鄰兩個面所涂顏色不能相同．若有5種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）A．720種 B．780種 C．600種 D．660種【解答】解：先涂點數為2的區(qū)域，有5種選擇；再涂點數為4的區(qū)域，有4種選擇；再涂點數為6的區(qū)域，有3種選擇．當點數為6的對面區(qū)域與點數為6的區(qū)域涂的顏色不同時，有兩種情況，剩下的區(qū)域分兩種情況討論：若點數為4的對面區(qū)域與點數為4的區(qū)域涂的顏色不同，則剩下的一個區(qū)域只有1種選擇；若點數為4的對面區(qū)域與點數為4的區(qū)域涂的顏色相同，則剩下的一個區(qū)域有2種選擇．當點數為6的對面區(qū)域與點數為6的區(qū)域涂的顏色相同時，分兩種情況討論：若點數為4的對面區(qū)域與點數為4的區(qū)域涂的顏色不同，有2種選擇，則剩下的一個區(qū)域也有2種選擇；若點數為4的對面區(qū)域與點數為4的區(qū)域涂的顏色相同，則剩下的一個區(qū)域有3種選擇．故不同的涂色方案有5×4×3×[2×（1+2）+2×2+3]＝780種．故選：B．用紅、黃、藍、綠四種顏色給下圖著色，要求有公共邊的兩塊不著同色．在所有著色方案中，①③⑤著相同色的方案有（）種．A．96 B．24 C．48 D．108【解答】解：因為①③⑤著相同的顏色，可以有種，②④⑥按要求可隨意著與①③⑤不同色的另外三種顏色，故有種，所以共有4×27＝108種．故選：D．用黑白兩種顏色隨機地染如圖所示表格中6個格子，每個格子染一種顏色，并且從左到右數，不管數到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格?的染色方法種數為（）A．15 B．16 C．18 D．20【解答】解：依題意，第一個格子必須為黑色，設格子從左到右的編號分別為1～6．故①當1，3，5號格子為黑色時：有23＝8種；②當1，3號為黑色且5號為白色時：若2號為黑色則有22＝4種，若2號為白色，則4號為黑色有2種，故此時共有4+2＝6種；③當1號為黑色，3號為白色時：2號必為黑色，若4號為白色，則有1×1×1×1××12＝2種，若4號為黑色，則有1×1×1×1×2×2＝4種，故此時共有2+4＝6種；綜上，共有8+6+6＝20種．故選：D．用紅、黃、綠、藍四種不同顏色給一個正方體的六個面涂色，要求相鄰兩個面涂不同的顏色，則共有涂色方法（涂色后，任意翻轉正方體，能使正方體各面顏色一致，我們認為是同一種涂色方法）（）A．10種B．12種C．24種D．48種解：由于涂色過程中，要保證滿足用四種顏色，且相鄰的面不同色，對于正方體的三對面來說，必然有三對同色或兩對同色，一對不同色，而且三對面具有“地位對等性”，因此，三對同色：=4種不同的涂法；兩對同色，一對不同色：只需從四種顏色中選擇2種涂在其中兩對面上，剩下的兩種顏色涂在另外兩個面即可．因此共有=6種不同的涂法．故共有4+6=10種不同的涂法．故選：A．中國是世界上最早發(fā)明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一個重要的創(chuàng)造．如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區(qū)域，每個區(qū)域分別印有數字1，2，3，…，8，現準備給該傘面的每個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區(qū)域（如區(qū)域1與區(qū)域5）所涂顏色相同．若有7種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）A．1050種 B．1260種 C．1302種 D．1512種【解答】解：由題意可得，只需確定區(qū)域1，2，3，4的顏色，即可確定整個傘面的涂色．先涂區(qū)域1，有7種選擇；再涂區(qū)域2，有6種選擇．當區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色不同時，區(qū)域3有5種選擇，剩下的區(qū)域4有5種選擇．當區(qū)域3與區(qū)域1涂的顏色相同時，剩下的區(qū)域4有6種選擇．故不同的涂色方案有7×6×（5×5+6）＝1302種．故選：C．如圖是在“趙爽弦圖”的基礎上創(chuàng)作出的一個“數學風車”平面模型，圖中正方形ABCD內部為“趙爽弦圖”（由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成），給△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點的區(qū)域）不同色，已知有5種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數是（）A．360 B．120 C．420 D．216【解答】解：根據題意，所有的涂色方案分3類，第1類：用三種顏色為：⑤一種顏色，①③同色，②④同色，則涂色方法為＝60種，第2類：用到四種顏色為：⑤一種顏色，①③不同色，②④同色或為⑤一種顏色，①③同色，②④不同色，則涂色方法為2＝240種，第3類：用到五種顏色，此時涂色方法為＝120種，則有60+240+120＝420種涂色方法．故選：C．在生物學研究過程中，常用高倍顯微鏡觀察生物體細胞．已知某研究小組利用高倍顯微鏡觀察某葉片的組織細胞，獲得顯微鏡下局部的葉片細胞圖片，如圖所示，為了方便研究，現在利用甲、乙、丙、丁等四種不同的試劑對A、B、C、D、E、F這六個細胞進行染色，其中相鄰的細胞不能用同種試劑染色，則共有120種不同的染色方法（用數字作答）．【解答】解：①若C，D，E用不同的顏色，則有種，F只有一種可能，若A與E顏色相同，則B有2種可能；若A與E顏色不同，則B有1種可能，所以共有24×（2+1）＝72種可能；②若C，D，E中C與E用同種顏色，則有種，F有兩種可能，A有兩種可能（無論A選哪種顏色，B都只有一種可能），則有12×2×2＝48種．綜上所述，共有72+48＝120種．正方體六個面上分別標有A，B，C，D，E，F六個字母，現用5種不同的顏色給此正方體六個面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有種．（用數字作答）【解答】解：首先涂法可分三類：用3種顏色和用4種顏色，用5種顏色涂色，正方體有3組相對面，用5色涂色時，有＝360種；用4色時，有＝360種；用3色涂色時，有＝60種；∴總情況數360+360+60＝780．故答案為：780．如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F，G七個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）A．192 B．336 C．600 D．以上答案均不對【解答】解：E，F，G分別有4，3，2種方法，①當A與F相同時，A有1種方法，此時B有2種，（1）C若與F相同有C有1種方法，同時D有3種方法，（2）若C與F不同，則此時D有2種方法，故此時共有：4×3×2×1×2×（1×3+1×2）＝240種方法；②當A與G相同時，A有1種方法，此時B有3種方法，（1）若C與F相同，C有1種方法，同時D有2種方法，（2）若C與F不同，則D有1種方法，故此時