橢圓的第二定義

問題情境已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)(3,0)的距離與到定直線的距離之比等于,求動點(diǎn)P的軌跡.問題一Hd},54{

==dMFMP1925610

,

22=+yxxM的橢圓，其軌跡方程是、為軸，長軸、短軸長分別的軌跡是焦點(diǎn)在點(diǎn)所以1925

22=+yx即,225

259

,

22=+yx并化簡得將上式兩邊平方.54425)4(

22=-+-xyx由此得,,425::=MxlMd跡就是集合的軌點(diǎn)根據(jù)題意的距離到直線是點(diǎn)設(shè)解問1:橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率分別是什么？問2:將上述問題一般化,你能得出什么猜想？猜想證明若動點(diǎn)P(x,y)和定點(diǎn)F(c,0)的距離與它到定直線l:的距離的比是常數(shù)(0<c<a),則動點(diǎn)P的軌跡是橢圓.猜想將上式兩邊平方并化簡得:則原方程可化為:0xyP證明:由已知，得猜想證明這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以P點(diǎn)的軌跡是長軸長為短軸長為的橢圓.概念引入問題二（1）猜想中有哪些已知條件?（2）定點(diǎn)、比在橢圓中分別指什么?（3）比的取值范圍是什么?（4）橢圓有幾條類似的定直線,它們與橢圓有怎樣位置關(guān)系?由此可知,當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)常數(shù)時(shí),這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓,這就是橢圓的第二定義，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線,,常數(shù)e是橢圓的離心率.0xyM對于橢圓相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是能不能說M到的距離與到直線的距離比也是離心率e呢?)0,(-cF￠概念分析由橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程是OxyPF1F2OyxPF1F2右準(zhǔn)線上準(zhǔn)線下準(zhǔn)線左準(zhǔn)線上焦點(diǎn)(0,c),上準(zhǔn)線右焦點(diǎn)(c,0),

右準(zhǔn)線下焦點(diǎn)(0,-c),下準(zhǔn)線左焦點(diǎn)(-c,0),左準(zhǔn)線焦點(diǎn)準(zhǔn)線例1：求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(1)y2__36

+=1x2__100(2)2x2+y2=8焦點(diǎn)坐標(biāo):(-8,0),(8,0).準(zhǔn)線方程:x=±25__2焦點(diǎn)坐標(biāo):(0,-2),(0,2).準(zhǔn)線方程:y=±4例題講解

例2求中心在原點(diǎn),一條準(zhǔn)線方程是x=3，離心率為的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.解:依題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為由已知有解得a=c=所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例題講解例3橢圓方程為,其上有一點(diǎn)P,它到右焦點(diǎn)的距離為14,求P點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離.P0xy解:由橢圓的方程可知由第一定義可知:由第二定義知:例題講解例4:若橢圓

內(nèi)有一點(diǎn)P(1,-1),F為右焦點(diǎn),在該橢圓上求一點(diǎn)M,使得

最小，并且求最小值.OxyMFP例題講解|PF2|=a-ex0,|PF1|=a+ex0P(x0,y0)是橢圓上一點(diǎn),e是橢圓的離心率.遷移延伸證明:焦半徑公式: