第二章-2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問題．知識(shí)點(diǎn)一拋物線的范圍思考觀察下列圖形，思考以下問題：(1)觀察焦點(diǎn)在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？(2)根據(jù)圖形及拋物線方程y2＝2px(p>0)如何確定橫坐標(biāo)x的范圍？答案(1)拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個(gè)頂點(diǎn)，有兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個(gè)頂點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)，有中心；拋物線只有一條曲線，一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，無中心．(2)由拋物線y2＝2px(p>0)有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2px＝y(tǒng)2≥0，,p＞0，))所以x≥0.所以拋物線x的范圍為x≥0.拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．知識(shí)點(diǎn)二拋物線的對(duì)稱性、準(zhǔn)線方程拋物線四種形式的性質(zhì)如下表所示：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程離心率y2＝2px(p>0)x≥0，y∈R(0,0)x軸(eq\f(p,2)，0)x＝－eq\f(p,2)e＝1y2＝－2px(p>0)x≤0，y∈R(0,0)x軸(－eq\f(p,2)，0)x＝eq\f(p,2)e＝1x2＝2py(p>0)x∈R，y≥0(0,0)y軸(0，eq\f(p,2))y＝－eq\f(p,2)e＝1x2＝－2py(p>0)x∈R，y≤0(0,0)y軸(0，－eq\f(p,2))y＝eq\f(p,2)e＝1知識(shí)點(diǎn)三直線與拋物線的位置關(guān)系直線y＝kx＋b與拋物線y2＝2px(p>0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定于關(guān)于x的方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的個(gè)數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個(gè)數(shù)．當(dāng)k≠0時(shí)，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；若Δ＝0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；若Δ<0時(shí)，直線與拋物線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線的軸平行或垂直，此時(shí)直線與拋物線有1個(gè)公共點(diǎn)．類型一拋物線的性質(zhì)應(yīng)用例1(1)已知拋物線y2＝8x，求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、變量x的范圍．(2)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程．解(1)拋物線y2＝8x，p＝4，所以頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、對(duì)稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0.(2)橢圓的方程可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，其短軸在x軸上，∴拋物線的對(duì)稱軸為x軸，∴設(shè)拋物線的方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．∵拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，即eq\f(p,2)＝3,∴p＝6.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x或y2＝－12x，其準(zhǔn)線方程分別為x＝－3或x＝3.反思與感悟把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)．(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間、準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸．(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p；離心率恒等于1.跟蹤訓(xùn)練1已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，|AB|＝2eq\r(3)，求拋物線方程．解由已知，拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上，也可能在負(fù)半軸上．故可設(shè)拋物線方程為：y2＝ax(a≠0)．設(shè)拋物線與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵拋物線y2＝ax(a≠0)與圓x2＋y2＝4都關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，∴|y1|＝|y2|＝eq\r(3)，代入圓x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，eq\r(3))或A(±1，－eq\r(3))，代入拋物線方程，得：(eq\r(3))2＝±a，∴a＝±3.∴所求拋物線方程是：y2＝3x或y2＝－3x.類型二拋物線的焦半徑和焦點(diǎn)弦問題例2(1)過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，傾斜角為45°的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為________．(2)直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為________________．(3)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為________________．答案(1)16(2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0(3)eq\f(7,2)解析(1)由拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，得直線的方程為y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦長(zhǎng)為x1＋x2＋p＝12＋4＝16.(2)∵拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，若l與x軸垂直，則|AB|＝4，不符合題意，∴可設(shè)所求直線l的方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).又AB過焦點(diǎn)，由拋物線的定義可知|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝8，∴eq\f(2k2＋4,k2)＝6，解得k＝±1.∴所求直線l的方程為y＋x－1＝0或x－y－1＝0.(3)拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為eq\f(5,2)，又準(zhǔn)線方程為x＝－1，因此點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為eq\f(5,2)＋1＝eq\f(7,2).反思與感悟(1)拋物線上任一點(diǎn)P(x0，y0)與焦點(diǎn)F的連線得到的線段叫做拋物線的焦半徑，對(duì)于四種形式的拋物線來說其焦半徑的長(zhǎng)分別為：①拋物線y2＝2px(p>0)，|PF|＝|x0＋eq\f(p,2)|＝eq\f(p,2)＋x0；②拋物線y2＝－2px(p>0)，|PF|＝|x0－eq\f(p,2)|＝eq\f(p,2)－x0；③拋物線x2＝2py(p>0)，|PF|＝|y0＋eq\f(p,2)|＝eq\f(p,2)＋y0；④拋物線x2＝－2py(p>0)，|PF|＝|y0－eq\f(p,2)|＝eq\f(p,2)－y0.(2)已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：①y1·y2＝－p2，x1·x2＝eq\f(p2,4)；②|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為直線AB的傾斜角)；③S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ為直線AB的傾斜角)；④eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；⑤以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．(3)當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的對(duì)稱軸垂直時(shí)，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長(zhǎng)等于2p.跟蹤訓(xùn)練2已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．解(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直線l的方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，))消去y得x2－5x＋eq\f(9,4)＝0.若設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．則x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6.于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(3,2)，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).類型三拋物線中的最值問題例3如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)為O(0,0)，焦點(diǎn)為F(0,1)．(1)求拋物線C的方程；(2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)．若直線AO，BO分別交直線l：y＝x－2于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的最小值．解(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2＝2py(p>0)，則eq\f(p,2)＝1，所以拋物線C的方程為x2＝4y.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y))消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.從而|x1－x2|＝4eq\r(k2＋1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(y1,x1)x，,y＝x－2，))解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM＝eq\f(2x1,x1－y1)＝eq\f(2x1,x1－\f(x\o\al(2,1),4))＝eq\f(8,4－x1).同理，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN＝eq\f(8,4－x2).所以|MN|＝eq\r(2)|xM－xN|＝eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8,4－x1)－\f(8,4－x2)))＝8eq\r(2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x1－x2,x1x2－4x1＋x2＋16)))＝eq\f(8\r(2)\r(k2＋1),|4k－3|)，令4k－3＝t，t≠0，則k＝eq\f(t＋3,4).當(dāng)t>0時(shí)，|MN|＝2eq\r(2)eq\r(\f(25,t2)＋\f(6,t)＋1)>2eq\r(2).當(dāng)t<0時(shí)，|MN|＝2eq\r(2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,t)＋\f(3,5)))2＋\f(16,25))≥eq\f(8,5)eq\r(2).綜上所述，當(dāng)t＝－eq\f(25,3)，即k＝－eq\f(4,3)時(shí)，|MN|的最小值是eq\f(8,5)eq\r(2).反思與感悟(1)利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用圖形的幾何特征進(jìn)行處理．(2)建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求最值．如已知M(a,0)為拋物線y2＝2px(p>0)的對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)，在拋物線上求一點(diǎn)N使得|MN|最?。浣夥椋涸O(shè)y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)為N(x0，y0)，則yeq\o\al(2,0)＝2px0，故|MN|2＝(x0－a)2＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)－2ax0＋a2＋2px0＝[x0－(a－p)]2－p2＋2ap(x0≥0)．①當(dāng)a>p時(shí)，x0＝a－p使|MN|最小，則N(a－p，±eq\r(2pa－p))．②當(dāng)a≤p時(shí)，x0＝a使|MN|最小，則N(0,0)．(3)除了上述幾何法、二次函數(shù)法解決此類問題外，還要注重不等式方法的應(yīng)用及利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值問題．跟蹤訓(xùn)練3拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x，y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A(－1,0)，則eq\f(|PF|,|PA|)的最小值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(2\r(2),3)答案B解析拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，如圖，過P作PN垂直x＝－1于N，由拋物線的定義可知|PF|＝|PN|，連接PA，在Rt△PAN中，sin∠PAN＝eq\f(|PN|,|PA|)，當(dāng)eq\f(|PN|,|PA|)＝eq\f(|PF|,|PA|)最小時(shí)，sin∠PAN最小，即∠PAN最小，即∠PAF最大，此時(shí)，PA為拋物線的切線，設(shè)PA的方程為y＝k(x＋1)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，eq\f(|PF|,|PA|)＝eq\f(|PN|,|PA|)＝cos∠NPA＝eq\f(\r(2),2)，故選B.1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．y2＝±6y答案C解析對(duì)稱軸為y軸可設(shè)拋物線方程為x2＝my(m≠0)，又∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,4)))＝3，∴m＝±12.∴拋物線方程為x2＝±12y.2．設(shè)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦為AB，則|AB|的最小值為()A.eq\f(p,2) B．pC．2p D．無法確定答案C解析由題意得當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|取最小值，最小值為2p.3．已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p>0)，則()A．直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)B．直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)C．直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)D．直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)答案C解析∵直線y＝kx－k＝k(x－1)，∴直線過點(diǎn)(1,0)，又點(diǎn)(1,0)在拋物線y2＝2px的內(nèi)部，∴當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)．4．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若eq\o(FP,\s\up6(→))＝3eq\o(FQ,\s\up6(→))，則|QF|等于()A.eq\f(8,3)B.eq\f(4,3)C．2D．1答案B解析焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線l：x＝－1，設(shè)點(diǎn)P(－1，m)，設(shè)點(diǎn)Q(x0，y0)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(－2，m)，eq\o(FQ,\s\up6(→))＝(x0－1，y0)，根據(jù)eq\o(FP,\s\up6(→))＝3eq\o(FQ,\s\up6(→))，求解得到|QF|＝eq\f(4,3)，故選B.5．拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，M是拋物線C的一點(diǎn)，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4eq\r(3)，則拋物線的方程為________________．答案y2＝8x解析由題意，得F(eq\f(p,2)，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，∵|MF|＝4|OF|，∴|MF|＝2p，∴M的橫坐標(biāo)為2p－eq\f(p,2)＝eq\f(3p,2)，∴M的縱坐標(biāo)為y＝±eq\r(3)p，∵△MFO的面積為4eq\r(3)，∴eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝4eq\r(3)，即p＝4，拋物線的方程為y2＝8x.(1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí)，首先要判斷拋物線的對(duì)稱軸和開口方向.一次項(xiàng)的變量如果為x(或y)，那么x軸(或y軸)是拋物線的對(duì)稱軸，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向．例如拋物線的方程為x2＝－2y，則y軸為對(duì)稱軸，開口方向和y軸正方向相反．(2)由已知條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先要根據(jù)已知條件確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再求出方程中的參數(shù)p.(3)畫圖時(shí)特別注意不要把拋物線看成雙曲線的一支．(4)解決直線與拋物線相交問題時(shí)，一般常將直線方程代入拋物線的方程中得到一元二次方程，這個(gè)方程的兩個(gè)根就是交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以解決弦中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、軌跡等問題．(5)解決弦長(zhǎng)問題時(shí)，應(yīng)注意所給弦是否過焦點(diǎn)．(6)解決中點(diǎn)弦問題的思路一般有兩種：一是用根與系數(shù)的關(guān)系解，二是用“點(diǎn)差法”解決，其中“點(diǎn)差法”用的較多．一、選擇題1．等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4eq\r(3)，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．4D．8答案C解析設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0)，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－4，且|AB|＝4eq\r(3)，故可得A(－4,2eq\r(3))，B(－4，－2eq\r(3))，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程得a2＝4，故a＝2，故實(shí)軸長(zhǎng)為4.2．拋物線y2＝12x截直線y＝2x＋1所得弦長(zhǎng)等于()A.eq\r(15) B．2eq\r(15)C.eq\f(\r(15),2) D．15答案A解析令直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y2＝12x，))得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1,4)，∴|AB|＝eq\r(1＋22x1－x22)＝eq\r(5[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(15).3．拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(7,5)C.eq\f(8,5) D．3答案A解析設(shè)拋物線y＝－x2上一點(diǎn)為(m，－m2)，該點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的距離為eq\f(|4m－3m2－8|,5)，當(dāng)m＝eq\f(2,3)時(shí)，取得最小值為eq\f(4,3).4．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，其上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)之比為3∶4∶5，則以|FA|，|FB|，|FC|為邊長(zhǎng)的三角形()A．不存在B．必是銳角三角形C．必是鈍角三角形D．必是直角三角形答案B解析設(shè)A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由拋物線定義得|FA|＝eq\f(p,2)＋3k，|FB|＝eq\f(p,2)＋4k，|FC|＝eq\f(p,2)＋5k，易知三者能構(gòu)成三角形，|FC|所對(duì)角為最大角，由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù)，故該三角形必是銳角三角形．5．等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OA⊥OB，則△AOB的面積是()A．8p2B．4p2C．2p2D．p2答案B解析因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對(duì)稱性知，直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45°.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p，))所以易得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2p,2p)和(2p，－2p)．所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4p×2p＝4p2.6．已知點(diǎn)(x，y)在拋物線y2＝4x上，則z＝x2＋eq\f(1,2)y2＋3的最小值是()A．2B．3C．4D．0答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在拋物線y2＝4x上，所以x≥0，因?yàn)閦＝x2＋eq\f(1,2)y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以當(dāng)x＝0時(shí)，z最小，其值為3.7．設(shè)F為拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為60°的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在第一象限，A點(diǎn)在第四象限)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過A作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，則|OB|與|OM|的比值為()A.eq\r(3)B．2C．3D．4答案C解析如圖所示：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(p,2)，0)，x＝－eq\f(p,2)，直線AB的方程為y＝tan60°(x－eq\f(p,2))＝eq\r(3)(x－eq\f(p,2))，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y并整理，得3x2－5px＋eq\f(3,4)p2＝0，解得x＝eq\f(3p,2)或x＝eq\f(p,6)，將x＝eq\f(3p,2)或x＝eq\f(p,6)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，A(eq\f(p,6)，－eq\f(\r(3),3)p)，B(eq\f(3p,2)，eq\r(3)p)，|OM|＝eq\r(\f(p,2)2＋－\f(\r(3),3)p2)＝eq\r(\f(7,12))p，|OB|＝eq\r(\f(3p,2)2＋\r(3)p2)＝eq\r(\f(21,4))p，故eq\f(|OB|,|OM|)＝3，故選C.二、填空題8．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若A、B在準(zhǔn)線上的射影為A1、B1，則∠A1FB1＝________.答案90°解析如圖，由拋物線定義知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO，同理∠BFB1＝∠B1FO，于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.故∠A1FB1＝90°.9．已知直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)且與拋物線相交，其中一交點(diǎn)為(2p,2p)，則其焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為________．答案eq\f(25p,8)解析由題意知直線l過(eq\f(p,2)，0)和(2p,2p)，所以l：y＝eq\f(4,3)(x－eq\f(p,2))．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y＝\f(4,3)x－\f(p,2)，))整理得8x2－17px＋2p2＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(17p,8)，所以焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為x1＋x2＋p＝eq\f(25p,8).10．已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為________．答案y2＝4x解析設(shè)拋物線方程為y2＝kx，與y＝x聯(lián)立方程組，消去y，得x2－kx＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2),∴x1＋x2＝k.又∵P(2,2)為AB的中點(diǎn)，∴eq\f(x1＋x2,2)＝2.∴k＝4.∴y2＝4x.三、解答題11．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.證明因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x＝my＋eq\f(p,2)，代入拋物線方程得y2－2pmy－p2＝0.若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2＝－p2.因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，y2))，故直線CO的斜率為k＝eq\f(y2,－\f(p,2))＝eq\f(2p,y1)＝eq\f(y1,x1)，即k也是直線OA的斜率，所以A，O，C三點(diǎn)共線，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.12．已知過點(diǎn)A(－4,0)的動(dòng)直線l與拋物線G：x2＝2py(p>0)相交于B、C兩點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率是eq\f(1,2)時(shí)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)求拋物線G的方程；(2)設(shè)線段BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．解(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，由題意知直線l的方程為x＝2y－4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,x＝2y－4，))得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1y2＝4，①,y1＋y2＝\f(8＋p,