2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)-成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（解析版）

高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)一一成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

考點(diǎn)一、相關(guān)關(guān)系的辨析

例1、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.正方體的體積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系

B.人的身高與視力之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系

C.汽車的重量與汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程負(fù)相關(guān)

D.體重與學(xué)習(xí)成績(jī)之間不具有相關(guān)關(guān)系

答案：B

解析；正方體的體積與棱長(zhǎng)之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，故A正確；

人的身高與視力之間不具有相關(guān)關(guān)系，故B錯(cuò)誤；

汽車的重量與汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程負(fù)相關(guān)，故C正確；

體重與學(xué)習(xí)成績(jī)之間不具有相關(guān)關(guān)系，故D正確.故選：B.

例2、下列語(yǔ)句所表示的事件中的因素不具有相關(guān)關(guān)系的是（）

A.瑞雪兆豐年B.讀書破萬(wàn)卷，下筆如有神

C.吸煙有害健康D.喜鵲叫喜，烏鴉叫喪

答案：D

解析：“瑞雪兆豐年”和“讀書破萬(wàn)卷，下筆如有神”是根據(jù)多年經(jīng)驗(yàn)總結(jié)歸納出來(lái)的，吸

煙有害健康具有科學(xué)根據(jù)，所以它們都是相關(guān)關(guān)系，所以A、B、C三項(xiàng)具有相關(guān)關(guān)系；

結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)知喜鵲和烏鴉發(fā)出叫聲是它們自身的生理反應(yīng)，與人無(wú)任何關(guān)系，故D項(xiàng)不具

有相關(guān)關(guān)系

故選:D.

例3、有幾組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)

時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)；③立方體的棱長(zhǎng)和體積.其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是（）

A.①③B.（2X3）

C.②D.③

答案：C

解析：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程是負(fù)相關(guān)關(guān)系；

②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)是正相關(guān)關(guān)系；

③立方體的棱長(zhǎng)和體積是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系.

故選:C

跟蹤練習(xí)

1、下面的變量之間可用直線擬合的是（）

A.出租車費(fèi)與行駛的里程

B.房屋面積與房屋價(jià)格

C.身高與體重

D.實(shí)心鐵塊的大小與質(zhì)量

答案：C

解析：出租車費(fèi)與行駛的里程是確定的函數(shù)關(guān)系，故A錯(cuò)誤；房屋面積與房屋價(jià)格是確定的

函數(shù)關(guān)系，故B錯(cuò)誤；人的身高會(huì)影響體重，但不是唯一因素，可用直線擬合，故C正確；

實(shí)心鐵塊的大小與質(zhì)量是確定的函數(shù)關(guān)系，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

2、有五組變量：

①汽車的重量和汽車每消耗一升汽油所行駛的距離；

②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)；

③某人每天的吸煙量和身體健康狀況；

④圓的半徑與面積；

⑤汽車的重量和每千米的耗油量.

其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是（）

A.②④⑤B.②④C.②⑤I）.④@

答案：C

解析：①中，汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程是負(fù)相關(guān)的關(guān)系；

②中，平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)的關(guān)系是一個(gè)正相關(guān)；

③中，某人每II吸煙量和其身體健康情況是負(fù)相關(guān)的關(guān)系；

④中，圓的半徑與面積是函數(shù)關(guān)系；

⑤中，汽車的重量和百公里耗油量關(guān)系是一個(gè)正相關(guān)；，

所以②⑤中的兩個(gè)變量屬于線性正相關(guān).

故選：C.

3、最新《交通安全法》實(shí)施后，某市管理部門以周為單位，記錄的每周查處的酒駕人數(shù)與

該周內(nèi)出現(xiàn)的交通事故數(shù)量如下：

酒駕人數(shù)X801471211009610387

交通事故y19313023252420

通過(guò)如表數(shù)據(jù)可知，酒駕人數(shù)x與交通事故數(shù)》之間是（）

A.正相關(guān)B.負(fù)相關(guān)C,不相關(guān)D.函數(shù)關(guān)系

答案：A

解析：由表格中的數(shù)據(jù)，在直角坐標(biāo)系中描出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示，

直觀判斷散點(diǎn)從左向右成帶狀分布，在一條直線附近，所以具有線性相關(guān)關(guān)系,且是正相關(guān).

故選：A.

交通事故數(shù)

32卜.

30卜?

22卜

20k.,

gI，I!____________________，.

8090100110120130140150酒駕人物

4、某公司2006~2011年的年利潤(rùn)x（單位：百萬(wàn)元）與年廣告支出》（單位：百萬(wàn)元）的

統(tǒng)計(jì)資料如表所示：

年份200620072008200920102011

利潤(rùn)X12.214.6161820.422.3

支出y0.620.740.810.8911.11

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資力輯，則利潤(rùn)中位數(shù)（）

A.是16,*與y有正線性相關(guān)關(guān)系

B.是17,x與y有正線性相關(guān)關(guān)系

c.是17,x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

D.是18,x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

答案：B

解析：由題意，利潤(rùn)中位數(shù)是與竺=17,而且隨著利潤(rùn)的增加，支出也在增加，故x與V有

正線性相關(guān)關(guān)系.

故選：B.

5、從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度看，下列關(guān)于變量間的關(guān)系說(shuō)法正確的是（）

A.人體的脂肪含量與年齡之間沒(méi)有相關(guān)關(guān)系

B.汽車的重量和汽車每消耗1L汽油所行駛的平均路程負(fù)相關(guān)

C.吸煙量與健康水平正相關(guān)

D.氣溫與熱飲銷售好不好正相關(guān)

答案：B

解析：從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度看：

在一定年齡段內(nèi)，人體的脂肪含量與年齡之間有相關(guān)關(guān)系，二A錯(cuò)誤；

汽車的重量和汽車每消耗1L汽油所行駛的平均路程是負(fù)相關(guān)關(guān)系，二B正確；

吸煙量與健康水平是負(fù)相關(guān)關(guān)系，錯(cuò)誤；

氣溫與熱飲銷售好不好是負(fù)相關(guān)關(guān)系，，D錯(cuò)誤.

故選：B

考點(diǎn)二相關(guān)系數(shù)的理解與運(yùn)用

例1、對(duì)兩個(gè)變量y與x進(jìn)行回歸分析，分別選擇不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)r如下，其

中擬合效果最好的模型是（）

A.0.2B.0.8C.-0.98D.-0.7

答案：C

解析：???相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，越具有強(qiáng)大相關(guān)性，

C相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值最大約接近1,...c擬合程度越好.故選：C

例2、對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）

t

z

35

30

25???

20

15

10

5

0

5101520253035JT,5101520253035X

相關(guān)系數(shù)為0相關(guān)系數(shù)為口

相關(guān)系數(shù)為「3相關(guān)系數(shù)為幾

A.々<以<0<4<{B.rA<r2<0<r]<r3

C.r4<r2<0<r3<rtD.

答案：A

解析：由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，題圖1和題圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0,

題圖2和題圖4是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0,題圖1和題圖2的點(diǎn)相對(duì)更加集中，所以相關(guān)

性更強(qiáng)，所以《接近于1,4接近于-1，由此可得4<4<0<弓<].故選：A.

例3、某公司為了準(zhǔn)確地把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過(guò)去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了

第x年與年銷量y（單位：萬(wàn)件）之間的關(guān)系如表：

X1234

y12284256

在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)，計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)，并估計(jì)它

們的相關(guān)程度.

M萬(wàn)件)

60-

50-

40-

30-

20-

10

~O\~1~2~3~4~

附注：參考數(shù)據(jù)：jE(x-y)2?32.6,75?2.24,￡工,=418.

Vi=li=l

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=/J”

X(^)2t(y.-y)2

V/=]i=l

答案：作圖見解析；y與X的相關(guān)系數(shù)近似為0.9997,可以推斷該公司的年銷量y與第X年

呈正線性相關(guān)，且線性相關(guān)程度很強(qiáng).

解析：作出散點(diǎn)圖如圖：

萬(wàn)件)

60.

50

40-°

30?

20

10,

O1234x

山散點(diǎn)圖可知，各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，山此推斷x與y線性相關(guān).

由題中所給表格及參考數(shù)據(jù)得：

4

捻=|，y=y-gxj=418,-5)2=3

2.6f=30,

Z=1

Z(匕-x)(M-y)=^x，y-4xy=418-4x[xU

=73,

/=1/=1LZ

=整-4x(|)=掂

12.24,

以x，T（一）73

r=,-=----------x0.9997

也NT芭（M-W224x32.6

V/=i1=1

???y與X的相關(guān)系數(shù)近似為0.9997,可以推斷該公司的年銷量y與第X年呈正線性相關(guān)，且

線性相關(guān)程度很強(qiáng).

跟蹤練習(xí)

I、己知4表示變量x與y之間的線性相關(guān)系數(shù)，4表示變量u與丫之間的線性相關(guān)系數(shù)，

且4=0.837,4=-0957,Jjllj（）

A.變量x與y之間呈正相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性強(qiáng)于u與v之間的相關(guān)性

B.變量x與y之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性強(qiáng)于。與丫之間的相關(guān)性

c.變量u與v之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性弱于。與v之間的相關(guān)性

D.變量u與丫之間呈正相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性弱于。與丫之間的相關(guān)性

答案：c

解析：因?yàn)閍=0.837,弓=-0.957,所以變量X與丫之間呈正相關(guān)關(guān)系，變量U與V之間

呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且x與y之間的相關(guān)性弱于u與v之間的相關(guān)性.

故選：C.

2、相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是（）

A.[-1/]B.[—1,0]C.[0,1]I）.（-1J）

答案：A

解析：相關(guān)系數(shù)的范圍是：I/IU,即r?[1,1]故選：A

3、在下列4組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，樣本相關(guān)系數(shù)最大的是（）

相關(guān)系數(shù)與

51015202530353W1320253035

相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)。

A./；B.r2C.riD.

答案：A

解析：由散點(diǎn)圖變化趨勢(shì)可知，4>0,4>。，4<。，4<0，

又圖1中的散點(diǎn)更為集中，更接近于一條直線，

所以4>4,故樣本相關(guān)系數(shù)最大的是小故選：A.

4、對(duì)兩個(gè)變量>與x進(jìn)行回歸分析，分別選擇不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)一如下，其中

擬合效果最好的模型是（）

①模型I的相關(guān)系數(shù)/為-0.90；②模型H的相關(guān)系數(shù)『為0.80；

③模型IH的相關(guān)系數(shù)/為-0.50；④模型IV的相關(guān)系數(shù)『為0.25.

A.IB.IIC.IllD.IV

答案：A

解析：因?yàn)椴穦越趨近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，模型擬合效果越好，所以擬合效果最好的模型是I.

故選：A.

5、變量x,y的線性相關(guān)系數(shù)為心變量力,〃的線性相關(guān)系數(shù)為弓,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若同=0.96,則說(shuō)明變量x,y之間線性相關(guān)性強(qiáng)

B.若{>4,則說(shuō)明變量x，y之間的線性相關(guān)性比變量如〃之間的線性相關(guān)性強(qiáng)

C.若。<4<1,則說(shuō)明變量x,y之間的相關(guān)性為正相關(guān)

D.若4=0,則說(shuō)明變量x,y之間線性不相關(guān)

答案：B

解析：A：因?yàn)榇?0.96接近于1,所以說(shuō)明變量x,y之間線性相關(guān)性強(qiáng)，故A正確；

B：若a=0.99/=-0.99,滿足4>4,

但是不能說(shuō)明變量X,y之間的線性相關(guān)性比變量如〃之間的線性相關(guān)性強(qiáng)，故B錯(cuò)誤;

c：若。<4<1,則說(shuō)明變量X,y之間的相關(guān)性為正相關(guān)，故C正確;

D：{=0,則說(shuō)明變量x,y之間線性不相關(guān)，故D正確.

故選:B.

6、變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組樣本數(shù)據(jù)為（1,1.4）、（2,2.2）、（3,3）、（4,3.8）,由上述樣本數(shù)

據(jù)得到U與丫的線性回歸分析，居表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，則代=（）

附：決定系數(shù)公式浦=1-

r=l

A-1

C.1D.3

答案：c

【解析:

易知，點(diǎn)（1,14）、（2,2.2）、（3,3）、（4,3.8）都在直線y=0.8x+0.6上,

所以,%=%('=1，2,3,4),所以,R2=\-^-------------=1

—丫

(=i

故選：C.

7、已知力表示變量乃與V之間的線性相關(guān)系數(shù)，”表示變量〃與/之間的線性相關(guān)系數(shù),

且r=0.837,r2=-0.957,貝lj（）

A.變量l與F之間呈正相關(guān)關(guān)系，且X與Y之間的相關(guān)性強(qiáng)于〃與”之間的相關(guān)性

B.變量才與，之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且才與，之間的相關(guān)性強(qiáng)于〃與「之間的相關(guān)性

c.變量〃與/之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且x與？之間的相關(guān)性弱于〃與「之間的相關(guān)性

D.變量〃與/之間呈正相關(guān)關(guān)系，且才與？之間的相關(guān)性弱于〃與/之間的相關(guān)性

答案：c

解析:因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)21=0.837,22=-0.957,

所以變量X與之間呈正相關(guān)關(guān)系，變量〃與H之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，

片與Y之間的相關(guān)性弱于〃與『之間的相關(guān)性.

故選：C

8、下圖是我國(guó)2014年至2021年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

無(wú)

害

化

處

理

量

.Y

注：年份代碼1?7分別對(duì)應(yīng)年份2014~2021.

由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合/與￡的關(guān)系，請(qǐng)求出相關(guān)系數(shù)八并用相關(guān)系數(shù)的

大小說(shuō)明y與r相關(guān)性的強(qiáng)弱.

參考數(shù)據(jù)：\＞尸10?97,￡底=47.36,￡（%—方=0.664,萬(wàn)-2.646.

i=i，=1V；=i

￡（—）（%-方沙-0

i=li=l

參考公式：相關(guān)系數(shù)尸I廣.

、歸也=了￡(%一9

V/=1/=1Vr=lr=l

答案：y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,y與Z的線性相關(guān)性較強(qiáng).

7_

解析：由折線圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得i=4，Z（f；T）2=28,

1=1

p_7_7

2(＞；--y)2=0.664,ZM=47.36-4x10.97=3.48

/=]/=!/=!

3.48

貝V=。0.99

\歸（4-脛（必一才2x2.646x0.664

Vr=li=l

y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,接近于1,

所以y與t的線性相性較強(qiáng).1.（2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅

柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量x（千克）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散

點(diǎn)圖，如圖所示.

（百千克）

A

O24568x(千克)

依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與X的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r并加

以說(shuō)明（若卜|＞。-75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

參考數(shù)據(jù)：＞/03?0.55,7(19?0.95.

答案：0.95,答案見解析.

&力土匚二的rwrai-2+4+5+6+8-3+4+4+4+5

解析：由已知數(shù)據(jù)可得工=------------=5,y=------------=

所以之(玉-y)=(-3)x(-l)4-(-l)xO+OxO4-lxO+3xl=6,

r=i'

+02+l2+32=2石,

因?yàn)閞>0.75,所以可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.

9、某企業(yè)堅(jiān)持以市場(chǎng)需求為導(dǎo)向，合理配置生產(chǎn)資源，不斷改革、探索銷售模式.下表是該

企業(yè)每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x（件）與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本y（萬(wàn)元）的五組對(duì)照數(shù)

據(jù)：

產(chǎn)量X（件）12345

生產(chǎn)總成體y（萬(wàn)元）3781012

試求y與X的相關(guān)系數(shù)r,并利用相關(guān)系數(shù)r說(shuō)明y與X是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若

M>0?75,則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）.

￡（%-可（》-,）

參考公式：r=

J次仁-方n刃?

V/=1V/=1

答案：0.98,y與X具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸方程擬合y與X的關(guān)系.

解析：

轉(zhuǎn)1+2+3+4+53+7+8+10+12

55

j￡（xf=阮&『=廊，

^（x..-x）（y,.-7）=21.

/=1

相關(guān)系數(shù)"忌可匹

?.?M>O.75,與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸方程擬合V與x的關(guān)系.

考點(diǎn)三、線性回歸方程

例1、對(duì)于數(shù)據(jù)組a，y）（i=L2,3,...,〃），如果由線性回歸方程得到的對(duì)應(yīng)于自變量x,.的估計(jì)

值是先,那么將%-%稱為相應(yīng)于點(diǎn)（X“y）的殘差.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量X（噸）與

所需某種原材料y噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過(guò)程中收集4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)（x,y）如下表所示：

X3456

y2.534m

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.7x+a，據(jù)此計(jì)算出樣本點(diǎn)處的殘差為

-0.15,則表中"?的值為（）

A.3.3B.4.5C.5D.5.5

答案：B

解析：由題意可知，在樣本（4,3）處的殘差一0.15,則y=3.15，即3.15=0.7x+a，

解得a=0.35，即y=0.7x+0.35，

又―3+4+：5+6=4.5,且線性方程過(guò)樣本中心點(diǎn)（斤，歹），

4

則亍=0.7x4.5+0.35=3.5,則7=2.5+3；4+/"=3.5,

解得〃2=4.5.

故答案為：B

例2、擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國(guó)民間游戲，數(shù)人或幾十人圍成圓圈坐下，其中一人拿

花（或一小物件）；另有一人背著大家或蒙眼擊鼓（桌子、黑板或其他能發(fā)出聲音的物體），

鼓響時(shí)眾人開始傳花（順序不定），至鼓停止為止.此時(shí)花在誰(shuí)手中（或其座位前），誰(shuí)就上

臺(tái)表演節(jié)目，某單位組織團(tuán)建活動(dòng)，9人一組，共10組，玩擊鼓傳花，（前五組）組號(hào)x與

組內(nèi)女性人數(shù)y統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：

X12345

y22334

（I）女性人數(shù)y與組號(hào)X（組號(hào)變量X依次為1,2,3,4,5,…）具有線性相關(guān)關(guān)系，

請(qǐng)預(yù)測(cè)從第幾組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；

參考公式：&T--------,a=y-bx

fx；-欣2

/=!

（II）從10組中隨機(jī)抽取3組，求若3組中女性人數(shù)不低于5人的有X組，求X的分布列

與期望；

（III）游戲開始后，若傳給相鄰的人得1分，間隔人傳得2分，每擊一次鼓傳一次花，得1

分的概率為0.2,得2分的概率為0.8.記鼓聲停止后得分恰為〃分的概率為％,求

9

答案：（I）從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)：（n）分布列見解析，￡（%）=—；（III）

解析：(I)由題可得工=gx(l+2+3+4+5)=3,

一2+2+3+3+4+-

y=-------------------=2.8,工毛％=A47

3/=1

力占2=12+22+32+42+52=55.

/=!

5_

A?>戊一5孫

則人二是--------=0.5,

Z%_5x

i=\

a=歹-金=2.8-0.5x3=13，

夕=0.5尤+1.3,

當(dāng)0.5X+1.325時(shí)，，x>7.4,

...預(yù)測(cè)從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù).

（II）由題可知X的所有可能取值為0,1,2,3,

17

尸（x=o）=N='，

,）品24

P（X=?管磊

唳=2）=警磊,

HX=3）=*言,

則X的分布列為

X0123

72171

p

244040T20

???E(X)*

（n【）在得分為（〃-1）分的基礎(chǔ)上再傳一次，則得分可能為〃分或6+1）分，記“合計(jì)得〃分”

為事件A,“合計(jì)得（"+1）分”為事件B,事件A與8為對(duì)立事件.

P(A)=%,P(8)=±a,_|=l-a?(n>2),

跟蹤練習(xí)

I、某工廠的每月各項(xiàng)開支X與毛利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）之間有如下關(guān)系，y與X的線性回

歸方程y=6.5x+a,貝（）

X24568

y3040605070

A.17.5B.17C.15D.15.5

答案：A

...,...v..i士qjj—TZ>?—2+4+5+6+8—30+40+60+50+70

解析：山題r意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得X=------------=5,y=------------------=50,

即樣本中心為（5,50）,代入了與工的線性回歸方程為3，=6.5乂+。，解得a=17.5.

故選：A.

2、已知兩個(gè)變量X和y之間有線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到如下樣本數(shù)據(jù)，

X34567

y3.52.41.1-0.2-1.3

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得同歸方程》=3x+G,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a>0,b>0B.a>0fb<0

C.<0,b>0D.avO,Z?<0

答案：B

解析：由已知數(shù)據(jù)，可知y隨著x的增大而減小，

則變量x和變量y之間存在負(fù)相關(guān)的關(guān)系，./<0,

當(dāng)x=0時(shí)，則4=y>3.5>0，

即：a>0,h<0.

故選：B.

3、某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,

得到如下數(shù)據(jù)：

單價(jià)（元）456789

銷量（件）908483807568

由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程y=-4ka,若在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右

上方的概率為()

A.—B.—C.~D.一

6323

答案：C

-113

解析：因?yàn)閤=w(4+5+6+7+8+9)=彳,

62

y=1(90+84+83+80+75+68)=80,

6

所以a=y+4x=106,即>=<￥+106

滿足4x+y-106>0的點(diǎn)有(6,83),(7,801(8,75),共3個(gè)

所以在這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，則它在回歸直線右上方的概率為p=：3=；1,

62

故選：C

4、西部某深度貧困村，從2014—2019年的人均純收入(單位：千元)情況y如下表，時(shí)間

變量x從2014-2019年的值依次為1,2,……6.

2014—2019年的人均純收入情況表：

年份201420152016201720182019

人均純收入(千元)2.63.03.63.94.45.1

(1)在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖，是否可用線性回歸模型擬合y與*的關(guān)

系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；

(2)建立y關(guān)于X的回歸方程(保留兩位小數(shù))，預(yù)測(cè)該村2020年的人均純收入為多少？

717^24.18、岳仁-=8.55,￡他=87.60.

Yi=i'i=l'i=l

X%-x)(y—y)X-^yi-nx-y

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=/，“，=/"’=’，，，，，

JzH一1?￡()',—-Jz")?￡()”一

回歸方程尸a+法中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：b=J——二一，

m-x)

1=1

(h—e一

■a=y-'bx.

答案：(1)散點(diǎn)圖見解析；可以用線性回歸方程擬合y與X的關(guān)系；說(shuō)明見解析；(2)

y=0.482%+2.08;該村2020年人均收入約為5450元左右.

解析：(1)作出散點(diǎn)圖如圖：

由散點(diǎn)圖可知各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，

87.60-6x3.77x3.5…

=-----------------x0.99,

8.55

因?yàn)閥與X的相關(guān)系數(shù)約為0.99,說(shuō)明y與X的相關(guān)程度是很高的，所以可以用線性回歸方

程擬合y與x的關(guān)系.

（2）a=y-bx=3.71-0.482x3.5?2.08.

所以回歸直線方程y=0.482%+2.08，

>■=0.48x7+2.09?5.45,即該村2020年人均收入約為5450元左右.

考點(diǎn)四、非線性回歸方程

例1、從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災(zāi)害嚴(yán)重威脅了國(guó)際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，影響了人民生活.世界性

與區(qū)域性溫度的異常、早澇頻繁發(fā)生給蝗災(zāi)發(fā)生創(chuàng)造了機(jī)會(huì).已知蝗蟲的產(chǎn)卵量y與溫度》

的關(guān)系可以用模型＞=￡*，擬合，設(shè)z=lny,其變換后得到一組數(shù)據(jù)：

X2023252730

Z22.4334.6

由上表可.得線性回歸方程z=O.2x+a,則q=（）

A.-2B.e-2C.3D.i

答案：B

解析：由表格數(shù)據(jù)知：jf=g(20+23+25+27+30)=25,5=g(2+2.4+3+3+4.6)=3,

代入Z=0.2x+a得：4=3-0.2x25=—2,.\z=0.2x-2,即lny=0.2x-2,

故選：B.

例2、某創(chuàng)業(yè)者計(jì)劃在南山旅游景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂(lè)”，為了確定未

來(lái)發(fā)展方向，此創(chuàng)業(yè)者對(duì)該景區(qū)附近五家“農(nóng)家樂(lè)”跟蹤調(diào)查了100天，這五家“農(nóng)家樂(lè)”

的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)互不相同，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，x為收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)（單位：元/日），，為入住天

數(shù)（單位：天），以入住天數(shù)的頻率作為各自的“入住率”，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)*與入住率y的散點(diǎn)圖

如圖.

X100150200300450

y9065453020

入住率

I*

0.8

0.6*

0.4?

0.2...:.?收.費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)

0100200300400500"

（1）若從以上五家“農(nóng)家樂(lè)”中隨機(jī)抽取兩家深入調(diào)查，記彳為“入住率”超過(guò)0.6的農(nóng)家

樂(lè)的個(gè)數(shù)，求g的分布列：

⑵令z=InX,由散點(diǎn)圖判斷$，=反+&與處良+G哪個(gè)更合適于此模型（給出判斷即可，

不必說(shuō)明理由）？并根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程；（G,3的結(jié)果精確到0.1）

（3）根據(jù)第（2）問(wèn)所求的回歸方程，試估計(jì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為多少時(shí)，100天銷售額0最大？（100

天銷售額。=100x入住率x收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)x）

^y.-nxy55

參考數(shù)據(jù)：3=勺--------,a=y-bx，x=240,Zz,?=457.5,=36500,z?5.35,

￡x,2-nx2泊I

i=\

55

ZZ/.B12.72,Zz,2s=144.24,7=28.57，e5?150.

1=1<=1

答案：(1)分布列見解析；(2)》=Az+a更適合于此模型，回歸方程為？=T).51nx+3.0；

(3)150(元/日).

解析：(1)4的所有可能取值為0,1,2,

C23C1C163C21

則PC=°）=百=6尸(4=1)=*=?=士，尸?=2)=2='

砥105C；10

4的分布列是

自012

331

P

W5Io

（2）由散點(diǎn)圖可知》=應(yīng)+。更適合于此模型.

依題意，y=~(0.9+0.65+0.45+0.3+0.2)=0.5,

Yzy-5z-y

iii12.72-5x5.35x0.5

則g=S---------?-0.47?-0.5,

DE144.24-5x28.57

Z=1

a=0.5+0.47x5.35?3.0,

所求的回歸方程為9=-<).5lnx+3.0.

(3)依題意，L(x)=100(-0.5Inx+3.0)x=-50xInx+300x,

貝iJL'(x)=-50lnx+250,

由L(x)〉0,得lnxv5,x<e5,由工(x)v0,得lnx>5,x>e\

.」（x）在（0,叫上遞增，在佇,”）t；一遞減，

...當(dāng)x=e5%150時(shí)，取到最大值.

.?.當(dāng)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)約為150（元/日）時(shí)，100天銷售額/最大.

跟蹤練習(xí)

1、某公司2019年1月至7月空調(diào)銷售完成情況如圖，如7月份銷售量是190臺(tái)，若月份為

x,銷售量為），由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（外,%）（i=L2,…,7）得到散點(diǎn)圖，下面四個(gè)回歸方程類型中

最適合作為銷售量y和月份x的回歸方程類型的是（)

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+he'D.y=a+b\nx

答案：B

解析：由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)二次函數(shù)的圖像附近，因此，最適合作為銷售

量）和月份x的回歸方程類型的是》=。+/2.

故選：B

2、己知變量y關(guān)于X的回歸方程為y=*55,其一組數(shù)據(jù)如表所示：若x=5,則預(yù)測(cè)y值

可能為（）

Xi234

yee4

答案：D

叼「匚?frx-（）511八oIne+Ine，+Ine'+Ine'、.1+2+3+4__

解析：由y=ebg得：Iny=bx-0.5,------------------------------=b------------------0.5,

44

解得：b=1.6,???回歸方程為尸36"-。5,若*=5,則y=e845=,.

故選:D.

3、如圖是某小區(qū)2020年1月至2021年1月當(dāng)月在售二手房均價(jià)（單位：萬(wàn)元/平方米）的

散點(diǎn)圖.（圖中月份代碼1?13分別對(duì)應(yīng)2020年1月?2021年1月）.根據(jù)散點(diǎn)圖選擇

￥=〃+/7五和丫=。+4山》兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程分別為

y=0.9369+0.02854和＞'=0.9554+0.0306Inx＞并得至U以下一些統(tǒng)計(jì)量的值：

當(dāng)月在售二手房均價(jià)y

1.04

1.02

1.00

0.98

0.96

0.94

12345678910111213月份代碼x

y=0.9369+0.02854y=0.9554+0.0306Inx

殘差平方和%%-城

0.0005910.000164

x=l\

13_2

總偏差平方和7）0.006050

/=1

（1）請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；

（2）估計(jì)該小區(qū)2021年6月份的二手房均價(jià).（精確到0.001萬(wàn)元/平方米）

參考數(shù)據(jù)：In2ao.69,1113*1.10,lnl7*2.83,Ini9a2.94,應(yīng)名1,41，6）?1.73,后^4.12,

Ma4.36.

Xy；—yj

參考公式：相關(guān)指數(shù)R2=l-可」一；.

j=l

答案：（1）模型y=0.9554+0.0306Inx;（2）1.044（萬(wàn)元/平方米）.

解析：（1）設(shè)模型y=0.9369+0.02856和y=0.9554+0.0306Inx的相關(guān)指數(shù)分別為用和耳,

es，,0.000591,0.000164

則R；=1---------,R；=1----------.

'0.00605-0.00605

因?yàn)?.000591>0.000164,所以

所以模型y=0.9554+0.03061nx的擬合效果更好.

（2）山⑴知，模型y=0.9554+0.03061nx的擬合效果更好，

利用該模型預(yù)測(cè)可得，這個(gè)小區(qū)2021年6月份的在售二手房均價(jià)為：

y=0.9554+0.0306In18=0.9554+0.0306（In2+2In3）?1.044（萬(wàn)元/平方米）.

4、為2020年全國(guó)實(shí)現(xiàn)全面脫貧，湖南貧團(tuán)縣保靖加大了特色農(nóng)業(yè)建設(shè)，其中茶葉產(chǎn)業(yè)是重

要組成部分，由于當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)環(huán)境非常適宜種植茶樹，保靖的“黃金茶”享有“一兩黃金一

兩茶”的美譽(yù).保靖縣某茶場(chǎng)的黃金茶場(chǎng)市開發(fā)機(jī)構(gòu)為了進(jìn)一步開拓市場(chǎng)，對(duì)黃金茶交易市

場(chǎng)某個(gè)品種的黃金茶日銷售情況進(jìn)行調(diào)研，得到這種黃金茶的定價(jià)x（單位：百元/kg）和

銷售率V（銷售率是銷售量與供應(yīng)量的比值）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

X102030405060

y0.90.650.450.30.20.175

（1）設(shè)z=lnx,根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)判斷，回歸模型￥=鼠+6與y=5z+a哪個(gè)更合適？并

根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程(°,。的結(jié)果保留一位小數(shù))；

(2)某茶場(chǎng)的黃金茶生產(chǎn)銷售公司每天向茶葉交易市場(chǎng)提供該品種的黃金茶1200kg,根據(jù)

(1)中的回歸方程，估計(jì)定價(jià)》(單位：百元/kg)為多少時(shí)，這家公司該品種的黃金茶

的日銷售額卬最大，并求W的最大值.

參考數(shù)據(jù)：y與X的相關(guān)系數(shù)42-0.96,y與Z的相關(guān)系數(shù)々“0.99,1=35，y?0.45,

6、6

2=9100,藐3.40，6z2?69.32>工了咨產(chǎn)8.16,^z,2?71.52,?20.1,e3-4?30.0,

<=1/=|i=l

e3'5?33.1fe4n54.6.

參考公式：濟(jì)J=—=闿一^—^A%，|J_,===?

2(x..-x)2儲(chǔ):-〃x、這(y-y)2

i=lZ=1V?=li=l

答案：(1)>=-O.51nx+2.0,(2)120.6萬(wàn)元；

解析：(1)因?yàn)榛貧w模型f，=$x+G的相關(guān)系數(shù)M卜0.96,回歸模型?=良+4的相關(guān)系數(shù)

I訃0.99,

因?yàn)?.96<0.99<1,

由線性相關(guān)系數(shù)的意義可知，回歸模型》=良+&更合適，

Z(4-z)(y；-y)Z2a一向

8.16-6x3.40x045

=-4---------?-0.46?-0.5

￡(馬-云)2--名Z；-應(yīng)271.52-6932

1=1?=|

a=y-bx=0.45-(-0.45)x3.40~2.0,

所以回歸方程為>'=-0-5lnx+2.0；

(2)由題意可知,W=1200x(-0.51nx+2.0)x,

所以W'=1200x(l.5-0.5Inx),

令秋=0,解得lnx=3,即x=e3°20.1,

當(dāng)0<x<e3時(shí)，W'>0,W單調(diào)遞增，

當(dāng)joe?時(shí)，W'<0,W單調(diào)遞減，

所以當(dāng)售價(jià)約為20.1百元/口時(shí)，日銷售額W最大，

最大值為1200x(-0.5xln/+2.0)xe、1200x(-0.5x3+20)x20.1=12060百元，

所以最大II銷售額為120.6萬(wàn)元.

5、為了了解4地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)查機(jī)構(gòu)得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

年份X20142015201620172018

足球特色學(xué)校y(百個(gè))0.300.601.001.401.70

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r,并說(shuō)明y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（已知：

0.754"|41,則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；0.3白川<0.75,則認(rèn)為尸與x線性相關(guān)性一

般;|r|<0.25,則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較弱）;

（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)4地區(qū)2019年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)（精確到個(gè)）.

____j=l___________________,J(x,.-x)2=io,刃2=]3,屈?3.6056,

參考公式:

2

一可聞廠于J=I<=i

A----；

a=y-bx.

f(%-琦

J=1

答案：（1）r=或士，y與x線性相關(guān)很強(qiáng)；（2）尸0.36尸724.76,208個(gè).

3.6056

_2016x5-2-1+1+20.3+0.6+1+1.4+1.7.

解析:(1)x=------------------=2016,y=------------------=I,

￡(七-可(y-切

3.63.6

>0.75

沏-心eV